华师大版九下数学26.3第3课时二次函数与一元二次方程的联系导学案

26.3实践与探索第3课时二次函数与一元二次方程的联系学习目标：1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系，体会数形结合思想的应用.（难点）2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.(重点）3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.自主学习一、知识链接1.如图①，直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（1，0），则关于x的方程kx+b=0的解是；关于x的不等式kx+b＜0的解集为；若点P（2.5，3）在函数图象上，则关于x的方程kx+b=3的解是.图①图②2.如图②，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b和y=mx+n相交于点(2，-1），则关于x、y的方程组的解为.不等式kx+b＞mx+n的解集是.3.不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）5x2+x=7；（2）25x2+20x+4=0；（3）（x+1）（4x+1）=2x．思考：对于抛物线y=ax2+bx+c,能否通过图象得出y=0的解及y＞0的解集？二、新知预习 1.画出二次函数的图象. （1）根据图象填写下表：抛物线与x轴交点个数交点横坐标方程y=0的根（2）通过上表，你能得出什么结论？【自主归纳】二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数：当b2-4ac＞0时，有_____个交点；当b2-4ac=0时，有_____个交点；当b2-4ac＜0时，有_____个交点.（3）对于二次函数观察图象，填空：当x满足条件________________时，y＜0；当x满足条件_________________时，y＞0练习：1.二次函数y=2x2+3x+1的图象与x轴的交点有（　　）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个2.画出二次函数y=x2-4x+3的图象，并回答:当x取何值时，y=0?当x取何值时，y＞0?当x取何值时，y＜0?合作探究一、要点探究探究点1：二次函数与一元二次方程（不等式）的关系观察与思考二次函数y=ax2+bx+c的图象如图③所示，根据图象填空：（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解：_________________________;（2）当x满足________________时，y＞0，当x满足________________时，y＜0.（3）在坐标系中画出直线y=4,它与二次函数y=ax2+bx+c的图象有交点吗？若有，则交点的横坐标为_________________;由此，可以得出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4的解为______________________;（4）在坐标系中画出直线y=3,此时直线y=3与二次函数y=ax2+bx+c的图象有_____个交点；交点的横坐标为____________________;请写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0的解：_________________________; 图③图④【要点归纳】一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.思考：利用图象法求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解时，除了画出二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过其与x轴的交点坐标得出方程的解之外，还有别的方法吗？问题：在图④所示的坐标中，画出二次函数y=x2和一次函数y=x+2的图象，根据图象，填空：（1）抛物线与直线交点的横坐标分别为____________,它们可看作是一元二次方程______________的解；（2）抛物线与直线交点的坐标分别为___________________,它们可看作是方程组______________的解.练一练已知二次函数y=-x2+2x+3和一次函数y=-x+3的图象如图⑤所示，根据图象，填空：（1）关于x的一元二次方程-x2+2x+3=-x+3的解为________________；（2）方程组的解为_______________________；（3）不等式-x2+2x+3＞-x+3的解集为_____________________.图⑤图⑥图⑦【典例精析】例1二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图⑥所示，则方程ax2+bx+c-4=0的根的情况是（　　）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的正实数根 C．有两个不相等的负实数根D．没有实数根【针对训练】已知函数y=ax2+bx+c的图象如图⑦所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+=0的根的情况是（　　）A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根例2已知关于x的二次函数y=ax2-4ax+a+1（a＞0），若二次函数的图象与x轴有交点，求a的取值范围.【针对训练】已知二次函数y=x2-2mx+m2-1（m为常数）．求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点.探究点2：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解做一做求一元二次方程的根的近似值(精确到0.1).（1）在给出的平面直角坐标系中画出y=的图象；（2）观察图象，可知y=的图象与x轴的两个交点,一个在________之间，一个在_________之间；（3）根据图象估算一个根在-0.8~-0.6之间，另一个根在2.6~2.8之间，填写下表（可利用计算器进行计算）：x-0.8-0.7-0.62.62.72.8（4）根据上表，可知当x=_____________时，y的值更趋近于0，则一元二次方程的根的近似值为_______________________.【要点归纳】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，先画出相应二次函数的图象，确定其与x轴交点的横坐标所在范围；再根据图象及精确度，估算x的近似取值范围，然后通过列表求值，得出使得y的值最趋近于0的x的值，此时x的值即为一元二次方程的近似解.二、课堂小结判别式Δ=b2－4acΔ>0Δ＝0Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1，x2x1=x2＝没有实数根不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集x<x1或x>x2x≠x1的一切实数所有实数不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集x1<x<x2无解无解当堂检测1.抛物线y=-x2+2x-4与x轴的交点个数是（　　）A．0个B．1个C．2个D．3个2.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式-2m2+2m+2020的值为（　　）A．2018B．2019C．2020D．20213.已知抛物线y=ax2+2x-1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4.已知二次函数y=ax2+bx+c中x和y的值如下表（　　）x0.100.110.120.130.14y-5.6-3.1-1.50.91.8则ax2+bx+c=0的一个根的范围是（　　）A．0.10＜x＜0.11B．0.11＜x＜0.12C．0.12＜x＜0.13D．0.13＜x＜0.145.画出二次函数y=-x2+2x+3的图象，并根据图象解答下列问题．（1）写出抛物线的对称轴、顶点坐标、与x轴和y轴的交点坐标．（2）当x在什么范围内时，y＞0？（3）当x在什么范围内时，y＜0？6.如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，0）及点B（n，3）.（1）求二次函数的表达式及n的值；（2）根据图象，直接写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．参考答案 自主学习一、知识链接1.x=1x＜1x=2.52.x＞23.解：（1）原方程化为一般式5x2+x-7=0.∵Δ=12-4×5×（-7）=141＞0，∴方程有两个不相等的实数根.（2）∵Δ=202-4×25×4=0，∴方程有两个相等的实数根.（3）原方程化为一般式4x2+3x+1=0.∵Δ=32-4×4×1=-7＜0，∴方程没有实数根．二、新知预习1.如图所示.（1）填表如下：抛物线与x轴交点个数交点横坐标方程y=0的根2-1，3x1=-1,x2=30无无实数根12x1=x2=2【自主归纳】210（3）-1＜x＜3x＜-1或x＞3练习：1.C2.解：画图略.当x=1或x=3时，y=0.当x＞3或x＜1时，y＞0.当1＜x＜3时，y＜0.合作探究一、要点探究探究点1：二次函数与一元二次方程（不等式）的关系观察与思考(1)x1=-1,x2=3（2）-1＜x＜3x＜-1或x＞3(3)（图略）1x=1(4)（图略）20，2x1=0，x2=2问题解：二次函数y=x2和一次函数y=x+2的图象如图所示.（1）-1，2x2=x+2（2）（-1，1），（2,4） 练一练（1）x1=0,x2=3（3）0＜x＜3【典例精析】例1D【针对训练】D例2解：（1）Δ=（-4a）2-4a（a+1）≥0，且a＞0，解得a≥.【针对训练】证明：Δ=b2-4ac=（-2m）2-4（m2-1）=4＞0，故不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点.探究点2：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解做一做解：（1）如图所示.（2）-1~02~3(3)填表如下：x-0.8-0.7-0.62.62.72.80.24-0.11-0.44-0.44-0.110.24（4）-0.7或2.7x1≈-0.7，x2≈2.7当堂检测1.A2.A3.D4.C5.解：（1）如图所示.抛物线的对称轴为直线x=1，当x=1时，y=4，故顶点坐标为（1，4）.令y=0，则x=3或x=-1.令x=0，则y=3.故抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）、（-1，0）.抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）.（2）当-1＜x＜3时，y＞0.（3）当x＞3或x＜-1时，y＜0．6.解：（1）∵二次函数y=（x-2）2+m的图象经过点A（1，0），∴（1-2）2+m=0，解得m=-1.∴二次函数的表达式为y=（x-2）2-1（或y=x2-4x+3），代入点B的坐标，可得（n-2）2-1=3，解得n1=4，n2=0（不合题意，舍去）.∴n的值为4.（2）当1≤x≤4时，kx+b≥（x-2）2+m．