浙江省金丽衢十二校2023届高三数学上学期第一次联考试卷（Word版附解析）

金丽衢十二校2022学年高三第一次联考数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A解析：或所以或故选：A2.若复数满（为虚数单位），则（）A.B.C.D.【答案】B解析：解：因为，所以，则.故选：B.3.，，则（）A.B.2C.D.【答案】A解析：由得，， 则，又，，则，，故选：.4.早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为（）A.B.C.D.【答案】D解析：解：由题意可得一个石磨底面积为：底=，侧=所以一个石磨的表面积为：，所以两个石磨的表面积为：.故选：D5.已知向量，，则是向量，夹角为钝角的（）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件【答案】C 解析：因为又因为向量，夹角为钝角所以满足所以且因为推不出且，所以充分性不成立又因为且能推出，所以必要性成立所以是向量，夹角为钝角必要不充分条件故选：C6.从2至7的6个整数中随机取3个不同的数，则这三个数作为边长可以构成三角形的概率为（）A.70%B.65%C.60%D.50%【答案】B解析：6个整数中取3个不同的数，共有种情况，三个数作为边长可构成三角形的有，共有13种情况，所以概率为故选：B7.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】D解析：因为，，所以，因为， ，所以.故选：D8.定点A和动点是抛物线上的两点，点与点A关于轴对称，其中与A、不重合，且的纵坐标为，直线，的斜率之差为，斜率之积为，当从小到大变化时，的变化情况是（）A.先变小后变大B.先变大后变小C.一直不变D.以上情况都不对【答案】C解析：设，，，则，则，则则当从小到大变化时，的变化情况是一直不变.故选：C二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.数列的通项为，它的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（）A.数列是递减数列B.当或者时，有最大值C.当或者时，有最大值D.和都没有最小值【答案】ABC 解析：因为数列的通项为，则，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，因为公差，所以数列是递减数列，故选项正确；因为，当时，；当时，，因为，所以当或者时，有最大值，故选项正确；由可知：，，，所以当或者时，有最大值，故选项正确；根据数列前30项为正数，从第31项开始为负数可知：无最小值，因为，当时，，但零乘任何数仍得零，所以有最小值，故选项错误，故选：.10.设点，，，是曲线上的依次四点，对于四边形，下列可能成立的是（）A.四边形有三个内角为锐角B.四边形有三个内角为钝角C.四边形有且仅有三边相等D.四边形为非等腰的梯形【答案】ABCD解析：曲线为椭圆，点，，，是椭圆上的依次四点.取，如图所示，四边形中为钝角，其余三个内角为锐角，A选项正确；取，如图所示， 四边形中为锐角，其余三个内角为钝角，B选项正确；取，以为圆心，2为半径作弧，与椭圆在第一象限相交于点D，在第四象限相交于点B，为圆心，2为半径作弧，与椭圆在第一象限相交于点C，如图所示，则四边形中，，有且仅有三边相等，C选项正确；直线与椭圆相交于两点，直线与椭圆相交于两点，如图所示，则，，四边形为非等腰的梯形，D选项正确.故选：ABCD11.已知函数的导函数，且，，则（）A.是函数的一个极大值点B.C.函数在处切线的斜率小于零D.【答案】AB解析：令，解得，则在上单调递增， 令，解得或，则在上单调递减，故是函数的一个极大值点，，A、B正确；∵，则，故函数在处切线的斜率大于零，C错误；又∵，则，但无法确定函数值的正负，D错误；故选：AB.12.正方体的棱长为，中心为，以为球心的球与四面体的四个面相交所围成的曲线的总长度为，则球的半径为（）A.B.C.D.【答案】BC解析：由题意可知：四面体为正四面体，设球的半径为；正方体棱长为，正四面体的棱长为，设球心到正四面体各个面的距离为，正四面体体积，表面积，；①若正四面体的一个面截球如图所示， 设小圆半径为，则，解得：，，解得：；②若正四面体的一个面截图如图所示，每个面截球所得的曲线长为，的长为，设小圆半径为，为正四面体侧面的中心，为中点，，，又，，，令，，恒成立，在上单调递增，又，，，解得：；综上所述：球的半径为或.故选：BC. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若，则______.【答案】729解析：因为的展开式的通项，所以含的奇数次项的系数为负数，含的偶数次项的系数为正数，在中，令可得：，即，故答案为：.14.已知，是双曲线两个焦点，是双曲线上的一点，且，则点到轴的距离为______.【答案】解析：由双曲线方程可得：，在中，由余弦定理可得：即，解得：，设点，则，即，解得：，将点代入双曲线方程可得：也即点到轴的距离为，故答案为：.15.已知直线和圆和曲线都经过同一点，则的取值范围是______.【答案】 详解】联立，消去得，则，解得.解方程得，①当时，或，当时，，；当时，，；②当时，，当时，，，此时.由于直线和圆和曲线均关于对称，所以根据对称性，只需计算点即可.综上：的取值范围是.故答案为：16.函数的最大值为______.【答案】8解析：由题意得：，解得：，当时，，当，即时取等号， 当时，，当时取等号，当时，，当，即时取等号，因为，所以最大值为8.故答案为：8四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.将等差数列排成如图所示的三角形数阵：已知第三行所有数的和为6，第6行第一个数为（1）求数列的通项公式；（2）设为数阵中第行的第一个数，求.【答案】（1）（2）1.设等差数列首项为，公差为.由第三行所有数的和为6可得：，得.由第6行第一个数为知，则，得数列的通项公式为，. 2.由图可得，第行有个数字，则第行的第一个数为第项，其中.则.，则.18.如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，为上的点，过，，的截面交于（1）证明：；（2）若二面角的大小为，求几何体的体积.【答案】（1）证明见解析（2）1.由题：，因为平面，平面，所以平面，又平面，且平面平面， 所以.2.过作的垂线，垂足为，连接，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以所以就是二面角的平面角，即有又，所以，底面是边长为2的正三角形，取AB的中点G，连接CG，交AE于点H，则CG⊥AB，且，，故所以，，，因为，所以四点共线， 又，不平行，故，相交，且由公理可知交点必定在上，所以几何体是三棱台，因为，所以三棱台的高，所以几何体的体积为.19.如图，在中，点在边上，（1）证明：；（2）若，，求.【答案】（1）证明见解析（2）1.在中，由正弦定理知：，即又，可得，在中，所以，所以.2.不妨设，则在中，由余弦定理知；在中同理可知： 在中，即有解得.20.某校高一（1）班总共50人，现随机抽取7位学生作为一个样本，得到该7位学生在期中考试前一周参与政治学科这一科目的时间（单位：h）及他们的政治原始成绩（单位：分）如下表：复习时间235681216考试分数60697881859092甲同学通过画出散点图，发现考试分数与复习时间大致分布在一条直线附近，似乎可以用一元线性回归方程模型建立经验回归方程，但是当他以经验回归直线为参照，发现这个经验回归方程不足之处，这些散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，成对样本数据呈现出明显的非线性相关特征，根据散点图可以发现更趋向于落在中间上凸且递增的某条曲线附近，甲同学回顾已有函数知识，可以发现函数具有类似特征中，因此，甲同学作变换，得到新的数据，重新画出散点图，发现与之间有很强的线性相关，并根据以上数据建立与之间的线性经验回归方程.考前一周复习投入时间（单位：h）政治成绩合计优秀不优秀≥6h<6h合计50（1）预测当时该班学生政治学科成绩（精确到小数点后1位）；（2）经统计，该班共有25人政治成绩不低于85分，评定为优秀，而且在考前一周投入政治 学可复习时间不低于6h共有30人，除去抽走的7位学生，剩下学生中考前一周复习政治的时间不少于6h政治不优秀共有6人，请填写下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为政治成绩与考前一周复习时间有关.附：，，，，，，0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1）51.9分；（2）表格见解析，认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.1.，，所以，且,所以预测当时,,即该班学生政治学科成绩约为51.9分.2.列联表：考前一周复习投入时间（单位：h）政治成绩合计 优秀不优秀≥6h23730<6h21820合计252550零假设为：认为政治成绩与考前一周复习时间无关，，依据的独立性检验，推断不成立，即认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.21.已知椭圆：的长轴为4，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）如图，过点的直线与交于，，过，作直线：的垂线，垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）时，定值，理由见解析1. 因为椭圆：的长轴为4，离心率为，所以，解得，，故，所以椭圆的方程为2.设，，：，则，，，则①，联立与，消去得，则，得，代入①得则当即时，为定值22.已知函数，（1）当时，求函数的最小值；（2）设，证明：曲线与曲线有两条公切线. 【答案】（1）0（2）证明见解析1.解：令，则，，易知在上单调递增，且，所以时，，单调递减，时，，单调递增，，所以当时，函数有最小值为；2.证明：曲线与曲线分别在点，处有公切线，等价于直线与直线重合，又，，即，消去得，令，则有（*），曲线与曲线有两条公切线即证（*）有两个不同的解，令，则，因为，所以，，单调递减；，，单调递增，故有最小值为，又，所以在区间上有唯一零点； 下面考虑在区间上的零点情况：先证：对任意的正数，存在正实数，使得当时，都有（**），令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有最小值，（i）当时，，可以是任意的正数；（ii）当时，由（i）知，取，则当时，都有，所以对任意的正数，当时，都有，所以当，，当时，，所以取时，，所以在区间上也有唯一零点，综上，（*）有两个不同的零点即曲线与曲线有两条公切线.