鲁教版九下教案5.2 第1课时 圆的对称性

5.2圆的对称性(1)教学目标(一)教学知识点1．圆的轴对称性、旋转不变性．2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理．(二)能力训练要求1．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力．2．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．(三)情感与价值观要求培养学生积极探索数学问题的态度及方法．教学重点圆心角、弧、弦之间关系定理．教学难点“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．教学方法指导探索法．教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?，[生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后。直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．[师]我们是用什么方法研究了轴对称图形?[生]折叠．[师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．Ⅱ．讲授新课6/6 [师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?[生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．[师]是吗?你是用什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下．[生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．[师]很好．教师板书：圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念．1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)．3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．如右图。以A、B为端点的弧记作AB，渎作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径．注意：1．弧包括优弧(majorarc)和劣弧(minorare)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作AD)．半圆，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．[师]我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么?哪位同学知道?[生]用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心．[师]圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗?6/6 下面我们继续来探讨．[师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点?[生]大小一样．[师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗?[生]重合．[师]通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心．[师]我们一起来做一做．按下面的步骤做一做：1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．2．在⊙O和⊙O′，上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′(如下图示)，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．3．将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．[生]教师叙述步骤，同学们一起动手操作．[师]通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．[生甲]由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′．6/6 [生乙]由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B=∠O′B′A′．[生丙]由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′．[生丁]由旋转法可知弧AB＝弧A′B′．[师]很好．大家说得思路很清晰，其实刚才丁同学说到弧AB＝弧A′B′的理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．[师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以弧AB和弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合，即弧AB=弧A′B′，AB=A′B′．[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论?[生]在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．[师]同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．下面，我们一起来看一看命题的证明．(学生互相讨论交流．学生口述，教师板书)如上图所示，已知：⊙O和⊙O′是两个半径相等的圆，∠AOB＝∠A′O′B′．求证：弧AB＝弧A′B′，AB＝A′B′．证明：将⊙O和⊙O′叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径OA与O′A′重合，∵∠AOB=∠A′O′B′，∴半径OB与O′B′重合．∵点A与点A′重合，点D与点B′重合，∴弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合．∴弧AB=弧A′B′，AB=A′B′．上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．[师](通过举反例强化对定理的理解)6/6 请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．[生]如下图示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，，但AB≠A′B′，弧AB=弧A′B′下面我们共同想一想．[师]如果我们把两个圆心角用①表示；两条弧用表示：两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论：①相等在同圆或等圆中②相等③也相等如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗?你是怎么想的?请你说一说．(同学们互相交流、讨论)[生甲]如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确．可以通过旋转法或叠合法得到证明．[生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下，结论也正确，可以通过证明全等或叠合法得到，[师]好，通过上面的探索，你得到了什么结论?[生]在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“6/6 在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等．例如，右图中的∠1=∠2，有的同学认为∠1对AD，∠2对BC，就推出了AD=BC，显然这是错误的，因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦．[师]下面我们通过练习巩固本节课的所学内容．课本P10随堂练习1、2、3Ⅲ．课时小结[师]通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法?(同学们之间相互讨论、归纳)[生]本节采用的方法有多种，利用折叠法研究了圆是轴对称图形，利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理……Ⅳ．课后作业课本P10习题5.2Ⅴ．活动与探究(略)6/6