华师大版九下数学26.2.2第5课时图形面积的最大值教案

1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．（重点）2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．（重点）3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．（重难点）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为(　　)A．3　　　B．－1　　　C．4　　　D．4或－1解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝＝＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C.方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种是由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．探究点二：利用二次函数求图形面积的最大值【类型一】利用二次函数求矩形面积的最大值如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则围成花圃的最大面积为多少平方米？解析：(1)根据AB为x米，则BC为(24－4x)米，利用长方形的面积公式，可求出关系式；(2)由(1)可知y和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长；(3)根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求出x的 取值范围，即可求出花圃的最大面积．解：(1)∵AB＝x，∴BC＝24－4x，∴S＝AB·BC＝x(24－4x)＝－4x2＋24x(0＜x＜6)；(2)S＝－4x2＋24x＝－4(x－3)2＋36，∵0＜x＜6，∴当x＝3时，S有最大值为36；(3)∵∴4≤x＜6.∴当x＝4时，花圃的面积最大，最大面积为32平方米．方法总结：根据已知条件列出二次函数关系式是解题的关键．但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围．【类型二】利用割补法求图形的最大面积在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别选取点E、F、G、H，使得AE＝AH＝CF＝CG，如果AB＝60，BC＝40，四边形EFGH的最大面积是(　　)A．1350B．1300C．1250D．1200解析：设AE＝AH＝CF＝CG＝x，四边形EFGH的面积是S.由题意得BE＝DG＝60－x，BF＝DH＝40－x，则S△AHE＝S△CGF＝x2，S△DGH＝S△BEF＝(60－x)(40－x)，∴四边形EFGH的面积为S＝60×40－x2－(60－x)(40－x)＝－2x2＋100x＝－2(x－25)2＋1250(0＜x≤40)．当x＝25时，S最大值＝1250.故选C.方法总结：考查利用配方法求二次函数的最值，先配方，确定函数的对称轴，再与函数的自变量的取值范围结合即可求出四边形EFGH的面积最大值．【类型三】动点问题中的最值问题如图，在矩形ABCD中，AB＝m(m是大于0的常数)，BC＝8，E为线段BC上的动点(不与B、C重合)．连接DE，作EF⊥DE，垂足为E，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y.(1)求y关于x的函数关系式；(2)若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？(3)若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？解析：(1)利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；(2)把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；(3)∵∠DEF＝90°，只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．解：(1)∵EF⊥DE，∴∠BEF＝90°－∠CED＝∠CDE.又∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDE，∴＝，即＝，解得y＝； (2)由(1)得y＝，将m＝8代入，得y＝－x2＋x＝－(x2－8x)＝－(x－4)2＋2，∴当x＝4时，y取得最大值为2；(3)∵∠DEF＝90°，∴只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，∴△BEF≌△CDE，∴BE＝CD＝m，此时m＝8－x.解方程＝，得x＝6，或x＝2.当x＝2时，m＝6；当x＝6时，m＝2.方法总结：在解题过程中，要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函数关系式，是解决问题的关键．三、板书设计图形面积的最大值1．求函数最值的方法2．利用二次函数求图形面积的最大值教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.