18.2.3 第1课时 正方形的性质课件

18.2.3正方形第十八章平行四边形第1课时正方形的性质 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.情景引入你还能举出其他的例子吗？ 矩形〃〃问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？问题引入正方形的性质正方形 问题2菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？正方形 邻边相等矩形〃〃正方形〃〃菱形一个角是直角正方形∟正方形的定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.归纳总结 已知：如图，四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角.ABCD证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=90°，AB=AD(正方形的定义).又∵正方形是平行四边形，∴正方形是矩形(矩形的定义)，正方形是菱形(菱形的定义).∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.证一证 已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.ABCDO证明：∵正方形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO.∵正方形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. 思考请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？对称性：.对称轴：.轴对称图形4条ABCD 矩形菱形正方形平行四边形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：性质：1.正方形的四个角都是直角，四条边相等；2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.归纳总结正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有. 例1求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.ADCBO已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O.求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.证明:∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.典例精析 例2如图，在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形，求证：∠EAD=∠EDA=15°.证明：∵△BEC是等边三角形，∴BE=CE=BC，∠EBC=∠ECB=60°.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠DCB=90°.∴AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°.∴△ABE，△DCE是等腰三角形.∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°.∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°. 【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边为边作等边△ADE，求∠BEC的大小．解：当点E在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 当点E在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以它们的边相等．本题分点E在正方形的外部和在正方形的内部两种情况． 【变式题2】如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP．又∵AB=DC，PB=PC，∴△APB≌△DPC． 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD，即△APD是等边三角形．∴∠DAP=60°．∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°，∠BAP=∠DAB-∠DAP=30°．∴∠BAP=2∠PAC．（2）求证：∠BAP=2∠PAC． 例3如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.ABCDPEF解:连接PC，AC.又∵PE⊥BC，PF⊥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠FCE=90°，BD垂直平分AC.∴四边形PECF是矩形.∴PC=EF.∴AP=PC.∴AP=EF.在正方形的背景下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线、角平分线、等腰三角形等图形的性质来推导.归纳 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等BD练一练 3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，求该正方形的周长与面积．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴该正方形的周长为4AD＝，面积为AD2＝8. 2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（　）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2A1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等A 3.在正方形ABCD中，∠ADB=°，∠DAC=°，∠BOC=°.4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是.ADBCOADBCOE459022.5°第3题图第4题图45 5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形.∴EF＝FC.∵∠B＝∠EFA＝90°，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE.∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE.在Rt△ABC中，∴FC＝AC－AF＝(－1)cm.∴BE＝(－1)cm． 6.如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF，且BE⊥DF.理由如下：∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC，∠BCE=90°.∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.ABDCFE 延长BE交DE于点M，∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°，∴∠CDF+∠F=90°，∴∠CBE+∠F=90°，∴∠BMF=90°，∴BE⊥DF.ABDFECM 1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分正方形的性质性质定义有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.