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第26章 二次函数
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26.2 二次函数的图象与性质
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2. 二次函数y=ax?+bx+c的图象
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华东师大版九下数学26.2.2第5课时图形面积的最大值教案
华东师大版九下数学26.2.2第5课时图形面积的最大值教案
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1.经历数学建模的基本过程,能分析实际问题中变量之间的二次函数关系.(重点)2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.(重点)3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.(重难点) 一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙,另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米,矩形ABCD的面积为S平方米.当x为何值时,S有最大值?并求出最大值.二、合作探究探究点一:二次函数y=ax2+bx+c的最值已知二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值为2,则a的值为( )A.3 B.-1 C.4 D.4或-1解析:∵二次函数y=ax2+4x+a-1有最小值2,∴a>0,y最小值===2,整理,得a2-3a-4=0,解得a=-1或4.∵a>0,∴a=4.故选C.方法总结:求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种是由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.探究点二:利用二次函数求图形面积的最大值【类型一】利用二次函数求矩形面积的最大值如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米.(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围;(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少?(3)若墙的最大可用长度为8米,则围成花圃的最大面积为多少平方米?解析:(1)根据AB为x米,则BC为(24-4x)米,利用长方形的面积公式,可求出关系式;(2)由(1)可知y和x为二次函数关系,根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长;(3)根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求出x的 取值范围,即可求出花圃的最大面积.解:(1)∵AB=x,∴BC=24-4x,∴S=AB·BC=x(24-4x)=-4x2+24x(0<x<6);(2)S=-4x2+24x=-4(x-3)2+36,∵0<x<6,∴当x=3时,S有最大值为36;(3)∵∴4≤x<6.∴当x=4时,花圃的面积最大,最大面积为32平方米.方法总结:根据已知条件列出二次函数关系式是解题的关键.但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围.【类型二】利用割补法求图形的最大面积在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别选取点E、F、G、H,使得AE=AH=CF=CG,如果AB=60,BC=40,四边形EFGH的最大面积是( )A.1350B.1300C.1250D.1200解析:设AE=AH=CF=CG=x,四边形EFGH的面积是S.由题意得BE=DG=60-x,BF=DH=40-x,则S△AHE=S△CGF=x2,S△DGH=S△BEF=(60-x)(40-x),∴四边形EFGH的面积为S=60×40-x2-(60-x)(40-x)=-2x2+100x=-2(x-25)2+1250(0<x≤40).当x=25时,S最大值=1250.故选C.方法总结:考查利用配方法求二次函数的最值,先配方,确定函数的对称轴,再与函数的自变量的取值范围结合即可求出四边形EFGH的面积最大值.【类型三】动点问题中的最值问题如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连接DE,作EF⊥DE,垂足为E,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.(1)求y关于x的函数关系式;(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?(3)若y=,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?解析:(1)利用互余关系找角相等,证明△BEF∽△CDE,根据对应边的比相等求函数关系式;(2)把m的值代入函数关系式,再求二次函数的最大值;(3)∵∠DEF=90°,只有当DE=EF时,△DEF为等腰三角形,把条件代入即可.解:(1)∵EF⊥DE,∴∠BEF=90°-∠CED=∠CDE.又∠B=∠C=90°,∴△BEF∽△CDE,∴=,即=,解得y=; (2)由(1)得y=,将m=8代入,得y=-x2+x=-(x2-8x)=-(x-4)2+2,∴当x=4时,y取得最大值为2;(3)∵∠DEF=90°,∴只有当DE=EF时,△DEF为等腰三角形,∴△BEF≌△CDE,∴BE=CD=m,此时m=8-x.解方程=,得x=6,或x=2.当x=2时,m=6;当x=6时,m=2.方法总结:在解题过程中,要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函数关系式,是解决问题的关键.三、板书设计图形面积的最大值1.求函数最值的方法2.利用二次函数求图形面积的最大值教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,引导学生设计有助于学生设计表格,经历计算、观察、分析、比较的过程,直观地看出变化情况.
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华东师大版九下数学26.2.2第5课时图形面积的最大值课件
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初中 - 数学
发布时间:2021-12-22 15:00:03
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文章作者:随遇而安
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