浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三数学上学期第一次联考试题（Word版附解析）

金丽衢十二校2022学年高三第一次联考数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再根据交集的定义求解.【详解】或所以或故选：A2.若复数满（为虚数单位），则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将已知等式整理成，在根据复数的除法运算化简即可.【详解】解：因为，所以，则.故选：B.3.，，则（） A.B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】将化简可得，再根据，，算出，即可得的值.【详解】由得，，则，又，，则，，故选：.4.早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】先求出一个石磨的表面积，即求得两个石磨的表面积.【详解】解：由题意可得一个石磨底面积为：底=，侧=所以一个石磨的表面积为：，所以两个石磨的表面积为：.故选：D5.已知向量，，则是向量，夹角为钝角的（）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件【答案】C【解析】【分析】若向量，夹角为钝角，则满足，求出的范围，然后验证充分性与必要性.【详解】因为又因为向量，夹角为钝角所以满足所以且因为推不出且，所以充分性不成立又因为且能推出，所以必要性成立所以是向量，夹角为钝角必要不充分条件故选：C6.从2至7的6个整数中随机取3个不同的数，则这三个数作为边长可以构成三角形的概率为（）A.70%B.65%C.60%D.50%【答案】B 【解析】【分析】利用组合知识求出一共有的情况数，再用列举法求出这三个数作为边长可以构成三角形的情况数，从而求出概率.【详解】6个整数中取3个不同的数，共有种情况，三个数作为边长可构成三角形的有，共有13种情况，所以概率为故选：B7.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据对变形，可得，利用基本不等式、指数函数和对数函数的单调性可得，从而可得答案.【详解】因为，，所以，因为，，所以.故选：D8.定点A和动点是抛物线上的两点，点与点A关于轴对称，其中与A、不重合，且的纵坐标为，直线，的斜率之差为，斜率之积为，当从小到大变化时，的变化情况是（）A.先变小后变大B.先变大后变小 C.一直不变D.以上情况都不对【答案】C【解析】【分析】先利用点、点A、点求得直线，的斜率，进而得到的解析式，化简整理后即可得到当从小到大变化时，的变化情况.【详解】设，，，则，则，则则当从小到大变化时，的变化情况是一直不变.故选：C二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.数列的通项为，它的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（）A.数列是递减数列B.当或者时，有最大值C.当或者时，有最大值D.和都没有最小值【答案】ABC【解析】【分析】根据数列的通项得出数列是以为首项，以为公差的等差数列,然后根据等差数列的特征分别对每个选项进行分析即可求解.【详解】因为数列的通项为，则，所以数列是以为 首项，以为公差的等差数列，因为公差，所以数列是递减数列，故选项正确；因为，当时，；当时，，因为，所以当或者时，有最大值，故选项正确；由可知：，，，所以当或者时，有最大值，故选项正确；根据数列前30项为正数，从第31项开始为负数可知：无最小值，因为，当时，，但零乘任何数仍得零，所以有最小值，故选项错误，故选：.10.设点，，，是曲线上的依次四点，对于四边形，下列可能成立的是（）A.四边形有三个内角为锐角B.四边形有三个内角为钝角C.四边形有且仅有三边相等D.四边形为非等腰的梯形【答案】ABCD【解析】【分析】曲线为椭圆，作出符合条件的四边形，则说明这样的四边形存在.【详解】曲线为椭圆，点，，，是椭圆上的依次四点.取，如图所示，四边形中为钝角，其余三个内角为锐角，A选项正确； 取，如图所示，四边形中为锐角，其余三个内角为钝角，B选项正确；取，以为圆心，2为半径作弧，与椭圆在第一象限相交于点D，在第四象限相交于点B，为圆心，2为半径作弧，与椭圆在第一象限相交于点C，如图所示，则四边形中，，有且仅有三边相等，C选项正确；直线与椭圆相交于两点，直线与椭圆相交于两点，如图所示，则，，四边形为非等腰的梯形，D选项正确.故选：ABCD11.已知函数的导函数，且，，则（）A.是函数的一个极大值点B.C.函数在处切线的斜率小于零D.【答案】AB 【解析】【分析】根据导数符号与单调性的关系，以及极值的定义逐项分析判断.【详解】令，解得，则在上单调递增，令，解得或，则在上单调递减，故是函数的一个极大值点，，A、B正确；∵，则，故函数在处切线的斜率大于零，C错误；又∵，则，但无法确定函数值的正负，D错误；故选：AB.12.正方体的棱长为，中心为，以为球心的球与四面体的四个面相交所围成的曲线的总长度为，则球的半径为（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据正四面体性质可求得球心到正四面体每个面的距离；当正四面体每个面截得的曲线为一个圆时，可求得小圆的半径，由可求得；当正四面体每个面截得的曲线为三段等差的圆弧时，可得，构造函数，利用导数可求得在上单调递增，可确定其唯一零点，由可求得结果.【详解】由题意可知：四面体为正四面体，设球的半径为； 正方体棱长为，正四面体的棱长为，设球心到正四面体各个面的距离为，正四面体体积，表面积，；①若正四面体的一个面截球如图所示，设小圆半径为，则，解得：，，解得：；②若正四面体的一个面截图如图所示，每个面截球所得的曲线长为，的长为，设小圆半径为，为正四面体侧面的中心，为中点，，，又，，， 令，，恒成立，在上单调递增，又，，，解得：；综上所述：球的半径为或.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查球的截面截球所得曲线相关问题的求解，解题关键是能够通过分类讨论的方式，确定正四面体各个侧面截球所得曲线的不同情况，从而根据不同情况下曲线长度来求解截面圆的半径.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若，则______.【答案】729【解析】【分析】由展开式的通项可得：的奇数次项系数为负数，的偶数次项的系数为正数，令即可求解.【详解】因为的展开式的通项，所以含的奇数次项的系数为负数，含的偶数次项的系数为正数，在中，令可得：，即，故答案为：. 14.已知，是双曲线两个焦点，是双曲线上的一点，且，则点到轴的距离为______.【答案】【解析】【分析】在双曲线焦点三角形中，利用余弦定理求出，然后利用面积相等即可求解.【详解】由双曲线方程可得：，在中，由余弦定理可得：即，解得：，设点，则，即，解得：，将点代入双曲线方程可得：也即点到轴的距离为，故答案为：.15.已知直线和圆和曲线都经过同一点，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】联立方程，由题意相交得判别式，此时分类讨论，时对应的方程的解及方程解满足的条件，由即可求出的取值范围.详解】联立，消去得，则，解得. 解方程得，①当时，或，当时，，；当时，，；②当时，，当时，，，此时.由于直线和圆和曲线均关于对称，所以根据对称性，只需计算点即可.综上：的取值范围是.故答案为：16.函数的最大值为______.【答案】8【解析】【分析】先求出定义域，再分，与三种情况，结合柯西不等式，求出最大值.【详解】由题意得：，解得：，当时，，当，即时取等号， 当时，，当时取等号，当时，，当，即时取等号，因为，所以最大值为8.故答案为：8【点睛】柯西不等式在求解不等式最值或者证明不等式方面是一个强有力工具，使用好柯西不等式的关键是要对不等式进行变形，使得不等式一边为定值，且注意柯西不等式取等号的条件是否满足.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.将等差数列排成如图所示的三角形数阵：已知第三行所有数的和为6，第6行第一个数为（1）求数列的通项公式；（2）设为数阵中第行的第一个数，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等差数列首项为，公差为，由第三行所有数的和为6，第6行第一个数为可得关于和的二元一次方程组；（2）由图可得，第行有个数字，则第行的第一个数为第项，其中 ，据此可得，后利用裂项相减法可得答案.【小问1详解】设等差数列首项为，公差为.由第三行所有数的和为6可得：，得.由第6行第一个数为知，则，得数列的通项公式为，.【小问2详解】由图可得，第行有个数字，则第行的第一个数为第项，其中.则.，则.18.如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，为上的点，过，，的截面交于 （1）证明：；（2）若二面角的大小为，求几何体的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线线平行得到线面平行，再由线面平行的性质证明出线线平行；（2）作出辅助线，证明出几何体是三棱台，求出上下底面的面积，利用台体体积公式求出答案.【小问1详解】由题：，因为平面，平面，所以平面，又平面，且平面平面，所以.【小问2详解】过作的垂线，垂足为，连接，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以所以就是二面角的平面角，即有又，所以， 底面是边长为2的正三角形，取AB的中点G，连接CG，交AE于点H，则CG⊥AB，且，，故所以，，，因为，所以四点共线，又，不平行，故，相交，且由公理可知交点必定在上，所以几何体是三棱台，因为，所以三棱台的高，所以几何体的体积为.19.如图，在中，点在边上，（1）证明：；（2）若，，求. 【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）在中根据题意结合正弦定理分析运算；（2）不妨设，在、、中利用余弦定理运算求解.【小问1详解】在中，由正弦定理知：，即又，可得，在中，所以，所以.【小问2详解】不妨设，则在中，由余弦定理知；在中同理可知：在中，即有解得.20.某校高一（1）班总共50人，现随机抽取7位学生作为一个样本，得到该7位学生在期中考试前一周参与政治学科这一科目的时间（单位：h）及他们的政治原始成绩（单位：分）如下表：复习时间235681216考试分数60697881859092 甲同学通过画出散点图，发现考试分数与复习时间大致分布在一条直线附近，似乎可以用一元线性回归方程模型建立经验回归方程，但是当他以经验回归直线为参照，发现这个经验回归方程不足之处，这些散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，成对样本数据呈现出明显的非线性相关特征，根据散点图可以发现更趋向于落在中间上凸且递增的某条曲线附近，甲同学回顾已有函数知识，可以发现函数具有类似特征中，因此，甲同学作变换，得到新的数据，重新画出散点图，发现与之间有很强的线性相关，并根据以上数据建立与之间的线性经验回归方程.考前一周复习投入时间（单位：h）政治成绩合计优秀不优秀≥6h<6h合计50（1）预测当时该班学生政治学科成绩（精确到小数点后1位）；（2）经统计，该班共有25人政治成绩不低于85分，评定为优秀，而且在考前一周投入政治学可复习时间不低于6h共有30人，除去抽走的7位学生，剩下学生中考前一周复习政治的时间不少于6h政治不优秀共有6人，请填写下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为政治成绩与考前一周复习时间有关.附：，，，，，，0.010.0050.0016.6357.87910.828 【答案】（1）51.9分；（2）表格见解析，认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.【解析】【分析】（1）将，算出，再令，即可估计该班学生政治学科成绩；（2）零假设为：认为政治成绩与考前一周复习时间无关，计算出，与10.828比较大小即可得到结论.【小问1详解】，，所以，且,所以预测当时,,即该班学生政治学科成绩约为51.9分.【小问2详解】列联表：考前一周复习投入时间（单位：h）政治成绩合计优秀不优秀≥6h23730 <6h21820合计252550零假设为：认为政治成绩与考前一周复习时间无关，，依据的独立性检验，推断不成立，即认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.21.已知椭圆：的长轴为4，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）如图，过点的直线与交于，，过，作直线：的垂线，垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）时，定值，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意列出等式，即可求解；（2）设，，：，由题意可得 ，联立与，得到，代入即可求解【小问1详解】因为椭圆：的长轴为4，离心率为，所以，解得，，故，所以椭圆的方程为【小问2详解】设，，：，则，，，则①，联立与，消去得，则，得，代入①得 则当即时，为定值【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数，（1）当时，求函数的最小值；（2）设，证明：曲线与曲线有两条公切线.【答案】（1）0（2）证明见解析【解析】【分析】（1）令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值；（2）设曲线与曲线分别在点，处有公切线，即可得到方程组，消去得，令，则，则问题转化为方程有两个不同的解，构造函数利用导数证明即可.小问1详解】解：令，则，，易知在上单调递增，且， 所以时，，单调递减，时，，单调递增，，所以当时，函数有最小值为；【小问2详解】证明：曲线与曲线分别在点，处有公切线，等价于直线与直线重合，又，，即，消去得，令，则有（*），曲线与曲线有两条公切线即证（*）有两个不同的解，令，则，因为，所以，，单调递减；，，单调递增，故有最小值为，又，所以在区间上有唯一零点；下面考虑在区间上的零点情况：先证：对任意的正数，存在正实数，使得当时，都有（**），令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以有最小值，（i）当时，，可以是任意的正数；（ii）当时，由（i）知，取，则当时，都有，所以对任意的正数，当时，都有，所以当，，当时，，所以取时，，所以在区间上也有唯一零点，综上，（*）有两个不同的零点即曲线与曲线有两条公切线.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．