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鲁教版九下教案5.4 第1课时 圆周角和圆心角的关系
鲁教版九下教案5.4 第1课时 圆周角和圆心角的关系
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5.4圆周角和圆心角的关系(1)教学目标(一)教学知识点1.了解圆周角的概念.2.理解圆周角定理的证明.(二)能力训练要求经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.(三)情感与价值观要求通过观察、猜想、验证推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.教学重点圆周角概念及圆周角定理.教学难点认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性.教学方法指导探索法.教具准备投影片两张第一张:射门游戏第二张:补充练习1教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课[师]前面我们学习了与圆有关的哪种角?它有什么特点?请同学们画一个圆心角.[生]学习了圆心角,它的顶点在圆心.[师]圆心是圆中一个特殊的点,当角的顶点在圆心时,就有圆心角.这样角与圆两种不同的图形产生了联系,在圆中还有比较特殊的点吗?如果有,把这样的点作为角的顶点,会是怎样的图形?Ⅱ.讲授新课6/6 1.圆周角的概念[师]同学们请观察下面的图(1).这是一个射门游戏,球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.[师]图中的∠ABC,顶点在什么位置?角的两边有什么特点?[生]∠ABC的顶点B在圆上,它的两边分别和圆有另一个交点.(通过学生观察,类比得到定义)圆周角(angleinacircularsegment)定义:顶点在圆上,并且角的两边和圆相交的角.[师]请同学们考虑两个问题:(1)顶点在圆上的角是圆周角吗?(2)圆和角的两边都相交的角是圆周角吗?请同学们画图回答上述问题.[师]通过画图,相互交流,讨论认清圆周角概念的本质特征,从而总结出圆周角的两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦.2.补充练习1判断下列图示中,各图形中的角是不是圆周角,并说明理由.6/6 答:由圆周角的两个特征知,只有C是圆周角,而A、B、D、E都不是.3.研究圆周角和圆心角的关系.[师]在图(1)中,当球员在B、D、E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?我们知道,在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.那么,在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系?[师]请同学们动手画出⊙O中所对的圆心角和圆周角.观察所对的圆周角有几个?它们的大小有什么关系?你是通过什么方法得到的?所对的圆心角和所对的圆周角之间有什么关系?[生]所对的圆周角有无数个.通过测量的方法得知:所对的圆周角相等,所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半.[师]对于有限次的测量得到的结论,必须通过其论证,怎么证明呢?说说你的想法,并与同伴交流.[生]互相讨论、交流,寻找解题途径.[师生共析]能否考虑从特殊情况入手试一下.圆周角一边经过圆心.由下图可知,显然∠ABC=∠AOC,结论成立.(学生口述,教师板书)如上图,已知:⊙O中,所对的圆周角是∠ABC,圆心角是∠AOC.6/6 求证:∠ABC=AOC.证明:∠AOC是△ABO的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO.∴∠AOC=2∠ABO.即∠ABC=∠AOC.[师]如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图),那么结果怎样?特殊情况会给我们什么启发吗?你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗?(学生互相交流、讨论)[生甲]如图(1),点O在∠ABC内部时,只要作出直径BD,将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出.由刚才的结论可知:∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,∴∠ABD+∠CBD=(∠AOD+∠COD),即∠ABC=∠AOC.[生乙]在图(2)中,当点O在∠ABC外部时,仍然是作出直径BD,将这个角转化成上述情形的两个角的差即可.由前面的结果,有∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD.∴∠ABD-∠CBD=(∠AOD-∠COD),即∠ABC=∠AOC.[师]还会有其他情况吗?请思考.[生]不会有.6/6 [师]经过刚才我们一起探讨,得到了什么结论?[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.[师]这一结论称为圆周角定理.在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中,我们学到了什么方法?[生]由“特殊到一般”的思想方法,转化的方法,分类讨论的方法,……[师]好,同学们总结得很好.由此我们可以知道,当解决一问题有困难时,可以首先考虑其特殊情形,然后再设法解决一般问题,这是解决问题时常用的策略.今后我们在处理问题时,注意运用.4.课本P20,随堂练习1、2Ⅲ.课时小结[师]到目前为止,我们学习到和圆有关系的角有几个?它们各有什么特点?相互之间有什么关系?[生]和圆有关系的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在圆心,圆周角顶点在圆上,角的两边和圆相交.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.[师]这节课我们学会了什么定理?是如何进行探索的?[生]我们学会了圆周角定理.通过分类讨论的思想方法,渗透了由特殊到一般的转化方法.对定理进行了研究和证明.[师]好,同学们今后在学习中,要注意探索问题方法的应用.注意:(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角,结论是圆周角等于圆心角的一半.(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”.Ⅳ.课后作业习题5.5Ⅴ.活动与探究同学们知道:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角,叫圆周角,因为一条弧所对的角圆周角等于它所对的圆心角的一半,而圆心角的度数等于它所对的弧的度数,所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.类似地,我们定义:顶点在圆外,并且两边都和圆相交的角叫圆外角.如下图中,∠DPB是圆外角,那么∠DPB的度数与它所夹的两段弧和6/6 的度数有什么关系?类似地可定义圆内角及其度量.(1)你的结论用文字表述为(不准出现字母和数学符号):________;(2)证明你的结论.[过程]让学生通过思考讨论,想办法把圆外角转化成和已学过的圆周角联系起来,借助圆周角把∠DPB的度数转化成它所夹的两段弧和的度数差的一半.[结果](1)圆外角的度数等于它所夹弧的度数差的一半.(2)证明:连结BC.∵∠DCB=∠DPB+∠ABC,∴∠DPB=∠DCB-∠ABC.而∠DCB=的度数.∠ABC=的度数.∴∠DPB=(的度数-的度数).板书设计§5.4圆周角和圆心角的关系(1)一、1.探究圆周角的定义及其特征.2.探究圆周角定理及其证明.二、课堂练习三、课时小结四、课后作业6/6
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