浙江省宁波市北仑中学2022-2023学年高二数学下学期开学考试试卷（Word版附答案）

北仑中学2022学年第二学期高二年级期初返校考试数学试卷（全年级+外高班使用）命题:高二数学备课组审题:高二数学备课组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线与直线垂直，则a的值为A．-3B．1C．3D．52．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差B．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差3．已知空间向量，，，若，则A．2B．C．14D．4．在平行六面体中，点在上，且，若，则A．B．1C．D．5．若双曲线的左焦点关于其渐近线的对称点恰好落在双曲线的右支上，则双曲线的渐近线方程为A.B.C.D.6．若函数存在极值，则实数的取值范围是A．（0，1]B.（0，1）C.（-∞，1]D.（-∞，1）7．设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为A．B．C．2D．8．已知，，是函数（，）的零点，且，若，则当，变化时，的最小值是A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某保险公司为客户定制了个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对 个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图．则以下说法正确的是A．周岁以上的参保人数最少B．周岁人群参保的总费用最少C．丁险种更受参保人青睐D．周岁及以上的参保人数占总参保人数的10．在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是A．若点在平面内，则必存在实数，使得B．直线与所成角的余弦值为C．点到直线的距离为D．存在实数、使得11．已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，点，在上，点，在上，且，，，，为坐标原点，记，的面积分别为，，则下列结论正确的是A．B．C．D．12．已知a为常数，函数有两个极值点，则A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知事件，相互独立，且，，则▲.14．已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，点为上一点，若的面积为7，且内切圆的半径为，则的标准方程为▲.15．如图,在四棱台中,,,则的最小值为▲.16．已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则在区间上的极大值为▲.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，经测量得到的数据位于[75,125],频率分布直方图如图所示.(1)补全频率分布直方图；(2)若同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数及方差s2；(3)当一件产品的质量指标值位于(80，122.5)时，认为该产品为合格品，求样本中的产品为合格品的频率. 18．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线垂直；②过点；③与直线平行．问题：已知直线l过点，且__________．(1)求直线l的一般式方程；(2)己知，O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使得最大．19．已知函数．(1)当时，判断函数的单调性；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．20．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，点F在棱上，且P与E位于平面的两侧．(1)证明：平面．(2)若，且在上的投影向量为，求平面与平面夹角的余弦值． 21．已知等轴双曲线的右焦点为，过右焦点F作斜率为正的直线l，直线l交双曲线的右支于P，Q两点，分别交两条渐近线于M，N两点，点M，P在第一象限，O是原点.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)设的面积分别为，求的取值范围.22．已知函数(1)若存在零点，求实数a的取值范围；(2)若是的零点，求证： 高二数学期初返校考试参考答案：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C2．B3．C4．C5.B6．D7．D8．A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．AC10．BCD11．ABD12．BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．14．15．16．1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）由频率分布直方图得[95,105]对应的频率为0.38，由此补全频率分布直方图（2）=100，s2=104(3)质量指标位于(80,122.5)的频率为0.95，故样本中的产品为合格品的频率为0.9518．（1）选择①与直线垂直，则直线的斜率，解得，又其过点，则直线的方程为：，整理得：；选择②过点，又直线过点则直线的斜率，则直线的方程为：，整理得：；选择③与直线平行，则直线的斜率，又其过点，则直线的方程为：，整理得：；综上所述，不论选择哪个条件，直线的方程均为：.（2）根据（1）中所求，可得直线的方程为：，又，设点关于直线的对称点为，则，且，解得，即；根据题意，显然，但且仅当三点共线时取得等号；又直线的斜率，故其方程为：，即，联立，可得，即点的坐标为时，使得最大.19．（1）当时，，定义域为，所以，所以在上是单调递增的. （2）当时，，等价于，则，，令，则，当时，，则在上是单调递增的，则①当时，，在上是单调递增的，所以，满足题意．②当时，，，所以，使，因为在上是单调递增的所以当时，，所以在上是单调递减的，又，即得当时，，不满足题意．综上①②可知：实数的取值范围.20．（1）因为平面平面，所以，平面,平面,所以平面,又因为底面为矩形，所以,平面,平面,所以平面,且平面,所以平面平面,又因为平面,所以平面.（2）因为平面平面所以且,所以以为轴建系如图，则,设,因为在上的投影向量为，与的同向单位向量为，所以为在上的投影为，即解得，所以，且,设平面的法向量为，所以令，所以，设平面的法向量为，所以令，所以， ，所以平面与平面夹角的余弦值为.21．（1）已知双曲线等轴，可设双曲线方程为，因为右焦点为，故，由得，所以双曲线方程的方程为，设直线l的方程为，联立双曲线方程得，，解得即直线l斜率的取值范围为.（2）设，渐近线方程为，则P到两条渐近线的距离满足，，而，，同理，所以，由，，所以，，22．（1）令，变形得，令，问题转化成与有交点，令，解得，则在上单调递增，在上单调递减，故，又当时，，，故实数a的取值范围为. （2）由题意可得，，得，要证，即证，即证，先证，只需证，令，则，在上单调递减，在上单调递增，故，，左边证毕，再证，令，，在上单调递增，在上单调递减，故；令，，对于函数，，则，原函数单调递减，故令，解得，在上单调递减，在上单调递增，故，，即，故，右边证毕，则得证.