浙江省宁波市北仑中学2022-2023学年高二数学下学期期初返校考试试题（Word版附解析）

北仑中学2022学年第二学期高二年级期初返校考试数学试卷（全年级+外高班使用）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若直线与直线垂直，则a的值为（）A.-3B.1C.3D.5【答案】C【解析】【分析】根据两直线垂直列方程，化简求得的值.【详解】由于两条直线垂直，所以，解得.故选：C2.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（）A.甲成绩的极差小于乙成绩的极差B.甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数C.甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数D.甲成绩的方差小于乙成绩的方差【答案】B【解析】【分析】分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到答案. 【详解】从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确；将甲成绩进行排序，又，故从小到大，选择第二个成绩作为甲成绩的第25百分位数，估计值为90分，将乙成绩进行排序，又，故从小到大，选择第5个成绩成绩作为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90分，从而甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，B错误；甲成绩均集中在90分左右，而乙成绩大多数集中在60分左右，故C正确.故选：B3.已知空间向量，，，若，则（）A.2B.C.14D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量平行的性质即可.【详解】因为空间向量，，，如果，则，所以，解得，所以，故选：C.4.在平行六面体中，点在上，且，若，则（） A.B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算即可求解.【详解】如图，,所以，所以，故选:C.5.若双曲线的左焦点关于其渐近线的对称点恰好落在双曲线的右支上，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先设出双曲线的左焦点，关于渐近线方程为的对称点为，根据关于渐近线对称，利用垂直平分，解得对称点的坐标，再根据对称点恰好落在双曲线的右支上，将坐标代入双曲线的方程求解.【详解】设双曲线的左焦点为，关于渐近线方程为的 对称点为，所以，解得，所以对称点，因为对称点恰好落在双曲线的右支上，所以，所以，化简解得：所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及点关于直线对称问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.若函数存在极值，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知，函数在定义域上存在极值点，令可得 ，换元，可得，则实数的取值范围为函数在上的值域且满足，由此可求得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，且.由题意可知，函数在定义域上存在极值点，由可得，令，则，则实数的取值范围为函数在上的值域且满足，对于二次函数，当时，，对于二次方程，即，，解得因此，实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，一般转化为导函数的零点，但要注意导函数的图象与轴不能相切，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.7.设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】联立与求出，进而的正切可求，得出的关系，从而进一步解出答案.【详解】依题意得,以线段为直径的圆的方程为,双曲线的一条渐近线的方程为.由以及解得或不妨取,则.因为,所以,又,所以,所以,所以该双曲线的离心率.故选：D.8.已知，，是函数（，）的零点，且，若，则当，变化时，的最小值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由和函数的单调性可知，，再根据可求得，构造函数 （），利用导数即可求得最小值.【详解】由题知：，易知的两根为0和，的三个零点，，，满足：，即函数在极值点右侧有两个零点，，即，且，又解得，（），，设（），，时，，时，，在上单调递减，在单调递增，时，，.故选：A.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(2)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(3)考查数形结合思想的应用．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某保险公司为客户定制了个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图．则以下说法正确的是（）A.周岁以上的参保人数最少B.周岁人群参保的总费用最少C.丁险种更受参保人青睐D.周岁及以上的参保人数占总参保人数的【答案】AC【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保人数比例图可知，周岁以上参保人数最少，周岁以上人群约占参保人群的，故A正确，D错误由参保险种比例图可知，丁险种更受参保人青睐，故C正确由不同年龄段人均参保费用图可知，周岁人群人均参保费用最少，但是这类人所占比例为，所以总费用不一定最少，故B错误．故选：AC． 10.在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（）A.若点在平面内，则必存在实数，使得B.直线与所成角的余弦值为C.点到直线的距离为D.存在实数、使得【答案】BCD【解析】【分析】根据空间向量共面定理，异面直线夹角和点到直线距离的求解方法，以及线面平行的判定定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：若三点共线，则不存在实数，使得，故A错误；对B：取的中点为，连接，如下所示：在三角形中，分别为的中点，故可得//， 在三角形中，分别为的中点，故可得//，则//，故直线所成的角即为或其补角；在三角形中，，，由余弦定理可得：，即直线与所成角的余弦值为，故B正确；对C：连接如下图所示：在三角形中，，，，故点到直线的距离即为三角形中边上的高，设其为，则.故C正确；对D：记的中点为，连接，如下所示： 由B选项所证，//，又面面，故//面；易知//，又面面，故//面，又面，故平面//面，又面，故可得//面，故存在实数、使得，D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中四点共面、线面平行、线线角，以及点到直线距离的求解，处理问题的关键是准确把握本题中向量的表达形式，属综合基础题.11.已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，点，在上，点，在上，且，，，，为坐标原点，记，的面积分别为，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据，，则四点在以OP为直径的圆上，从而有；根据双曲线方程写出渐近线方程，求得倾斜角，用PA，PB表示出PM，PN，从而求得面积关系；设，由点到直线距离求得PA，PB，从而验证的值；从而求得的值，在三角形中，由余弦定理表示出MN，从而求得范围. 【详解】由，，四点在以OP为直径的圆上，则，故B正确；由双曲线方程设，，则，由，，则则，，则，，则，故C错误；设，满足，则，则由点到直线距离知，同理有，则，故A正确；故，在三角形中，由余弦定理知，，故，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据条件写出渐近线方程，本题属于特殊角相关计算，可以表示出具体的线段和三角形面积，验证是否满足选项答案即可.在求解范围问题时，首先需要求得线段的表达式，然后借助函数或基本不等式求得范围或最值.12.【多选题】已知a为常数，函数有两个极值点，则（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】对于A、B：利用二次求导判断出以，得到在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，得到，即可判断A、B；对于C、D：由得到，利用对数平均不等式得到，，即可证明出，得到，即可判断C，D.【详解】由题意得，且定义域为，令，则，因为两个极值点，即在有两根，由此可知，且在单调递增，在单调递减，，因为在有两根，所以，即，解得， 因为在有两根为，所以，又，所以，从的正负可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以，因为，所以，所以A错误，B正确；因为，所以，即，根据对数平均不等式得，，，根据同向同正可乘性得，因为，所以，因为恒成立，所以，即，所以C错误，D正确；故选：BD．【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知事件，相互独立，且，，则______．【答案】##0.75【解析】【分析】利用独立事件乘法公式有，根据已知即可求. 【详解】由题设，则.故答案为：14.已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，点为上一点，若的面积为7，且内切圆的半径为，则的标准方程为__________．【答案】【解析】【分析】结合椭圆的定义、离心率以及的面积求得，进而求得，从而求得椭圆的标准方程.【详解】根据椭圆的定义有，的周长为，由于的面积为7，且内切圆的半径为，所以，而椭圆的离心率，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.故答案为：15.如图，在四棱台中，，，则的最小值为_________. 【答案】【解析】【分析】先判断出的最小值为四棱台的高，添加如图所示的辅助线后可求四棱台的高，从而可得所求的最小值.【详解】如图，设，则平面，故，的最小值即为四棱台的高.如下图，过作，垂足为，过作，垂足为，过作平面，垂足为，连接，则，，因为，，故，故，而，故，所以，因为平面，故，而，故平面，因平面，故，故，故，即的最小值为，故答案为：. 16.已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则在区间上的极大值为____________．【答案】1【解析】【分析】由题意可得，构造函数，可得，可得解析式，结合的值，可得解析式，求导，令，利用导数可得的单调性和最值，根据特殊值和，分析可得的单调性和极值，即可得答案.【详解】由题意得，令，所以，则，且c为常数，所以，所以，解得，所以，则．令，则．当时，单调递增；当时，单调递减， 所以在处取得最大值．又，所以，使．又，所以当时，，单调递减；当时，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得极大值．【点睛】关键点点睛：合理变形得，并适当构造函数，根据题中数据，求得解析式，并利用导数求得的单调性和极值，难点在于求导得，无法判断其正负时，需再次求导，根据其导函数值的正负，可得的正负，可得的单调性和极值，属中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量数据得到频率分布直方图如图所示．（1）补全频率分布直方图；（2）若同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数及方差； （3）当一件产品的质量指标值位于时，认为该产品为合格品，求样本中的产品为合格品的频率．【答案】（1）作图见解析（2），（3）0.95【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为求出对应的频率，即可补全频率分布直方图；（2）根据平均数、方差公式计算可得；（3）根据频率分布直方图求出产品的质量指标值位于的频率，即可得解.小问1详解】解：由频率分布直方图得对应的频率为，由此补全频率分布直方图如图：【小问2详解】解：由频率分布直方图可得平均数，方差．【小问3详解】 解：质量指标值位于的频率为．故样本中的产品为合格品的频率为．18.在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线垂直；②过点；③与直线平行．问题：已知直线l过点，且__________．（1）求直线l的一般式方程；（2）已知，O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使得最大．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）选择不同的条件，根据直线垂直，平行时，斜率之间的关系，以及直线方程的求解，即可求得结果；（2）求得点关于的对称点的坐标，数形结合，求两直线的交点坐标，即可求得结果.【小问1详解】选择①与直线垂直，则直线的斜率，解得，又其过点，则直线的方程为：，整理得：；选择②过点，又直线过点则直线的斜率，则直线的方程为：，整理得：；选择③与直线平行，则直线的斜率，又其过点， 则直线方程为：，整理得：；综上所述，不论选择哪个条件，直线的方程均为：.【小问2详解】根据（1）中所求，可得直线的方程为：，又，设点关于直线的对称点为，则，且，解得，即；根据题意，作图如下：显然，但且仅当三点共线时取得等号；又直线的斜率，故其方程为：，即，联立，可得，即点的坐标为时，使得最大.19.已知函数．（1）当时，判断函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上是单调递增的（2）【解析】【分析】（1）对求导，从而确实为正及的单调性；（2）令，然后分和两种情况讨论的单调性及最值，即可得答案.【小问1详解】当时，，定义域为，所以，所以在上是单调递增的.【小问2详解】当时，，等价于，则，，令，则，当时，，则在上是单调递增的，则①当时，，在上是单调递增的，所以，满足题意．②当时，，，所以，使，因为在上是单调递增的所以当时，，所以在上是单调递减的，又，即得当时，，不满足题意． 综上①②可知：实数的取值范围.20.如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，点F在棱上，且P与E位于平面的两侧．（1）证明：平面．（2）若，且在上的投影向量为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)先证明面面平行，进而可证明线面平行；(2)利用空间向量的坐标运算求解面面夹角的余弦值.【小问1详解】因为平面平面，所以，平面,平面,所以平面,又因为底面为矩形，所以,平面,平面,所以平面,且平面,所以平面平面,又因为平面,所以平面. 【小问2详解】因为平面平面所以且,所以以为轴建系如图，则,设,因为在上的投影向量为，与的同向单位向量为，所以为在上的投影为，即解得，所以，且,设平面的法向量为，所以令， 所以，设平面的法向量为，所以令，所以，，因为平面与平面夹角为钝角，所以平面与平面夹角的余弦值为.21.已知等轴双曲线的右焦点为，过右焦点F作斜率为正的直线l，直线l交双曲线的右支于P，Q两点，分别交两条渐近线于M，N两点，点M，P在第一象限，O是原点.（1）求直线l斜率的取值范围；（2）设的面积分别为，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）已知等轴和焦点坐标，可求出双曲线方程，设出直线方程，联立双曲线方程由韦达定理即可解得直线l斜率的取值范围.（2）由直线与渐近线方程联立可求出M，N两点的坐标，再求出P到两条渐近线的距离，整体代入求出，分割利用韦达定理结合三角形面积公式，可求得，进而得到关于t的函数关系式，即可得到答案. 【小问1详解】已知双曲线等轴，可设双曲线方程为，因为右焦点为，故，由得，所以双曲线方程的方程为，设直线l的方程为，联立双曲线方程得，，解得即直线l斜率的取值范围为.【小问2详解】设，渐近线方程为，则P到两条渐近线的距离满足，，而，，同理，所以，由，，所以，，22.已知函数（1）若存在零点，求实数a的取值范围； （2）若是的零点，求证：【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）令，变形得，令，求出函数的值域，即可求得实数a的范围；（2）由题意可得，，得，要证，即证，先证，只需证，令，求出函数的最小值即可得证；再证，令，证明即可得证.【小问1详解】令，变形得，令，问题转化成与有交点，令，解得，则在上单调递增，在上单调递减，故，又当时，，， 故实数a的取值范围为.【小问2详解】由题意可得，，得，要证，即证，即证，先证，只需证，令，则，在上单调递减，在上单调递增，故，，左边证毕，再证，令，，在上单调递增，在上单调递减，故；令，，对于函数，，则，原函数单调递减，故令，解得，在上单调递减，在上单调递增，故 ，，即，故，右边证毕，则得证.【点睛】本题考查了函数的零点问题、单调性及最值，考查了计算能力及逻辑推理能力，需要构造新的函数来解决所求问题，属于难题.