华师大版九下数学第26章二次函数小结与复习课件

小结与复习第26章二次函数 1.二次函数的概念一般地，形如(a，b，c是常数，)的函数，叫做二次函数．y＝ax2＋bx＋ca≠0[注意](1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．2.二次函数的图象二次函数的图象是一条，它是对称图形，其对称轴平行于_____轴.抛物线轴y (1)一般式：____________________；3.二次函数的表达式y=ax2+bx+c(a≠0)(2)顶点式：____________________；y=a(x-h)2+k(a≠0)(3)交点式：.y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)4.二次函数的平移一般地，平移二次函数y＝ax2的图象可得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象． y＝ax2上、下平移y＝ax2左、右平移左、右平移上、下平移上、下移且左、右移[注意]抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律：左加右减，上加下减． 二次函数y=a(x−h)2+ky=ax2+bx+c开口方向对称轴顶点坐标最值a＞0a＜0增减性a＞0a＜05.二次函数的图象与性质：a＞0时开口向上a＜0时开口向下x=h(h，k)y最小=ky最大=k在对称轴左边x↗y↗，在对称轴右边x↗y↘在对称轴左边x↗y↘，在对称轴右边x↗y↗y最小=y最大= 6.二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系：b2-4ac的符号二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集不等式ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集x2x1xyOOx1=x2xyOyxb2-4ac＞0b2-4ac＝0b2-4ac＜0x1，x2x1=x2=没有实数根x＜x1或x＞x2x≠x1全体实数x1＜x＜x2无解无解 考点一求抛物线的顶点、对称轴、最值例1抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为_______．【解析】方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为(1，2)．方法二：代入公式，，则顶点坐标为(1，2)．(1，2) 解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到其对称轴是直线x＝h，顶点坐标为(h，k)，当自变量范围没有限制时，其最值为y＝k；也可以直接利用公式求解.方法归纳 1.对于y＝2(x－3)2＋2的图象，下列叙述正确的是()A.顶点坐标为(－3，2)B.对称轴为y＝3C.当x≥3时，y随x的增大而增大D.当x≥3时，y随x的增大而减小C针对训练 yx考点二二次函数的图象与性质及函数值的大小比较例2二次函数y＝-x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1＜x2＜1，则y1与y2的大小关系是()A.y1≤y2B.y1＜y2C.y1≤y2D.y1＞y2【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大.∵x1＜x2＜1，∴y1＜y2.B 当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知字母时，可以用如下方法比较函数值的大小：(1)用含有未知字母的代数式表示各函数值，然后进行比较；(2)在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解；(3)根据二次函数的性质，结合函数图象比较.方法总结 2.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（）A.y=x2B.y=x-1C.D.y=-3x2D针对训练 例3已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4yx考点三二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数a，b，c的关系 ①abc＞0解析：由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确.yx②2a－b＜0由对称轴x＞－1可得2a－b＜0，故②正确.③4a－2b＋c＜0由图象上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确 由图象上横坐标为x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上横坐标为x＝－1的点在第二象限得a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，所以(a＋c)2＜b2，故④正确.故选D.yx④(a＋c)2＜b2 方法总结1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0⇔对称轴是y轴；a、b同号⇔对称轴在y轴左侧；a、b异号⇔对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”. 2.当x＝1时，函数值y＝a＋b＋c，当图象上横坐标x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐标x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上横坐标x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图象上横坐标x＝－1，±2的点判断a－b＋c，4a±b＋c的符号. 针对训练解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为由题意知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线的对称轴应在直线x=1的左侧.3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是()A.b≥－1B.b≤－1C.b≥1D.b≤1DxyOb1∴b≤1.如图所示. 考点四抛物线的几何变换例4将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是()A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－1)2－5【解析】因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的解析式为y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝(x－4)2－2.故选B.B 4.若抛物线y=－7(x+4)2－1平移得到y=－7x2，则可以（）A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位B针对训练 考点五二次函数表达式的确定例5已知关于x的二次函数，当x=-1时，函数值为10；当x=1时，函数值为4；当x=2时，函数值为7.求这个二次函数的表达式.待定系数法解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，由题意得解得a=2，b=-3，c=5.∴所求的二次函数表达式为y=2x2-3x+5. 方法总结1.若已知图象上的任意三个点，则设一般式求表达式；2.若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值时，则可设顶点式求表达式，最后化为一般式；3.若已知二次函数图象与x轴的交点坐标为(x1，0)、(x2，0)时，可设交点式求表达式，最后化为一般式. 5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同，顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为5，请写出满足此条件的抛物线的表达式.解：由题意，得a=±1.又∵顶点在直线x=1上，且到x轴的距离为5，∴顶点为(1，5)或(1，－5).∴表达式可为：(1)y=(x－1)2+5；(2)y=(x－1)2－5；(3)y=－(x－1)2+5；(4)y=－(x－1)2－5.针对训练 例6若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（　　）A．x1=0，x2=6B．x1=1，x2=7C．x1=1，x2=-7D．x1=-1，x2=7解析：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，∴=3，解得m=－6.∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2－6x－7=0，即(x+1)(x－7)=0，解得x1=－1，x2=7．故选D．考点六二次函数与一元二次方程D 例7某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m)，面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.考点七二次函数的应用 解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为(6-x)，∴S=x(6-x)=-x2+6x，其中0＜x＜6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9，∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为9×1000=9000(元). 二次函数图象画法抛物线的开口方向抛物线的顶点坐标和对称轴二次函数的性质抛物线的平移最值确定表达式应用 见教材章末练习