河北省石家庄市2023届高三数学新高考考前模拟试题（Word版附解析）

2023届高三新高考考前模拟卷（一）·数学满分150分，用时120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求解二次不等式得，再根据集合运算法则算即可【详解】由题，，则，故选：A2.已知命题：，，则为（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定判断.【详解】因为命题：，，所以：，，故A，C，D错误.故选：B.3.已知是虚数单位，若复数满足：，则复数（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用计算得，即可得答案【详解】解：由可得，所以，故选：A4.已知函数，且，则下列陈述不正确的是（）A.函数的最小正周期为B.为的一个对称轴C.函数在区间上单调D.函数在区间上有两个零点【答案】C【解析】【分析】先根据已知求出的值，由此得到函数的解析式，结合函数的性质，对A、B、C、D四个选项逐个进行求解即可.【详解】，.又， 对A，函数的最小正周期，故A正确；对B，由得，为的一个对称轴，故B选项正确；对C，由，所以为的一个对称轴，函数在区间上不单调，所以选项C不正确；对D，令得，即令，或，函数区间上有两个零点，故选项D正确.故选：C5.战国时期铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为3cm、底面边长为2cm的正三棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意作图，然后分别计算三棱锥和圆柱的体积，再相加即可.【详解】由题意，铜镞的直观图如图所示， 三棱锥的体积，因为圆柱的底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，所以圆柱的底面圆的半径，所以圆柱的体积所以此铜镞的体积为故选：A.6.设是双曲线的左，右焦点，过的直线交双曲线的左支于两点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可得a＝2，再由双曲线的定义可得得到，再根据两点的位置特征得到答案．【详解】如图，根据双曲线的标准方程，得，由双曲线的定义可得：可得：过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于两点，当是双曲线的通经时最小．解得，则故选【点睛】本题考查两条线段和的最小值的求法，解题时要合理运用双曲线的简单性质，是中档题．7.甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件， 则下列结论中正确的是（）A.B.事件与事件B相互独立C.D.【答案】D【解析】【分析】A选项，根据题意求出，判断A选项；B选项，利用全概率公式求出，得到，判断事件事件与事件B不相互独立，得到D选项正确；C选项，利用条件概率公式求解即可.【详解】由题意得，所以A错误；因为，，所以，即，故事件事件与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；，所以C错误；故选：D8.设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（）A.B.为奇函数C.在上是减函数D.方程仅有6个实数解【答案】C【解析】 【分析】由题设可得关于、对称且周期为8，利用对称性和周期性求、判断奇偶性及在上的单调性，由与交点情况，数形结合判断根的个数.【详解】由题设，则关于对称，即，，则关于对称，即，所以，则，故，所以，即，故，所以的周期为8，，A正确；由周期性知：，故为奇函数，B正确；由题意，在与上单调性相同，而上递增，关于对称知：上递增，故上递增，所以在上是增函数，C错误；的根等价于与交点横坐标，根据、对数函数性质得：，，所以如下图示函数图象：函数共有6个交点，D正确.故选：C二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.中国网络文学历经年的发展，取得了引人注目的成就.以往反响较大的玄幻类题材影响 力开始下降，讴歌祖国、讴歌人民和英雄、传承优秀传统文化、颂扬当代美好生活的优秀作品逐渐赢得读者的青睐﹐下图是2013—2019年中国网络文学市场规模情况，则下列结论错误的是（）A.这年网络文学市场规模的中位数为B.2013年至2015年的同比增长相对2017年至2019年，波动性更大C.这年网络文学市场规模的极差为D.这年同比增长的平均数超过【答案】ACD【解析】【分析】由条形图、折线图及中位数的定义直接判断A、B；根据极差、平均数的求法求极差和平均数判断C、D.【详解】由条形图知﹐这7年网络文学市场规模的中位数为，故A错误﹔由折线图知：2013年至2015年的同比增长相对2017年至2019年，波动性更大，故B正确，这年网络文学市场规模的极差为故C错误，这年同比增长的平均数为故D错误.故选：ACD.10.设是两个非零向量，则下列命题中正确的有（）A.若，则存在实数使得B.若，则 C.若，则在方向上的投影向量为D.若存在实数使得，则【答案】ABC【解析】【分析】根据平面向量的模、及线性运算的概念即可判断.【详解】当时，的方向相反且，则存在负实数，使得，故A正确D错误；若，则以为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，所以，故B正确；若则的方向相同．在方向上的投影向量为，故C正确．故选：ABC.11.如图所示，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，，则下列说法正确的是（）A.的长度为B.扇形的面积为C.当与重合时，D.当时，四边形面积的最大值为【答案】ACD【解析】 【分析】利用弧长公式判断A，利用扇形面积公式判断B，利用锐角三角函数判断C，根据、三角形面积公式及三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的性质计算出面积最大值，即可判断D.【详解】解：依题意圆的半径，，，，所以的长度为，故A正确；因为，所以扇形的面积，故B错误；当与重合时，即，则，则，故C正确；因为，所以所以当，即时，故D正确；故选：ACD12.已知正方体，棱长为分别是的中点，连接，记所在的平面为，则（）A.与正方体的棱有6个交点B.C.截正方体所得截面面积为D.与所成角的正弦值为【答案】ABC 【解析】【分析】利用平面的基本性质画出与正方体的截面，即可判断A、C；利用线面垂直的判定证判断B；几何法找到线面角的平面角，即可求其正弦值，判断D.【详解】如下图，设中点为，连接，因为，所以为梯形.延长交于，连接，交于，因为，所以.因为，所以.设分别是的中点，因为，所以共面，均在内.所以与正方体的棱有六个交点，A正确.因为正六边形的边长为，所以，C正确.因为，所以为相交直线且在内，所以，B正确.如下图，延长交于， 因为面，所以面，同理面，因为面面，所以，即，设的中点，则为的中点，即.因为，所以为与的所成角，D错误.故选：ABC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线的一个对称中心为______（答案不唯一）.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】首先化简函数，再根据正切函数的对称中心公式求解.【详解】，令或，则或，令，则.所以函数的一个对称中心是. 故答案为：（答案不唯一）.14.的展开式的常数项是___________．【答案】70【解析】【分析】利用通项公式求解，常数项由三种情况合并而成，分别求解即可.【详解】的通项公式为；当时，中常数项为；当时，中的常数项为；当时，；所以的展开式的常数项为；故答案为：70.15.过圆上一点作圆的切线，切点为，则的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】由切线长公式求得切线长，因此需要求得的最小值，而的最小值可由减圆半径得到，由此可得结论．【详解】由题意，半径为，，，圆的半径为，所以 ，所以．故答案为：4．16.定义在上的可导函数满足，且在上有成立.若实数满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】构造函数，根据已知判断函数的奇偶性和单调性，再将目标不等式转化为，利用单调性和奇偶性可解.【详解】记，则由可得所以为偶函数记，则因为当时，，当时，所以，当时，有最小值又因为在上，即所以所以在上单调递增，由可得即 所以，即，解得.故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，，分别为三个内角，，的对边，.（1）求；（2）若，的面积为，求，.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得的值，进而求得；（2）利用三角形面积公式求得的值进而根据余弦定理求得的值，最后联立方程求得和．【小问1详解】解：因为，由正弦定理得：，，，，，，，.【小问2详解】解：，， 由余弦定理得：，，联立，解得.18.全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；【答案】（1），中位数；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积为1，结合中位数的定义进行求解即可；（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图的性质可得，，解得， 设中位数为，解得；【小问2详解】的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1从中分别抽取7人，3人，1人，所有可能取值为0，1，2，3，，，，故的分布列为：0123故19.已知等比数列的前项和为，，且满足.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对进行分类讨论，结合等比数列前项和公式求得首项和公比，从而求得.（2）利用错位相减求和法求得.【小问1详解】设等比数列的公比为， 依题意，，则.，若，则不成立，所以且，所以，即，所以，解得.所以.【小问2详解】，，，两式相减得.所以.20.如图，且，，且，且，平面，．（1）求平面与平面的夹角； （2）求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，根据空间角的向量方法求解;(1)由线面平行可得直线上所有点到平面距离相等，再利用等体积法可求解.【小问1详解】因为，面，故可以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图：由题可知：，，，，，，，易知面的一个法向量为，设面的法向量为，，，故得，即，不妨令y＝1，则，，所以平面与平面的夹角为．【小问2详解】因为，面，则面，所以直线到平面的距离与点到面的距离相等，如图，连接，由（1）可知平面，平面，所以， 又因为，所以，设点到平面EBC的距离为，则，，又因为，所以，所以直线AD到平面EBC的距离为．21.已知函数．（1）当时，求证：；（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，进而求得最小值即可判断.（2）先利用导数得到，进而得到，即，构造，利用导数得到，而，进而求得.【小问1详解】当时，函数，∴，当时，，∴在上单调递减， 当时，，∴在上单调递增，∴，即．【小问2详解】由已知得，当时，令，解得；令，解得；所以在上单调递增，在上单调递减，∴，由恒成立得，即，取对数得，即，令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴，又∵，∴，得，即，所以a的取值范围为．22.在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹 于点.（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）【解析】【分析】（1）根据两圆内切和外切列出圆心距与半径的关系，即可发现圆心的轨迹满足椭圆的定义，进而可求其方程，（2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据点坐标可得方程，进而代入韦达定理即可求出坐标，根据弦长公式可求长度，进而得长，根据垂直，即可表示四边形的面积，根据不等式即可求解最值.【小问1详解】设动圆的半径为，圆心的坐标为由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.动圆与圆内切，且与圆外切，动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为：，其中从而轨迹的方程为：【小问2详解】 （i）设直线的方程为，则由可得：直线的方程为，令可得点的横坐标为：为一个定点，其坐标为（ii）根据（i）可进一步求得：.，则，四边形面积（法一） 等号当且仅当时取，即时，（法二）令，则当，即时，【点睛】本题考查了椭圆的方程，以及直线与椭圆的位置关系，综合性较强.利用几何法求轨迹方程时，要多注意图形位置间体现的等量关系，可通过先判断轨迹，再求其方程.直线与椭圆相交问题，联立方程是常规必备步骤，韦达定理得弦长，求面积或者长度最值时，往往需要先将其表达出来，再利用不等式或者函数的知识进行求解.