北京市朝阳区2022-2023学年高三数学上学期期末考试试卷(Word版附答案)
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北京市朝阳区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷数学2023.1(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分(选择题共40分)一、选择题共10题,每题4分,共40分。在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)已知全集,集合,则(A)(B)(C)(D)(2)在复平面内,复数对应的点在第三象限,则实数的取值范围是(A)(B)(C)(D)(3)函数的零点的个数为(A)(B)(C)(D)(4)已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线的离心率为(A)(B)(C)(D)(5)在中,“”是“为等腰三角形”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(6)过直线上任意一点,总存在直线与圆相切,则的最大值为
第(7)题(A)(B)(C)(D)(7)已知函数,若,且函数的部分图象如图所示,则等于(A)(B)(C)(D)第(8)题(8)年月日,长征五号遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想,将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道.在不考虑空气阻力的条件下,若火箭的最大速度(单位:)和燃料的质量(单位:)、火箭(除燃料外)的质量(单位:)的关系满足,,,之间的关系如图所示,则下列结论正确的是(A)当,时,(B)当,时,(C)当,时,(D)当,时,(9)已知,,是单位圆上不同的三点,,则的最小值为(A)(B)(C)(D)(10)在数列中,,,若存在常数,对任意的,都有成立,则正数的最大值为
(A)(B)(C)(D)第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5题,全科免费下载公众号《高中僧课堂》每题5分,共25分。(11)在的展开式中,常数项为.(用数字作答)(12)已知等差数列的公差,,且,,成等比数列,则;其前项和的最大值为.(13)若函数在区间上单调递减,则实数的最大值为.(14)抛物线:的准线的方程为.若点是抛物线上的动点,与轴交于点,则(是坐标原点)的最大值为.(15)如图,在棱长为的正方体中,,分别为,的中点,点在正方体的表面上运动,满足.给出下列四个结论:①点可以是棱的中点;第(15)题②线段长度的最小值为;③点的轨迹是矩形;④点的轨迹围成的多边形的面积为.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(16)(本小题13分)在中,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求的最小值.(17)(本小题13分)
跳长绳是中国历史悠久的运动,某中学高三年级举行跳长绳比赛(该校高三年级共个班),规定每班人参加,其中人摇绳,人跳绳,在分钟内跳绳个数超过个的班级可获得优胜奖,跳绳个数最多的班级将获得冠军.为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主,收集了高三年级各班训练时在分钟内的跳绳个数,并整理得到如下数据(单位:个):高三()班:,,,,,,,,,;高三()班:,,,;高三()班:,,,;高三()班:,,,,,.假设用频率估计概率,且高三年级各班在分钟内的跳绳个数相互独立.(Ⅰ)估计高三()班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率;(Ⅱ)用表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数,估计的数学期望;(Ⅲ)在此次跳长绳比赛中,哪个班获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)
(18)(本小题14分)如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,,,,分别为,的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求二面角的余弦值.条件①:;条件②:.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.(19)(本小题15分)已知椭圆的右顶点,为椭圆上的动点,且点不在轴上,是坐标原点,面积的最大值为.(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;(Ⅱ)过点的直线与椭圆交于另一点,直线,分别与轴相交于点,.当时,求直线的方程.(20)(本小题15分)已知函数.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)若对恒成立,求的取值范围;
(Ⅲ)若,证明:.
(21)(本小题15分)已知无穷数列的各项均为正数,当时,;当时,,其中表示这个数中最大的数.(Ⅰ)若数列的前项为,,,,写出,,,的值;(Ⅱ)证明:对任意的,均有;(Ⅲ)证明:存在正整数,当时,.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)(1)B(2)A(3)C(4)D(5)D(6)A(7)B(8)C(9)C(10)B二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)( 11 )(12)(13)(14) (15)②③④三、解答题(共6小题,共85分)(16)(本小题13分)解:(Ⅰ)因为,所以.又因为,所以.所以.又因为,所以.(Ⅱ)因为,,由余弦定理,得.因为,当且仅当时等号成立,所以,解得.所以的最小值为.(17)(本小题13分)解:(Ⅰ)设事件为“高三()班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”.根据题中数据,高三()班共训练次,跳绳个数超过个的共次.所以估计为.(Ⅱ)设事件为“高三()班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”,.
根据题中数据,估计为,估计为,估计为.根据题意,随机变量的所有可能取值为,,,,,且;;;;.所以,估计为;估计为;估计为;估计为;估计为.所以估计为.(Ⅲ)在此次跳长绳比赛中,高三()班获得冠军的概率估计值最大.(18)(本小题14分)解:(Ⅰ)取的中点,连接,.因为,分别是,的中点,所以且.又且, 所以且.故四边形为平行四边形.所以.又因为平面,平面,所以平面.
(Ⅱ)取中点,连接,.在中,因为,所以.又因为平面平面,且平面平面,所以平面.故,.又在正方形中,,所以,,两两垂直.如图建立空间直角坐标,设,则,,,,.所以,,.设平面的法向量为,则即令,则,.于是.又因为平面的一个法向量为,所以.选择条件①:.则,即.又,所以.此时.由题知二面角为锐角,所以其余弦值为.选择条件②:.则,得.此时.由题知二面角为锐角,所以其余弦值为.
(19)(本小题15分)解:(Ⅰ)因为面积的最大值为,所以.又因为,,所以,.所以椭圆的方程为,离心率为.(Ⅱ)①当直线的斜率不存在时,直线的方程为.显然∽.因为,所以.不合题意.②当直线的斜率存在时,设直线的方程为.由得.显然.设,,且,则,.直线的方程为.令,得点的纵坐标,则.直线的方程为.同理可得.所以.所以.即.可得.化简得.解得.
所以直线的方程为或.(20)(本小题15分)解:(Ⅰ)的定义域为.由得.令得.因为,所以当时,;当时,.所以的单调递增区间为,单调递减区间为.(Ⅱ)由,依题意,在上恒成立.设,则.令,得(舍),.当时,,所以在上单调递增;当时,,所以在上单调递减.故.又由得.所以.依题意需,即.设,则易知在为增函数.又,所以对任意的,有;对任意的,有.所以,即,解得.所以的取值范围为.(Ⅲ)由得,且,.
由(Ⅱ)知,当时,,当且仅当时取等号.所以,.两式相加得,即.故.(21)(本小题15分)解:(Ⅰ),,,.(Ⅱ)对任意,存在,使得.若或,则或又可以写成数列中某两项的和,如.依此类推,存在,使得,其中.所以存在,使得,且.设,则当时,.当时,.所以,对任意,均有,即.(Ⅲ)令,其中.由(Ⅱ)知,.由,得.所以,当时,.由(Ⅱ)知.
若,则.此时,当时,.若不全为,设,为中最小的正数,则.当某个时,必有.否则,则.设不超过的最大整数为,则能表示的不同值的个数不超过.所以,对每一个,只能取有限多个值.所以存在,当时,为常数.令,则当时,,即.故.
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