四川省绵阳南山中学2022-2023学年高三数学（文）上学期10月一诊试题（PDF版有答案）

秘密★启用前【考试时间：2022年10月24日15：00——17：00】绵阳南山中学2022年秋绵阳一诊热身考试数学（文科）试题命题人：赵义廉审题人：董文宝注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．)1．全集UZ，集合A{x∣2x2,xN},B1,0,1,2，则ðUAB（）A．1,2B．1,0C．0,1D．2332．“lgalgb”是“(a2)(b2)”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件15123．已知等差数列{a}的前n项和为S，公差d>0，a和a是函数f(x)lnxx8x的极nn6842值点，则S()8A．－38B．38C．－17D．17|x|4．已知命题p:xR,sinx1﹔命题q:xR﹐e1，则下列命题中为真命题的是（）A．pqB．pqC．pqD．pq2xy20,5．实数x，y满足条件2x3y60,则z2x3y的取值范围是（）x0,A．6,0B．0,6C．0,D．6,11lnxlnx6．已知x(e,1)，记alnx,b(),ce，则a,b,c的大小关系是（）2A．acbB．abcC．cbaD．bcaπ7．已知单位向量e1与e2的夹角为，则向量e12e2与2e13e2的夹角为（）3第1页共4页 π5π2πA．B．C．D．626328．函数f(x)logax(a0，且a1)与函数g(x)ax2x在同一坐标系内的图象不可能的是（）A．B．C．D．7219．设，为梯形ABCD的两个内角，且满足cos，tan，则2102（）33A．B．C．D．4444x2,xa10．已知a0，函数f(x)=2，若f(x)恰有2个零点，则a的取值范围是（）x4ax3,xa33737A．(,1)2,B．0,12,C．(,)2,D．(,1)[,2]2282811．在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，S时延达到亚毫秒级水平．香农公式CWlog(1)是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，2N它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功S率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比NS从11提升至499，则最大信息传递率C会提升到原来的（）N参考数据：log231.58,log252.32．A．2.4倍B．2.5倍C．2.6倍D．2.7倍212．已知函数fxax2xlnx有两个不同的极值点x1,x2，且不等式f(x)f(x)xxt4恒成立，则实数t的取值范围是（）1212A．1,B．5,C．22ln2,D．1ln2,第2页共4页 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)42i13．若i为虚数单位，复数z满足zi，则z___________．12i→→14．已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PA·PB的取值范围是_____________．215．已知函数f(x)x2x在定义域1,n上的值域为1,3，则实数n的取值范围为_______．x16．已知函数f(x)2akx3，给出下列四个结论：①若a1，则函数f(x)至少有一个零点；②存在实数a，k，使得函数f(x)无零点；③若a0，则不存在实数k，使得函数f(x)有三个零点；④对任意实数a，总存在实数k使得函数f(x)有两个零点．其中所有正确结论的序号是___________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bsinAacos(B)．6（I）求B；（II）若c5，___________．求a．从①b7，②C=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．4注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）21已知函数f(x)cos(x)3sinxcosx(0)的最小正周期为．22（I）求函数f(x)的解析式；（II）若先将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的122倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，求yg(x)|lgx|在(0,)上的零点个数．第3页共4页 19．（本小题满分12分）设数列an的前n项和Sn2ann．（I）求数列an的通项公式；bn（II）若log2(an1)3，求bn的前n项和Tn取最小值时n的值；n2n14(III)证明：.i1a2i920．（本小题满分12分）xa已知函数fx．2x1（I）若曲线yfx在点2,f2处的切线斜率为1，求a的值；（II）若fx在1,上有最大值，求实数a的取值范围．21．（本小题满分12分）1已知函数fxxalnx，aR．x（I）若fx在区间3,上单调递减，求实数a的取值范围：fx1fx2（II）若a0，fx存在两个极值点x1,x2，证明：a2．xx12（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4—4：坐标系与参数方程]kxcost,在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为k(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正ysint半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos16sin30．（I）当k1时，C1是什么曲线？（II）当k4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．23．(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲]已知f(x)|x1||ax1|．（I）当a1时，求不等式f(x)1的解集；（II）若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求实数a的取值范围．[来源:第4页共4页 绵阳南山中学2022年秋绵阳一诊热身考试数学（文科）参考答案一、1．A.2．A3．A.4.A．5．C．6.A7．D8．D.9．D.10．A.11．B12．A二、13．114．[－2，6]15．1,316．①②④三、17．（12分）【解析】(1)因为bsinAacosB，由正弦定理得：sinBsinAsinAcosB，因为66310A，所以sinA0，所以sinBcosB，即sinB=cosB+sinB，即62231cosBsinB0，即tanB3，又0B，所以B.223(2)若选①，则在ABC中，由余弦定理得：2222bac2accosB，可得：a5a240，解得：a=8，或a=3（舍），可得a=8.62若选②，C=，则sinAsinBCsincoscossin，434344a5ac53+5由正弦定理：，可得：6+22，解得：a.sinAsinC2422118．（12分）【解析】（1）由题意得f(x)cosx3sinxcosx2231231sin2x2cosx1sin2xcos(2x)2222231sin2xcos2xsin(2x)．226因为f(x)的最小正周期T，故1，所以f(x)sin2x．6x（2）由（1）得m(x)f(x)sin[2(x)]sin2x，g(x)m()sinx．121262求函数yg(x)|lgx|在(0,)上的零点个数，即求方程g(x)|lgx|0的根的个数．yg(x)和h(x)|lgx|的图象，如下图示，第1页共4页 9所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，且lg101，又310，2所以由图象知函数yg(x)|lgx|在(0,)上有4个零点．19．（12分）【解析】1因为Sn2ann，①n1时，S12a11，a11;n2时，Sn12an1n1②a1n①-②得an2an11，所以2，a112，所以数列an1是2为首项，2为公比的等比数列，故a1n1nna12a21;nnnnbnloga13log22113log223n3n6nn6(2)2n22，所以bn，n2222于是当1n5时，bn0；b60；当n6时，bn0.所以当n5或6时，Tn取最小值.(3)111nnn1111111i11113422i14i114i1413(4)，(34i1)1a2i4i14i1a2ii11i144n441n414()．故.9949i1a2i9xa20．（12分）解：函数fx的定义域为xx1，2x122x12xxax2ax14a5fx22，由已知可得f21，解得a1.22x1x192x2ax1(2)解：因为fx，令gxx22ax1x1.22x12①当a0时，对任意的x1，gxx2ax10恒成立，则fx0，此时函数fx在1,上单调递减，没有最大值；2②当0a1时，gxx2ax1在1,上单调递减，则gxg10，则fx0，此时函数fx在1,上单调递减，没有最大值；③当a1时，方程222x2ax10的两根分别为x1aa1，x2aa1，第2页共4页 由a1可知0x11ax2，列表如下：x1,aa212aa21,（0aa1）fxfx增极大值减所以函数fx在2xaa1处取得最大值，综上所述，实数a的取值范围是1,.21axax121．（12分）【解析】(1)fx1，又fx在区间3,上单调递减，22xxx2xax102在3,上恒成立，即xax10在3,上恒成立，2x1ax在3,上恒成立；x11设hxx，则hx1，2xx10当x3时，hx0，hx单调递增，hxh3，31010a，即实数a的取值范围是,.33(2)由（1）知：x,x满足x2ax10，x1x21不妨设0x1x2，则x21.12fx1fx21lnx1lnx2lnx1lnx22lnx21a2a2axxxxxxxx1.12121212x2x22lnxfxfx212aa则要证a2，即证1，xxx212x211即证2lnx2x2，也即证x22lnx20成立.xx222112x1设函数gxx2lnx，则gx10，xx2xx2gx在0,单调递减，又g10，当x1,时，gx0，1fx1fx2x2lnx0a222xxx2，即12第3页共4页 22.（10分）【解析】xcost22（1）当k1时，曲线C1的参数方程为(t为参数），两式平方相加得xy1，ysint所以曲线C表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；14xcost（2）当k4时，曲线C1的参数方程为4(t为参数），ysint2xcost所以x0,y0，曲线C1的参数方程化为(t为参数），2ysint两式相加得曲线C方程为xy1，1得y1x，平方得yx2x1,0x1,0y1，曲线C的极坐标方程为4cos16sin30，曲线C直角坐标方程为4x16y30，22yx2x1113联立C1,C2方程，整理得12x32x130，解得x或x（舍去），4x16y30261111x,y，C1,C2公共点的直角坐标为(,).4444选修4-5不等式选讲23.（10分）2,x1,【解析】（1）当a1时，f(x)|x1||x1|，即f(x)2x,1x1,2,x1.1故不等式f(x)1的解集为{x|x}．2（2）当x(0,1)时|x1||ax1|x成立等价于当x(0,1)时|ax1|1成立．若a0，则当x(0,1)时|ax1|1；22若a0，|ax1|1的解集为0x，所以1，故0a2．aa综上，a的取值范围为(0,2]．第4页共4页