18.2.2 第1课时 菱形的性质课件

18.2.2菱形第十八章平行四边形第1课时菱形的性质 学习目标1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点） 情景引入欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？ 欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中的菱形一样，那么什么是菱形呢？它有什么特点？这节课让我们一起来学习吧！ 点击视频开始播放→ 平行四边形矩形前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就变成矩形.有一个角是直角菱形的性质 思考如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢?平行四边形定义：有一组邻边相等的平行四边形.菱形邻边相等菱形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是菱形.归纳总结 活动1如何利用折纸、剪切的方法，既快又准地剪出一个菱形的纸片？观看下面的视频：点击视频开始播放→ 问题2根据上面的折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系？菱形的两条对角线有什么关系？活动2在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形(如图)，并回答以下问题：问题1菱形是轴对称图形吗?如果是，指出它的对称轴.是，两条对角线所在的直线都是它的对称轴猜想1菱形的四条边都相等.猜想2菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 求证：(1)AB=BC=CD=AD；(2)AC⊥BD，∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC(平行四边形的对边相等).又∵AB=AD，∴AB=BC=CD=AD.ABCOD证一证已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. (2)∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD中，OB=OD，∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.ABCOD 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相互平分.平行四边形的性质菱形的特殊性质归纳总结 例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理得∴菱形的周长为4AB＝4×＝(cm)．典例精析 例2如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.证明：连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.∴AE＝AF.菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．归纳 证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD＝BA，∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB.∴∠DAE＝∠AEB.∵AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB.∴∠ABC＝∠DAE.∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.又∵AD＝BA，∴△AOD≌△BEA.∴AO＝BE.例3如图，E为菱形ABCD的边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.ABCDOE 1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是()A.10B.12C.15D.20C练一练2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_____cm.第1题图第2题图6 菱形的面积问题1菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形ABCD的面积呢?ABCD思考前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?能.过点A作AE⊥BC于点E，则S菱形ABCD=底×高=BC·AE.E 问题2如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，试用对角线表示出菱形ABCD的面积.ABCDO解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴S菱形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC·(BO+DO)=AC·BD.你有什么发现？菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半 例4如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，∴S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30.∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.而菱形两组对边的距离相等，∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h.∴13h＝120，解得h＝.ABCDO 菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．归纳 例5如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积(结果分别精确到0.01m和0.1m2).ABCDO解：∵花坛ABCD是菱形， 【变式题】如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2，周长是8cm．求：(1)两条对角线的长度；(2)菱形的面积．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC.∴∠ABC+∠BAD=180°.∵∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2，∴∠ABC=×180°=60°.∴△ABC是等边三角形，∠ABO=∠ABC=30°.∵菱形ABCD的周长是8cm，∴AB=2cm. ∴OA=AB=1cm，AC=AB=2cm.∴BD=2OB=cm.=×2×=(cm2)．菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形求解，当菱形中有一个角是60°或120°时，菱形可被一条对角线分为两个等边三角形.归纳(2)S菱形ABCD=AC•BD 练一练如图，已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为()A.2.4cmB.4.8cmC.5cmD.9.6cmB 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等C2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（）A.18B.16C.15D.14B 3.根据下图填一填：（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长是____cm.（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，则∠BAC＝_____°.（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是______cm.330ABCOD5 (4)菱形的一个内角为120°，平分这个内角的对角线长为11cm，菱形的周长为______cm.44(5)菱形的面积为64cm2，两条对角线的比为1∶2，那么菱形最短的那条对角线长为_____cm.8ABCOD 4.如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm.求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴∠AED=90°，(2)菱形ABCD的面积为∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE 5.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CB=CD，CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又CE=CE，∴△BCE≌△DCE(SAS)．∴∠CBE=∠CDE．∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．ADCBFE 6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.(1)求OC的长；解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在Rt△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm. 解：∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形.又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形.∵OB＝OD＝3cm，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.(2)求四边形OBEC的面积． 菱形的性质菱形的性质有关计算边1.周长=边长的四倍2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半角对角线1.两组对边平行且相等；2.四条边相等两组对角分别相等，邻角互补1.两条对角线互相垂直平分；2.每一条对角线平分一组对角