陕西省联盟学校2023届高三数学（理）下学期第一次大联考试题（Word版附答案）

绝密★启用前“高考研究831重点课题项目”陕西省联盟学校2023年第一次大联考数学（理科）试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效．3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合，，则（）A．B．C．D．2．在复平面内，复数z与对应的点关于实轴对称，则z等于（）A．B．C．D．3．下列说法中正确的是（）A．回归直线方程为，则样本点的中心可以为B．采用系统抽样，从800名学生中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为40C．“”是“”成立的充分不必要条件D．命题p：，，则：，4．二项式的展开式中项的系数为10，则（）A．8B．6C．5D．105．已知x，，，则xy的最大值为（）A．B．C．D．6．某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（）A．72种B．36种C．24种D．18种7．已知圆C：关于直线对称，则圆C中以 为中点的弦长为（）A．B．C．D．8．在xOy平面内，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过左顶点A且斜率为的直线与渐近线在第一象限的交点为M，若，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．9．在△ABC中，如果，那么△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则b的值为（）A．1B．C．D．211．函数在上有唯一的极大值，则（）A．B．C．D．12．已知偶函数满足，且当时，，关于x的不等式在上有且只有30个整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线在处的切线方程为________． 14．设数列，均为等差数列，它们的前n项和分别为，，若，则________．15．点A，B是抛物线C：上的两点，F是抛物线C的焦点，若，AB中点D到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为________．16．在四棱锥中，平面ABCD，，点M是矩形ABCD内（含边界）的动点，且，，直线PM与平面ABCD所成的角为，当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的体积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17．（12分）数列为正项数列，，，（I）求数列的通项公式；（II）若数列满足，为数列的前项和，求证：．18．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上．（I）若，求证：；（II）设平面DEF与平面DPA所成二面角的平面角为，试确定点F的位置，使得 ．19．（12分）中国职业男篮CBA总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入400万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元．（I）求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率；（II）设总决赛中获得门票总收入为X，求X的数学期望．20．（12分）已知，为椭圆E：的上、下焦点，为平面内一个动点，其中．（I）若，求面积的最大值；（II）记射线与椭圆E交于，射线与椭圆E交于，若，探求，，之间的关系．21．（12分）已知函数，，e为自然对数的底数．（I）当时，求的单调区间；（II）若函数有两个不同的零点，，证明：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为（为参数），直线l：（，）与曲线C相交于M、N两点．以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．（I）求曲线C的极坐标方程；（II）记线段MN的中点为P，若恒成立，求实数的取值范围．23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数． （I）若（m，）对恒成立，求的最小值；（II）若恒成立，求实数a的取值范围．“高考研究831重点课题项目”陕西省联盟学校2023年第一次大联考数学（理科）试题参考答案一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）题号123456789101112答案CDACABDBDACD二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）题号13141516答案答案解析一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1．【参考答案】C2．【参考答案】D【解析】，则．3．【参考答案】A4．【参考答案】C【解析】由得，．5．【参考答案】A【解析】由题可得，，，则，当且仅当，时，等号成立．6．【参考答案】B【解析】．7．【参考答案】D 【解析】直线过圆C：的圆心，，则，圆C中以为中点的弦长为．8．【参考答案】B【解析】由得，则，，于是．9．【参考答案】D【解析】，则，于是B，A均为锐角，则△ABC的形状无法确定．10．【参考答案】A【解析】易得，化简得．11．【参考答案】C【解析】令，，则，，在y轴右侧的第一个极大值点为，第二个极大值点为，于是解得．12．【参考答案】D【解析】由题可知，此函数周期为8，此不等式在上恰有3个整数解，又可知在上递增，在上递减，且，，故，且须解得．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．【参考答案】【解析】，切线方程为即． 14．【参考答案】【解析】．15．【参考答案】【解析】由抛物线几何性质可得，由余弦定理和基本不等式可得，，易得，当且仅当时等号成立．16．【参考答案】【解析】【详解】如图，易知M位于底面矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，记点M的轨迹为圆弧EF．连接AF，当点M位于F时，三棱锥的体积最小，又，则三棱锥的外接球球心为PF的中点，此外接球的体积．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：（1）由得，∴；（II），∴．18．解：（I）在△PCD中，， ∵E为PC的中点，∴DE平分∠PDC，，∴在Rt△PDE中，，过E作于H，则，连结FH，∵，∴四边形AFHD是矩形，∴，又，，∴平面EFH，又平面EFH，∴．（II）∵，，∴，又，∴平面PCD，又平面ABCD，∴平面平面ABCD．过D作交PC于点G，则由平面平面ABCD知，平面ABCD，故DA，DC，DG两两垂直，以D为原点，以DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，又知E为PC的中点，，设，，则，，，．设平面DEF的法向量为，则∴取，可求得平面DEF的一个法向量，设平面ADP的法向量为，则 所以取．∴，解得，∴当时满足．19．解：（I）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为400，公差为100的等差数列．设此数列为，则易知，，所以．解得或（舍去），所以此决赛共比赛了5场．则前4场比赛的比分必为1：3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为．所以总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率为．（II）随机变量X可取的值为，，，，即2200，3000，3900，4900．，，，，所以X的分布列为X2200300039004900P所以．20．解：（I）由题可知，点为椭圆上一点，且，则，于是面积的最大值为．（II）射线的方程为，射线的方程为 ，联立解得，①又，则，②将②代入①，得．21．解：（I）当时，，，，当时，；当时，，则的单调增区间为区间，减区间为区间．（II），，令，，则在上单调递增，又，于是当即时，，则此关于x的方程有两个不同的解，，即构造函数，，，当时，；当时，，可知，又，不妨设，由②-①，得，令，则，，同理可得，，要证，即证，令，，，又，则， ，又，，故此题得证．22．解：（I）因为曲线C的参数方程为（为参数），故所求方程为．又，则，故曲线C的极坐标方程为．（II）联立和，得，设、，则，由，得，当时，取最大值，故实数的取值范围为．23．解：（I）由题可得， 如图所示，，则，可得，于是，当且仅当时，等号成立．故的最小值为．（II）令，则恒过，当过点时，，结合图像分析可得，．故．