苏教版必修第二册课后习题13.2.3 第2课时 直线与平面垂直

第2课时　直线与平面垂直1.已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.有且只有一个B.至多有一个C.有一个或无数个D.不存在答案B解析若异面直线m,n垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在.2.若直线a与平面α不垂直,那么在平面α内与直线a垂直的直线(　　)A.只有一条B.有无数条C.是平面内的所有直线D.不存在答案B解析当a∥平面α时,在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线;当a⊂α时,在α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直;当直线a与平面α相交但不垂直时,在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直,故选B.3.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,一定能推出m⊥β的是(　　)A.α∥β,且m⊂αB.m∥n,且n⊥βC.m⊥n,且n⊂βD.m⊥n,且n∥β答案B解析A中,由α∥β,且m⊂α,知m∥β;B中,由n⊥β,知n垂直于平面β内的任意直线,再由m∥n,知m也垂直于β内的任意直线,所以m⊥β,符合题意;C,D中,由m⊥n,n⊂β或m⊥n,n∥β可得m⊂β或m∥β或m与β相交,不符合题意,故选B.4.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是(　　) A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交答案C解析取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,AO∩CO=O,故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面,故选C.5.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小是(　　)A.30°B.45°C.60°D.90°答案A解析取AC的中点D,连接BD,C1D(图略),∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BD⊥平面ACC1A1,∴∠BC1D就是BC1与侧面ACC1A1所成的角,sin∠BC1D=BDBC1=323=12,又∠BC1D为锐角,∴∠BC1D=30°.6.如图所示,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF=　　　　.  答案6解析∵DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,∴DE∥AF,又AF=DE,∴四边形ADEF为平行四边形.∴EF=AD=6.7.如图,在四面体SABC中,SA,SB,SC两两垂直,∠SBC=60°,则BC与平面SAB所成的角为　　　　. 答案60°解析由题意知SC⊥SA,SC⊥SB,又SA∩SB=S,∴SC⊥平面SAB.∴∠SBC是BC与平面SAB所成的角.∵∠SBC=60°,∴BC与平面SAB所成的角为60°.8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为　　　　. 答案12解析作A1E⊥AD1于点E,则A1E⊥平面ABC1D1,且点E为AD1的中点,∠A1C1E为A1C1与平面ABC1D1所成的角.sin∠A1C1E=A1EA1C1=12.9. 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.(1)求证:PC⊥BC;(2)求点A到平面PBC的距离.(1)证明因为PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC.因为∠BCD=90°,所以BC⊥CD.又PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD,而PC⊂平面PCD,所以PC⊥BC.(2)解如图所示,过点A作BC的平行线交CD的延长线于E,过点E作PC的垂线,垂足为F,则有AE∥平面PBC,所以点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离.又因为EF⊥PC,BC⊥平面PCD,EF⊂平面PCD,所以EF⊥BC.又因为BC∩PC=C,所以EF⊥平面PBC.EF即为E到平面PBC的距离.又因为AE∥BC,AB∥CD,所以四边形ABCE为平行四边形.所以CE=AB=2.又PD=CD=1,PD⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PD⊥CD,∠PCD=45°.所以EF=2,即点A到平面PBC的距离为2.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(1)证明:BE⊥DC;(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值.(1)证明如 图,取PD的中点M,连接EM,AM.由于E,M分别为PC,PD的中点,故EM∥DC,且EM=12DC,又由已知,可得EM∥AB且EM=AB,故四边形ABEM为平行四边形,所以BE∥AM.因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,而CD⊥DA,PA∩DA=A,从而CD⊥平面PAD,因为AM⊂平面PAD,所以CD⊥AM.又BE∥AM,所以BE⊥CD.(2)解如图,连接BM,过点E作EH⊥BM,交BM于H点.由(1)知CD⊥平面PAD,得CD⊥PD,而EM∥CD,故PD⊥EM,又AD=AP,M为PD的中点,故PD⊥AM,可得PD⊥BE,所以PD⊥平面BEM.因为EH⊂平面BEM,所以PD⊥EH.又EH⊥BM,PD∩BM=M,所以EH⊥平面PBD,从而直线BE在平面PBD内的射影为直线BH,故∠EBH为直线BE与平面PBD所成的角.依题意,有PD=22,而M为PD中点,可得AM=2,进而BE=2.在Rt△BEM中,BM=BE2+ME2=3.由ME·BE=EH·BM,得EH=63.在Rt△BEH中,sin∠EBH=EHBE=33.故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.11.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有(　　) A.AG⊥△EFH所在平面B.AH⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面答案B解析根据折叠前、后AH⊥HE,AH⊥HF不变,HE∩HF=H,可推出AH⊥平面EFH.12.在四面体P-ABC中,若PA=PB=PC,则点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的(　　)A.外心B.内心C.垂心D.重心答案A解析如图,设点P在平面ABC内的射影为点O,连接OP,则PO⊥平面ABC,连接OA,OB,OC,∴PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,又PA=PB=PC,∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,则OA=OB=OC,∴O为△ABC的外心.13.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确的个数为(　　)①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD;④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角. A.1B.2C.3D.4答案D解析∵AC⊥BD,又SD⊥AC,BD∩SD=D,∴AC⊥平面SBD,又SB⊂平面SBD,∴AC⊥SB,故①正确;∵AB∥CD,AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,∴AB∥平面SCD,∴②正确;∵SD⊥平面ABCD,∴SA在平面ABCD的射影是AD,∴③正确;∵AB∥CD,∴AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角,∴④正确.14.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=BC,且∠BAC=90°,则PA与底面ABC所成角的大小为(　　)A.30°B.45°C.60°D.90°答案C解析∵PA=PB=PC,∴P在底面的射影O是△ABC的外心.又∠BAC=90°,∴O在BC上且为BC的中点.∴AO为PA在底面的射影,∠PAO即为所求的角.在等边三角形PBC中,PO=32PB=32PA.∴sin∠PAO=POPA=32,又∠PAO为锐角,∴∠PAO=60°.15.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AC,若AB∶BB1=2∶1,则AB1与平面BB1C1C所成的角的大小为(　　) A.45°B.60°C.30°D.75°答案A解析取BC的中点D,连接AD,B1D,∵AD⊥BC且AD⊥BB1,BC∩BB1=B,BC,BB1⊂平面BCC1B1,∴AD⊥平面BCC1B1,∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角.设AB=2,则AA1=1,AD=62,AB1=3,∴sin∠AB1D=ADAB1=22,∴∠AB1D=45°,即AB1与平面BB1C1C所成的角为45°.16.(多选)给出下列命题,其中正确的是(　　)A.垂直于平面内任意一条直线的直线垂直于这个平面B.垂直于平面的直线垂直于这个平面内的任意一条直线C.过一点和已知平面垂直的直线只有一条D.过一点和已知直线垂直的平面有无数个答案ABC17.(多选)如图所示,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上异于AB的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的投影,则(　　)A.AF⊥PBB.EF⊥PBC.AF⊥BCD.AE⊥平面PBC 答案ABC解析对于A,因为PA⊥平面ABC,故PA⊥BC,又BC⊥AC,PA∩AC=A,故BC⊥平面PAC,从而BC⊥AF,又AF⊥PC,BC∩PC=C,故AF⊥平面PBC,所以AF⊥PB,AF⊥BC,故A,C正确;对于B,由选项A知AF⊥PB,而AE⊥PB,AF∩AE=A,从而PB⊥平面AEF,故EF⊥PB,故B正确;对于D,由上面过程可知,AE与平面PBC不垂直,故D不正确.18.(多选)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点,则下列结论正确的是(　　)A.BC⊥平面PABB.AD⊥PCC.AD⊥平面PBCD.PB⊥平面ADC答案ABC解析∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,故A正确;由BC⊥平面PAB,得BC⊥AD,又PA=AB,D是PB的中点,∴AD⊥PB,又PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC,∴AD⊥平面PBC,故C正确;∴AD⊥PC,故B正确;在平面PBC中,PB⊥BC,∴PB与CD不垂直,即PB不垂直于平面ADC,故D错误.19.(多选)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是△BDC1内(不含边界)的一个动点,若A1P⊥BC1,则线段A1P的长可能的取值为(　　)A.6B.433C.22D.3答案AB解析在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥平面BB1C1C,BC1⊂平面BB1C1C,所以A1B1⊥BC1.连接B1C,A1C(图略),则BC1⊥B1C,所以BC1⊥平面A1B1C,所以BC1⊥A1C,同理可证A1C⊥DC1,A1C⊥DB, 所以A1C⊥平面DBC1,设垂足为O,则A1O=23A1C=23×22+22+22=433.记BC1∩B1C=E,连接DE,A1D,因为P是△BDC1内(不含边界)的一个动点,A1P⊥BC1,所以P在平面A1B1CD与平面DBC1的交线DE上(不含端点),所以A1O≤A1P<A1D=22+22=22,所以A1P的长的取值范围是433,22.20.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件　　　时,有AB1⊥BC1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况) 答案∠A1C1B1=90°解析如图所示,连接B1C,由BC=CC1,可得BC1⊥B1C,因此,要证AB1⊥BC1,则只要证明BC1⊥平面AB1C,即只要证明AC⊥BC1即可,由直三棱柱可知,只要证明AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要证明A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件,如∠A1C1B1=90°等)21.中国古代数学名著《九章算术·商功》中,阐述:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一.”若称为“阳马”的某四棱锥如图所示,底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=3,AB=4,则PA与BC所成角的大小为　　　　,PB与平面PDC所成角的正弦值为　　　　. 答案45°　33434 解析PA与BC所成的角等于PA与AD所成的角,即∠PAD=45°;因为BC⊥平面PDC,则PB与平面PDC所成角为∠BPC,所以sin∠BPC=BCPB=334=33434.22.如图,PA垂直矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)若PD与平面ABCD所成的角为α,当α为多少度时,MN⊥平面PCD?求出α的度数并证明你的结论.(1)证明取PD的中点E,连接NE,AE,如图.∵N是PC的中点,∴NE∥DC且NE=12DC.又DC∥AB且DC=AB,AM=12AB,∴AM∥CD且AM=12CD,∴NE∥AM,且NE=AM,∴四边形AMNE是平行四边形,∴MN∥AE.∵AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,∴MN∥平面PAD.(2)解当α=45°时,MN⊥平面PCD,证明如下:∵PA⊥平面ABCD,∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角.∵∠PDA=45°,∴AP=AD,∴AE⊥PD. 又MN∥AE,∴MN⊥PD.∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.又CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,∴CD⊥平面PAD.∵AE⊂平面PAD,∴CD⊥AE,∴CD⊥MN.又CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,∴MN⊥平面PCD.23.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠CAB=90°,AB=AC=2,AA1=4,A1在底面ABC内的射影为BC的中点,D为B1C1的中点.(1)求证:A1D⊥平面A1BC;(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.(1)证明设E为BC的中点,由题意得A1E⊥平面ABC,又AE⊂平面ABC,∴A1E⊥AE,∵AB=AC,∴AE⊥BC.又A1E∩BC=E,∴AE⊥平面A1BC. ∵D,E分别为B1C1,BC的中点,∴DE∥BB1且DE=BB1,∴DE∥AA1且DE=AA1,∴四边形AA1DE是平行四边形,∴A1D∥AE.∵AE⊥平面A1BC,∴A1D⊥平面A1BC.(2)解作A1F⊥DE,垂足为F,连接BF.∵BC⊥A1E,BC⊥AE,A1E∩AE=E,∴BC⊥平面AA1DE,而A1F⊂平面AA1DE,∴BC⊥A1F.又BC∩ED=E,∴A1F⊥平面BB1C1C.∴∠A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成角的平面角.由AB=AC=2,∠CAB=90°,得EA=EB=2.由AE⊥平面A1BC,则A1A=A1B=4,A1E=14.由DE=BB1=4,DA1=EA=2,∠DA1E=90°,得A1F=72,∴sin∠A1BF=78.∴直线A1B和平面BB1C1C所成角的正弦值为78.