浙江省衢温5 1联盟2022-2023学年高二数学创新班上学期期末联考试题（Word版附解析）

2022学年第一学期衢温5+1联盟期末联考高二年级创新班数学试题命题学校：江山中学审题学校：龙游中学考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则AB=（）A.{2}B.{2，3}C.{3，4}D.{2，3，4}【答案】B【解析】【分析】按交集定义求解即可.【详解】AB={2，3}故选：B2.“向量是直线的一个方向向量”是“直线倾斜角为”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】因为向量是直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 所以直线倾斜角为，故“向量是直线的一个方向向量”是“直线倾斜角为”的充分条件；若直线倾斜角为，则直线的斜率为，所以向量是直线的一个方向向量，故向量也是直线的一个方向向量，所以“向量是直线的一个方向向量”是“直线倾斜角为”的必要条件；所以“向量是直线的一个方向向量”是“直线倾斜角为”的充分必要条件；故选：C.3.已知函数f(x)的图象如图所示，则导函数f¢(x)的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据导函数正负与原函数单调性关系可作答【详解】原函数在上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，且原函数在处与轴相切，故可知，导函数图象为D 故选：D4.锐角满足，则（）A.B.C.0D.【答案】A【解析】【分析】已知等式利用同角三角函数的商数关系和正弦倍角公式化简，得，再用余弦的倍角公式求解即可.【详解】由，有，为锐角，，得，∴.故选：A.5.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（）A24个B.36个C.72个D.60个【答案】B【解析】【分析】直接利用插空法计算即可得到答案.【详解】分两步：第一步：先对除1以外的3位数字进行全排列，有种方法；第二步：将两个1选两个空插进去有，由分步计数原理可得：小明可以设置的不同密码有种，故选：6.已知等差数列的公差不为0，设为其前项和，若，则集合中元素的个数为（） A.2022B.2021C.2019D.2015【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的求和公式由可得的关系，然后表示出，结合二次函数的性质可求得答案.【详解】设等差数列的公差为（），由，得，得，所以，所以数列在上单调递增，根据二次函数的对称性可知，，，，所以集合中元素的个数为，故选：C7.已知，，，其中e为自然对数的底数，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用单调性得，构造函数和，通过单调性得，可得结论.【详解】设，，， 设，则，在上，，递减，，则在上，，递增，，即，得，即，∴.令，则，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值，有，，即，，令，，在上恒成立，在为减函数，此时，即，∴，则.所以．故选：A8.已知椭圆，点为直线与轴的交点，点是直线上异于的定点，是椭圆上一动点，且面积最大值是它的最小值的倍.当椭圆的四个顶点构成四边形面积最大值时，椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分析可知直线与椭圆相离，将直线与椭圆的方程联立，由可得出，设点，其中，计算出点到直线的距离，分析可得，可得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出椭圆的四个顶点构成四边形面积最大值，利用等号成立的条件求出、的值，由此可求得椭 圆的离心率的值.【详解】若直线与椭圆有公共点时，的面积不存在最小值，不合乎题意，故直线与椭圆相离，联立可得，，可得，设点，其中，点到直线的距离为，为锐角，且，所以，，，因为面积最大值是它的最小值的倍，则，可得，所以，，由基本不等式可得，即，当且仅当时，即当，时，等号成立，所以，椭圆的四个顶点构成四边形面积为，此时，，椭圆的离心率为.故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数、、满足，且，则下列不等关系正确的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用特殊值法可判断AC选项；推导出、，结合不等式的基本性质可判断BD选项.【详解】因为实数、、满足，且，所以，，可得，，可得，对于A选项，取，，，则，A错；对于B选项，因为，则，B对.对于C选项，取，，，则，C错；对于D选项，因为，可得，由不等式的基本性质可得，D对.故选：BD.10.某校为了解学生对食堂的满意程度，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照、、、、、、分组，画出频率分布直方图，已知随机抽取的学生测试分数不低于分的学生有人，则以下结论中正确的是（） A.此次测试众数的估计值为B.此次测试分数在的学生人数为人C.随机抽取的学生测试分数的第百分位数约为D.平均数在中位数右侧【答案】AC【解析】【分析】利用众数的定义可判断A选项；利用频率、频数与总数之间的关系可判断B选项；利用百分位数的概念可判断C选项；利用中位数的定义和平均数公式可判断D选项.【详解】对于A选项，由频率分布直方图可知，此次测试众数的估计值为，A对；对于B选项，测试分数不低于分的学生所占的频率为，所以，参加这次测试的学生总人数为，所以，此次测试分数在的学生人数为，B错；对于C选项，前个矩形的面积之和为，所以，随机抽取的学生测试分数的第百分位数约为，C对；对于D选项，，前个矩形的面积之和为，故，由中位数的定义可得，解得，则，D错.故选：AC.11.已知函数与的定义域均为，且，，若为偶函数，则（）A.函数的图象关于直线对称B.C.函数的图象关于点对称 D.【答案】ACD【解析】【分析】通过偶函数与对称的定义式将条件换元到需要条件再一一验证即可.【详解】对于选项A：为偶函数，，则的图象关于直线对称，故选项A正确；对于选项B：，将其中变为，则，，由得，令则，则故选项B错误；对于选项C：由选项B中的证明得，即函数的图象关于点对称，故选项C正确；的图象关于直线对称，且，， 将其中变为，则，，由得，又，，令，则，则，故选项D正确；综上所述选项ACD正确，故选：ACD.12.如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为，，几何体的外接球包含圆锥的顶点与底面圆周，以及圆柱的底面圆周．点为圆上任意一点，为圆的一条弦，已知，，则（）A.该组合体外接球表面积为B.存在点使得C.若圆所在平面，平面，平面，则平面与圆柱相交的轨迹的长半轴为6D.记直线，与圆所在平面夹角分别，，则 【答案】ABD【解析】【分析】对于A，如图，在矩形中，有，则可求得，进而求得该组合体外接球的半径，再代入球的表面积公式即可求解；对于B，如图，作，且，在圆的圆周上，显然当点为优弧或劣弧的中点时，有；对于C，如图，连接，则为平面与圆柱相交的轨迹的长半轴，求解的长度即可；对于D，如图，作圆所在平面，且在圆的圆周上，令，，则有将求的范围转化为求的范围，在三角形中，有，再讨论在劣弧或优弧上的情况，再利用基本不等式即可求解．【详解】对于A，设该组合体外接球球心为，半径为，如图可知，过，，的截面为五边形，其中四边形为矩形，三角形为等腰三角形，在矩形中，有，又，，则，所以， 所以该组合体外接球表面积为，故A正确；对于B，作，且，在圆的圆周上，当点为优弧或劣弧的中点时，由，则，即，故B正确；对于C，连接，由圆所在的平面，则，且，则四边形为平行四边形，则，所以平面，所以平面与圆柱相交的轨迹为椭圆，且为其长半轴，结合A可知圆的半径为，则，所以其长半轴为4，故C错误；对于D，作圆所在的平面，且在圆的圆周上，如图，令，， 又，则直线，与圆所在平面夹角分别，，则，，所以，结合A可知圆的半径为，又，则在三角形中，当在劣弧上时，，此时，即，当且仅当时等号成立，所以；当在优弧上时，，此时，即，当且仅当时等号成立，所以，故，故D正确．故选：ABD．【点睛】D选项的关键是将求的范围转化为求的范围，再利用基本不等式求解． 非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13复数，则___________．【答案】5【解析】【分析】由题可得，继而可得.【详解】由题，，则.故答案为：.14.已知，则______.【答案】12【解析】【分析】令，直接根据二项式定理求解即可．【详解】解：令，则，故，中的系数为，中的系数为，所以，故答案为：．15.在棱长为4正方体中,点、分别是平面、上动点,且满足,点到直线距离等于,则最小值为______.【答案】【解析】【分析】作平面的垂线,垂足为,将最小值转化为最小值,将转化为,将立体几何问题转化为平面几何问题,根据可知所以在以为圆心,1为半径的圆上,根据到直线距离等于,可知点在以为焦点的抛物线上,建立合适的直角坐标系,求出最小值,即可求出最小值. 【详解】解:由题知过点作平面的垂线,垂足为,连接如图所示:,故,则,若求最小值,只需求最小值,过点作的垂线,垂足为,连接,将平面拿出考虑,以中点为原点,为轴,过作的垂线为轴,建立如图所示平面直角坐标系:所以,设,因为,所以在以为圆心,1为半径的圆上, 因为到直线距离等于,即,化简可得,即点在以为焦点的抛物线上,在同一坐标系下画出两曲线图象如下:由图可知,故，当Q与O重合时，取最小值.故答案为:16.已知，满足方程，函数，，记为函数的最大值，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】分离常数后根据几何意义和均值不等式，以及隐形圆性质即可求解.【详解】①当时，；②当时，， 所以，由知，所以或不妨假设，同理可以求；所以的最大值为，所以，所以，因为，满足，所以在图像上，，而的几何意义是与点形成的连线的斜率，又，所以，设直线，则， 根据点到直线距离公式有：，所以解得（较大，舍）或（较小，保留），所以，所以，所以；③当时，同理可证.综上所述，则的取值范围为；故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项的性质求解；（2）利用裂项相消和分组求和法求解.【小问1详解】 设公差为，则，即，因为，，成等比数列，所以，即，整理得，因为所以，代入，解得，所以.【小问2详解】,所以.18.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______.（1）求；（2）若的面积为，为的中点，求的最小值.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换即可求解；（2）利用余弦定理和基本不等式求解.【小问1详解】选①时，，利用正弦定理得：， 由于，所以，故，又，，整理得，因为，故.选②时，，利用正弦定理得：，由于，所以，即，又，，，，故，，故.选③时，，利用正弦定理得：，又，，整理得.所以，整理得，，故.【小问2详解】由于的面积解得.在中，由余弦定理得 故，当且仅当，即，，的最小值为6.19.某市对高三年级学生进行数学学能检测（简称检测），现随机抽取了1600名学生的检测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表.良好以下良好及以上合计男8001100女100合计12001600（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关；（2）将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市高三所有学生中，采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的检测等级为“良好及以上”的人数为，求的分布列和数学期望.附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中，.【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据条件可完善表格，然后计算出的值即可；（2）由条件可得，然后算出答案即可.【小问1详解】由题中的数据补充列联表可得： 良好以下良好及以上合计男8003001100女400100500合计12004001600，故有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系.【小问2详解】根据题意，体测结果等级为“良好及以上”的频率为.可知的取值有0，1，2，3，4，，记为的概率，则，，，；；则的分布列为：01234P 所以的数学期望.20.如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为4，，且平面.（1）求点到平面的距离；（2）若，且平面平面，求二面角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等积转化法求点到平面的距离；（2）方法1几何法：由平面平面，可作出二面角的平面角，在直角三角形求解；方法2空间向量法：先证明两两垂直后建系，用法向量求二面角的余弦值【小问1详解】设点到平面的距离为，因为，三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为， 所以三棱锥的体积为，又由，得，解得.【小问2详解】由已知设，，则，，取的中点，连接，如图所示：则，由平面平面，知面，故，又，从而平面.故，，取中点，则，四边形是平行四边形，，从而为正三角形，故，，又， 得.在平面内作于，则，在平面内，作于，连接，因平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，则二面角的平面角为.在直角中，，故，，即所求二面角的余弦值为.法二：取的中点，连接，则，由平面平面知面，故，又，从而平面.故，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设，，则，，取中点，则，四边形是平行四边形，，从而为正三角形，故，，又，得，则，，，所以，设面的法向量，由，令，得，设面的法向量，由，令得，故，即所求二面角的余弦值为. 21.已知，，点满足，记点的轨迹为曲线.斜率为的直线过点，且与曲线相交于，两点.（1）求斜率的取值范围；（2）在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）由题意可得点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，从而可得曲线的方程，则可求得其渐近线方程，从而可求出斜率的取值范围；（2）将直线的方程代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，设，由，得，即，化简结合前面的式子可求出的值，从而可得答案.【小问1详解】依题意，所以点轨迹是以，为焦点的双曲线的右支.则，，，，所以曲线的方程为.曲线的方程为对应的渐近线方程为，根据渐近线的性质可知，要使直线与曲线有2个交点， 则的取值范围是【小问2详解】由题意得直线为，由消去并化简得，其中，.设，，则，，设，因为，即，则，，，，，所以，所以，，，，，所以存在，使成立22.已知函数，，. （1）若，求的单调区间；（2）若不单调，且.（i）证明：；（ii）若，且，证明：.【答案】（1）答案见解析（2）（i）证明见解析（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）对求导，根据和两种情况讨论得出的单调区间；（2）（i）根据求出，再根据不单调求出，再根据证明.（ii）由题意分析知，要证，即证，设，，对求导，得出的单调性，可将原不等式转化为证明，令，原不等式转化为证明即可，这样将双变量问题转化为单变量问题，构造函数即可证明.【小问1详解】，.当时，.函数在单调递增； 当时，，；，；函数在单调递减，在单调递增.【小问2详解】（ⅰ），，即又因为不单调，即在上有零点，又所以且，所以所以，即又因为所以又因为所以，即.（ⅱ）设，则，故由即即可知，则.要证，也就是证明成立，即证，把代入， 即证明：即可.设.即所以在上单调递增，又，故在上单调递增，又因为，故，即，也就是证明，令，即证：，易知，原不等式等价于先证明：当成立.即，等价于，即则故，所以不等式成立，故成立，原不等式得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形，然后通过换元转化为，这样将双变量问题转化为单变量问题，构造函数解决问题.