四川省绵阳南山中学2022-2023学年高三数学（文）下学期开学考试试题（2月）（PDF版附答案）

秘密★启用前【考试时间：2023年2月7日15：00——17：00】绵阳南山中学2023年春高三入学考试数学试题（文科）命题人：赵义廉审题人：董文宝【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题卡内，第Ⅱ卷的答案或解答写在答题卷上．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．)1．已知集合Ax|x1，Bx|log2x1，则（）A．ABx|x1B．ABRC．AUBx|x1D．ABx|0x1z2．在复平面内，复数z对应的点为1,1，则（）1iA．iB．－iC．2iD．－2i3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分2家万事休”．函数fx(1x)sinx的图象大致形状是（）1eA．B．C．D．4．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.某同学计划从“金、石、匏、竹、丝5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习，则恰安排了1种课程为吹奏乐器、1种课程为打击乐器的概率为（）3232A．B．C．D．4553a5．设a,bR，则“ln0”是“lnalnb”的（）bA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第1页共4页 6．已知asin,14cos2，b1,3sin2，(0,)，若a//b，则tan()（）241122A．B．C．D．77777．若函数f(x)sinx(sinx3cosx)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，则下列关于12g(x)叙述正确的是（）3A．g(x)的最小正周期为2B．g(x)在[,]内单调递增22C．g(x)的图象关于x对称D．g(x)的图象关于(,0)对称1228．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称P为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为f(x)P0,a1,k0的kxb1a6形式．已知f(x)xN描述的是一种果树的高度随着栽种时间x（单位：年）变化的kxb13规律，若刚栽种（x0）时该果树的高为1.5m，经过2年，该果树的高为4.5m，则该果树的高度不低于5.4m，至少需要（）A．3年B．4年C．5年D．6年9．已知m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面.下列说法中不正确的是（）A．若m//，m，n，则m//nB．若m//n，m//，则n//C．若n，，，则nD．若m，m，//，则//210．设抛物线E:y8x的焦点为F，过点M(4,0)的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交SBCF于点C，点B在线段AC上，|BF|3，则△BCF与△ACF的面积之比（）SACF1111A．B．C．D．456722xy11．设F1，F2分别为双曲线C：221a0,b0的左､右焦点，A为ab双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且MAN135，（如图），则该双曲线的离心率为（）A．2B．3C．2D．5abc12．已知a5ln0，b4ln0，c3ln0，则a，b，c的大小关系是（）543A．bcaB．acbC．abcD．cba第2页共4页 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)sinπx,x0202113．已知函数f(x)f(x),0x1，则f()________．2f(x2),x1x14．若曲线y(xa)e有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是________________．15．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥平16面ABCD.若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则球O的表面积为___________.316．设mR，过定点A的动直线l1:xmy0，和过定点B的动直线l2:mxym30交于点P，22圆C:x2y43，则下列说法正确的有__________.①直线l2过定点(1，3)；②直线l2与圆C相交最短弦长为2；③动点P的曲线与圆C相交；④|PA|+|PB|最大值为5．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）已知数列an满足a11,nan1(n1)ann(n1).an（Ⅰ）证明：数列为等差数列；nan1（Ⅱ）设数列bn满足bnln，求数列bn的前n项和Sn.an18．（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2bcosC2ac．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b23，D为AC边上的一点，BD1，且______，求ABC的面积．①BD是B的平分线；②D为线段AC的中点．（注：从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．19．（本小题满分12分）每年10月是冬小麦最佳种植时间，但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响．某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的颗数之间的关系，在不同的温差下统计了100颗小麦种子的发芽数，得到了如下数据：温差x/℃810111213发芽数y/颗7981858690（Ⅰ）请根据统计的最后三组数据，求出y关于x的线性回归方程yˆbˆxaˆ；第3页共4页 （Ⅱ）若由（Ⅰ）中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗，则认为该线性回归方程是可靠的，试判断（Ⅰ）中得到的线性回归方程是否可靠；（III）若100颗小麦种子的发芽数为n颗，则记为n%的发芽率，当发芽率为n%时，平均每公顷地的收益为150n元，某农场有土地10万公顷，小麦种植期间昼夜温差大约为9℃，根据（Ⅰ）中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益．nxixyiybˆi1附：线性回归方程：yˆbˆxaˆ，其中n，aˆybˆx．2xixi1120．（本小题满分12分）如图.矩形ABCD的长AB23，宽BC，222xy以A､B为左右焦点的椭圆M:1恰好过C､D两点，点P22ab为椭圆M上的动点.（Ⅰ）求椭圆M的方程，并求PAPB的取值范围；（Ⅱ）若过点B且斜率为k的直线交椭圆于M､N两点（点C与M､N两点不重合），且直线CM､CN的斜率分别为k1、k2，试证明k1k22k为定值.21．（本小题满分12分）已知函数f(x)(xm)lnx2m(mR)，f(x)是f(x)的导函数．（Ⅰ）讨论fx的单调性；m（Ⅱ）是否存在mZ，使得fx2，对x1恒成立？若存在，请求出m的所有值；若不存3在，请说明理由．（参考数据：ln20.69，ln51.61）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方3x2t2程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1yt226C的极坐标方程为．22sin（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；11（Ⅱ）已知点M(2,0)，若直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．MAMB23．(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲]已知a0，b0，且ab2．2522（Ⅰ）证明：a2b117；2（Ⅱ）若不等式3xm13xm1a3b3对任意xR恒成立，求m的取值范围．第4页共4页 绵阳南山中学2023年春高三入学考试数学参考答案（文科）题号123456789101112答案DBABBBCABCDC1．【详解】集合Ax|x1，Bx|log2x1x|0x2，ABx|0x1，故A错误，D正确；ABx|x2，故B，C错误．故选：D．2z1i1i2i2．【详解】因为复数z对应点的坐标为(1,-1)，所以z1i，所以i.1i1i1i1i2故选：B.x2e13．【详解】因为fx1xsinxxsinx，定义域为R，又1ee1xxe1e1fxxsinxxsinxfx，所以fx是偶函数，图象关于y轴对称，故排除CD，e1e1xe1又当x0,π时，0,sinx0，fx0，故排除B.故选：A.xe14．【详解】“金、石”为打击乐器共2种，“匏、竹”为吹奏乐器共2种，“丝”为弹拨乐器，共1种，5选2的基本事件有（金、石）（金、匏）（金、竹）（金、丝）（石、匏）（石、竹）（石、丝）（匏、竹）（匏、丝）（竹、丝），共10种情况，其中恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的基42本事件为（金、匏）（金、竹）（石、匏）（石、竹），共4种，故所求概率为.故选：B.105aaa5．【详解】ln0，则1，当a2,b1时，满足1，但此时lna,lnb无意义，故充分性不bbbaa成立，若lnalnb，则lnalnbln0，故必要性成立，则“ln0”是“lnalnb”的必要不充bb分条件.故选：B226．【详解】因为a//b，所以14cos2sin(3sin2)，1412sin3sin2sin，335sin22sin30，所以sin或sin1，又0,，所以sin，525313tan141所以tan，所以tan，故选：B.441tan37141317．【详解】fxsinxsinx3cosx1cos2xsin2xsin2x，226211将其图象向左平移个单位得到gxsin2xsin2x的图象；12126232第1页共8页 2对A：gx的最小正周期T，故A错误；23210对B：当x,时，2x,，此时gx不是单调函数，故B错误；2233311对C：gsin为函数最小值，故x是gx的对称轴，C正确；122221231对D：g0，故,0不是gx的对称中心，D错误.故选：C.222261.5f(0)1.513b68．【详解】由题意可得,,则,解得b1,k1,所以f(x)x1,xN，f(2)4.564.5132kb136由函数的解析式可得,f(x)在[0,)上单调递增,且f(3)5.4,故该果树的高度不低于5.4m,213至少需要3年.故选：A.9．【详解】由线面平行的性质定理可知，A正确；若m∥,m∥n，则n∥或n，即B错误；设,的法向量分别为a,b，若n，则na,nb，又,，则a∥，b∥，所以n，即C正确；若m,m，则∥，又∥，则∥，即D正确.故选：B10．【详解】如图，过点B作BD垂直准线x2于点D，则由抛物线定义可知：|BF||BD|3，设直线AB为xmy4，Ax1,y1，Bx2,y2，C2,yC，不妨设m0，则y10,y20，2所以x223，解得：x21，则y28x28，解得：y222，则B1,22，3232所以22m41，解得：m，则直线AB为xy4，4432所以当x2时，即y42，解得：yC42，则C2,42，422yy32，联立xmy4与y8x得：y8my320，则12SBCyy221BCF2C所以y82，其中.故选：C1SACyy1226ACF1C22211．【详解】依题意得,以线段F1F2为直径的圆的方程为xyc,双曲线C的一条渐近线的bbyx,xa,xa,222方程为yx.由a以及abc,解得或不妨取Ma,b,则ax2y2c2,ybyb.bbNa,b.因为Aa,0,MAN135MAO,所以1,,所以MAO45,又tan2a2a2b所以b2a,所以该双曲线的离心率e15.故选：D.2a第2页共8页 1x112．【详解】令函数f(x)xlnx，则f(x)1，xx当x1时，f(x)0，函数fx单调递增，当0x1时，fx0，函数fx单调递减，所以f(5)f(4)f(3)，所以5ln54ln43ln3，abc因为a5lnlnaln50，b4lnlnbln40，c3lnlncln30，543所以alna5ln5，blnb4ln4，clnc3ln3，所以alnablnbclnc，即f(a)f(b)f(c)，因为a5lnaln50，可得a5，又因为f(a)f(5)，则0a1，同理f(b)f(4)，f(c)f(3)，所以0b1，0c1，因为当0x1时，fx0，函数fx单调递减，所以cba．故选：C．2021111π13．【答案】1【详解】ff1010ffsin1.故答案为：122222xx14．【答案】,40,【解析】∵y(xa)e，∴y(x1a)e，x,y,则yxaex0,切线斜率kx1aex0,设切点为00000yxaex0x1aex0xx,切线方程为：000xaex0x1aex0x,整理得：x2axa0,∵切线过原点，∴000002∵切线有两条，∴a4a0,解得a<-4或a0,∴a的取值范围是,40,,故答案为：,40,15．【答案】24【详解】解：由题意，画出示意图如图：则正方形ABCD面积S=4，1116∵四棱锥P﹣ABCD的体积VSPA4PA，∴PA4，33322AC2AB22，PCACAP261球O的半径RPC622球O的表面积：S4R24.故答案为：2416．【详解】①：由l2：mxym30m(x1)(3y)0，x10有x1，y3，所以直线过的定点为(1，3)，故①正确；3y0②：由圆的标准方程可得圆心为C(2，4)，半径r3，直线l2过的定点为B(1，3)，当l2CB时所得弦长最短，则kl2klCM1，又kl2m，klCM1，所以m1，得2l2：xy40，则圆心到直线l2的距离为d=2，所以弦长为：2r2-d2=2，故②正确；2第3页共8页 ③：当m0时，l1：x0，l2：y3，则点P(0，3)，此时点P在圆C外；x当m0时，由直线l1得m，代入直线l2中得点P的方程为y123251310圆N：(x)(y)，得N(，)，半径为R=，2222223410所以圆心距NC=3rR，所以两圆相交.故③正确；22④：由l1：xmy0A(0，0)，当m0时，l1：x0，l2：y3，有l1l2，1当m0时，kl1，kl2m，则kl1kl21，所以l1l2，m222又点P是两直线的交点，所以PAPB，所以PAPBAB=10，设ABP，则PA10sin，PB10cos，因为PA0，PB0，所以[0，]，2所以PAPB10(sincos)25sin()25，故④错误.故选：①②③.417．【答案】(1)证明见解析；(2)Sn2lnn1【详解】（1）法1：由nan1n1annn1，aaaan1nn1n两边同除以nn1得，1，1（n1）为常数，n1nn1nana1∴数列为等差数列，首项1，公差为1，n1n1法2：由nan1n1annn1得an1ann1，nan1ananan∴11（n1）为常数，n1nnnana1∴数列为等差数列，首项1，公差为1.n1ana12（2）由n11n，∴ann，n12an1法1：n1blnln，n2ann22232n123n1则Slnlnln2ln2lnn1.n1222n212n2an1n122法2：bnlnln2lnn1lnn，ann22222222则Snln2ln1ln3ln2lnn1lnnlnn1ln12lnn1.第4页共8页 18．【解析】(1)由正弦定理知：2sinBcosC2sinAsinC又：sinAsinBCsinBcosCcosBsinC，代入上式可得：2cosBsinCsinC012πC0,π，则sinC0，故有：cosB，又B0,π，则B232π故B的大小为：3(2)若选①：由BD平分ABC得：S△ABCS△ABDS△BCD12π1π1π则有：acsin1csin1asin，即acac2323232222π在ABC中，由余弦定理可得：bac2accos3acac222又b23，则有：acac12，联立22，可得：acac120，acac1212π13解得：ac4（ac3舍去），故Sacsin43△ABC23222222111若选②：可得：BDBABC，BDBABCBA2BABCBC24411c22accos2πa222，可得：acac443b2a2c22accos2π，即22在ABC中，由余弦定理可得：acac12322acac412π13联立22，解得：ac4，故S△ABCacsin43.acac12232219．【解析】（1）记xx12，yy86，将统计的最后三组数据进行处理得到下表，x-101y-104x1010，y1041，bˆ143015aˆybˆx1501，此时，3311302255所以yˆ86(x12)1，故yˆx57；22（2）当x8时，yˆ77，797722，当x10时，yˆ82，828112，所以（1）中得到的线性回归方程是可靠的；（3）当x9时，yˆ79.5，此时发芽率n%79.5%，即n79.5．因为该农场有土地10万公顷，所以估计该农场种植小麦的收益为79.515010119250（万元）．第5页共8页 221xy3120．【解析】（1）由题意得c3.又点C(3,)在椭圆M:1上，所以1，222a24b2ab222x2且ab3，所以a2，b1，故椭圆M的方程为y1.4x23x2222设点P(x,y)，由A(3,0)，B(3,0)得PAPBx3yx312.44又x[2,2]，所以PAPB2,1.（2）设过点B且斜率为k的直线方程为yk(x3)，2222联立椭圆M方程得(14k)x83kx12k40.2283k12k4设两点M(x1,y1)､N(x2,y2)，故x1x22，x1x22.14k14k111y1y2y1x2x1y23y1y2x1x23因为kk222，12x13x23x1x23x1x238k23k其中y1x2x1y22kx1x23kx1x22，y1y22，14k14k28k6k43k322214k14k14k故k1k2222k3，所以k1k22k3为定值．12k424k32214k14km21．【解析】（1）由题意知：fx定义域为0,，fxlnx1，xm1mxm令gxfxlnx1，则gx；22xxxx当m0时，gx0恒成立，fx在0,上单调递增；当m0时，若x0,m，gx0；若xm,，gx0；fx在0,m上单调递减，在m,上单调递增；综上所述：当m0时，fx在0,上单调递增；当m0时，fx在0,m上单调递减，在m,上单调递增.mmmm（2）由（1）知：lnx12对x1恒成立，即lnx10对x1恒成立；x3x3mm1mxm令hxlnx1，则hx；22x3xxx①当m0且mZ时，hx0，hx在1,上单调递增，2m3hxh110，解得：m（舍）；32第6页共8页 15②当0m1且mZ，即m1时，he0，不合题意；e6③当m1且mZ时，若x1,m，hx0；若xm,，hx0；mhx在1,m上单调递减，在m,上单调递增，hxhmlnm0；min3m113m令Fmlnm，则Fm，3m33m当m1,3时，Fm0；当m3,时，Fm0；Fm在1,3上单调递增，在3,上单调递减；2445又F2ln20，F3ln310，F4ln42ln20，F5ln50，3333满足Fm0且m1，mZ的所有整数为2,3,4；综上所述：m的所有值为2,3,4.3x2t222．【解析】（1）将直线l的参数方程中的参数t消去，得x3y20；1yt22622即为2(sin)6，22sin2222x2y2y26，把xy，siny代入，得22xy即曲线C的直角坐标方程为1．3222xy所以直线l：x3y20，C：1；323x2t2（2）易知点M2,0在直线l上，把直线l的参数方程（t为参数），1yt222xy22代入1，整理得9t163t80．(163)4980，32设直线l与曲线C的交点A，B对应的参数分别为t1，t2，1638则t1t2，t1t2，得t1,t2同号，991111t1t2t1t2所以23．MAMBtttttt121212第7页共8页 23．【解析】（1）∵ab2，则b=2-a>0，可得0a2，22222125∴a2b1a23a2a，2221251又∵y2a开口向上，对称轴为a，22222112525125∴当a时，2a，当a2时，2a17，2222222522故a2b117.2222（2）∵a3b32a3b32ab616，当且仅当a3b3，即ab1时等号成立；∴a3b34，又∵3xm13xm13xm13xm12m1，当且仅当3xm13xm10时等号成立，∴2m14，解得m1或m3，故m的取值范围为,31,.第8页共8页