北京丰台区2022-2023学年高三数学上学期期末考试试卷（PDF版附答案）

丰台区2022～2023学年度第一学期期末练习高三数学2023.011.答题前,考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名,在答题卡的“条形码粘贴区”贴好考条形码。生2.本次练习所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各须小题对应选项涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使知用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚。3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答,超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效。4.本练习卷满分共150分,作答时长120分钟。第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知全集U=R，集合A={|1x−x0}，则A=U（A）(−−,,1)(0+)（B）(−−,,1](0+)（C）(−−,,1)[0+)（D）(−−,,1][0+)2．已知复数z=+i(1i)，则在复平面内，复数z对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限243．在()x−的展开式中，常数项为x（A）-24（B）24（C）-48（D）484．已知向量a=(2),，b=(1),，则“=2”是“ab//”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件5．下列函数是偶函数，且在区间(01),上单调递增的是2xx−（A）yx=−1（B）yx=tan（C）y=xcosx（D）y=+ee26．已知抛物线Cy:2=px(p0)过点A(12),，焦点为F.若点Bm(,0)满足AF=BF,则m的值为（A）2（B）21+（C）2或−1（D）21+或12−高三数学第1页（共6页） 7．已知函数fx()3logxx=−−2(1)，则不等式fx()0的解集是2（A）(14),（B）(1)−(4,,+)（C）(01),,(4)+（D）(04),22xy8．设双曲线C:−=1(a0,b0)的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一22ab条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段FP的中点，则双曲线C的离心率为1245（A）（B）（C）2（D）2259．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为3的正方形，PD⊥平面ABCD，点M为底面上的动点，M到PD的距离记为d，若MC=2d，则点M在底面正方形内的轨迹的长度为2π（A）2（B）33π（C）5（D）410．市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销售额）的比重.一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”.有A，B，C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%，30%，30%.经调查，2022年第二季度A，B，C三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示：若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为（A）45%（B）48%（C）50%（D）52%第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。111.函数fx()=+x+1的定义域是_________.x21−12.在等差数列{}a中，公差d不为0，a=9，且a，a，a成等比数列，则d=_________；n1145高三数学第2页（共6页） 当n=_________时，数列{}a的前n项和S有最大值.nn2213.已知集合Axyx=−−()|,0ym=xy,,R，Bxyx=+−()|+,2=y2x0yxy,,R，若AB为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是_________.πππππ14.已知函数fx()sin(x=+)(0)，若ff()()=，且fx()在区间(),上有最小值66262无最大值，则=_________．215.已知函数fx()=alnx−(x−1)(aR)存在两个极值点xxx,()x，给出下列四个结论：12121①函数fx()有零点；②a的取值范围是()−+,；2③x1；④fx()0.22其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题13分）如图，已知正方体ABCDABCD−中，点E是棱BC的中点.1111（Ⅰ）求证：BD//平面DCE；11（Ⅱ）若点F是线段BD的中点，求直线DF与平面DCE所11成角的正弦值.高三数学第3页（共6页） 17.（本小题14分）在△ABC中，2sinaBb2=．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若b=22，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．10条件①：cosC=−；10条件②：a=2；5条件③：sinB=.5注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.（本小题14分）非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志.随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天.为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列及数学期望EX()；（Ⅲ）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系.（结论不要求证明）高三数学第4页（共6页） 19.（本小题15分）22xy2已知椭圆E:1(0)+=ab过点A(20)−,,离心率为.22ab2（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设点P(2,)(mm0)，直线PA与椭圆E的另一个交点为C，O为坐标原点,B为椭圆E的右顶点.记直线OP的斜率为k,直线BC的斜率为k,求证：kk为定值.121220.（本小题15分）已知函数fx()ln=+xsinx.（Ⅰ）求曲线y=fx()在点(1(1)),f处的切线方程；（Ⅱ）求函数fx()在区间[1e],上的最小值；（Ⅲ）证明函数fx()只有一个零点.高三数学第5页（共6页） 21.（本小题14分）设为正实数，若各项均为正数的数列{}a满足：nN*，都有aa+.则称数nnn+1列{}a为P()数列.n（Ⅰ）判断以下两个数列是否为P(2)数列：数列A：3，5，8，13，21；数列B：log5，π，5，10.2（Ⅱ）若数列{}bn满足b10且bnnb+n1n=++−+31，是否存在正实数，使得数列{}bn是P()数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.（Ⅲ）若各项均为整数的数列{}a是P(1)数列，且{}a的前m(m2)项和a+a+a++ann123m为150，求am+的最小值及取得最小值时a的所有可能取值.mm（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）高三数学第6页（共6页） 丰台区2022～2023学年度第一学期期末练习参考答案高三数学2023.01一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案BCBADCACBC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．[10)−+,,(0)12．−2；513．(04),14．415．①④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题13分）D1C1（Ⅰ）证明：连接CD，交DC于点M，B111A1MF依题意知，四边形CDDC为正方形，所以M是11D线段CD1的中点，CEAB连接EM，因为E为棱BC的中点，所以EM//BD，1因为EM平面DCE，BD平面DCE，111所以BD//平面DCE.………………5分11（Ⅱ）解：设正方体ABCD−ABCD的棱长为1,1111zD1C1以D为坐标原点，DA，DC，DD所在的直1B1A1线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间F直角坐标系，则D(000),,，B(110),,，D1(001),,，C1(011),,，DyCEC(010),,，xAB因为点F是线段BD的中点，E为棱BC的中1点，1111所以F(),,，E(,,10)，2222高三数学答案第1页（共6页） 1111所以DF=(),,，DC=(011),,，DE=(10),,.12222设u=()xyz,,是平面DCE的一个法向量，则1u=DC+=yz0,11u=DE+=xy0.2取y=1，则x=−2，z=−1.于是u=(121),,−−是平面DCE的一个法向量.1设直线DF与平面DCE所成角为，111−−1DFu222所以sincos====DF,u，DFu33622所以直线DF与平面DCE所成角的正弦值为.………………13分1317.（本小题14分）ab解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理=，得asinBb=sinA，sinABsin因为2sinaB=2b所以2sinbA=2b，因为b0，2所以sinA=，2因为0Aπ，π3π所以A=或A=；………………7分44（Ⅱ）若选择①，在△ABC中，0Cπ，10310因为cosC=−，所以sinC=．1010π又因为A=，ABC++=π4ππ所以sin=sin(BAC+)sincos=C+cossinC4421023105=−()+()=2102105高三数学答案第2页（共6页） 5=，531022bCsin10在△ABC中，由正弦定理可得c===6，sinB55112所以SbcAsin2266.………………14分△ABC222若选择②，abbsinA在△ABC中，因为=，所以sinB=，sinABsina2因为a=2，b=22，sinA=，2222所以2，sinB==12π因为B(0,π)，所以B=，2222222所以bac，所以cba=−=4，所以c=2，112所以SbcsinA2222．△ABC22218.（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意10(0.0040.0120.014++++a0.0240.028)1+=所以a=.0018；………………3分（Ⅱ）记“一位非遗短视频粉丝的年龄不超过40岁”为事件A，PA()10(0.0040.0120.014)0.3=++=，所以估计一位非遗短视频粉丝的年龄不超过40岁的概率为0.3.X可能取值为0,1,2.02P(X=)0=C7.0=.049；21P(X=)1=C3.07.0=.042；222P(X=)2=C3.0=.009.2所以X的分布列为X012P0.490.420.09E(X)=0.049+1.042+2.009=6.0.……………11分（或因为XB~(20.3),，所以E(X)=23.0=6.0）（Ⅲ）mn.………………14分19.（本小题15分）高三数学答案第3页（共6页） a=2,c2解：（Ⅰ）由题意得=,a22=+22abc,22解得a=4，b=2.22xy所以椭圆E的方程是+=1.………………5分42m（Ⅱ）因为A(20)−,，Pm(2,)，所以直线AP的方程为yx=+(2)（m0）.4myx=+(2)2222由4得(m+8)x+4mx+4m−32=0，x22+=24y22即(x+2)[(m+8)x+(2m−16)]0=.2216m−因为点A的横坐标为−2，所以点C的横坐标为x=−，2m+82m2m−168m代入直线AP的方程可得点C的纵坐标为y=(−+2)=，224mm++8822mm−168即C()−,.22mm++88又点B的坐标为(2,0)，8mm2+82所以k==−，222m−16m−−22m+8mm2又因为k=，所以kk=−()=−1.11222m即kk为定值−1.………………15分1220.（本小题15分）1解：（Ⅰ）由题意得，fx()=+cosx，所以f(1)1cos1=+，x又f(1)sin1=，所以曲线y=fx()在点(1(1)),f处的切线方程为yx−sin1(1cos1)(=+−1)，即yx=(1cos1)++sin1cos11−−；………………4分1（Ⅱ）因为fx()=+cosx，x1因为y=和yx=cos均在区间因为[1e],上单调递减，x所以fx()在区间[1e],上单调递减，11211因为f(1)1cos10=+，f(e)=+cose+cos=−0，ee3e2高三数学答案第4页（共6页） 所以fx()0=在(1e),上有且只有一个零点，记为x，0所以xx[1,)时，fx()0；xx(e],时，fx()0，00所以fx()在区间[1,)x上单调递增，在区间(x,e]上单调递减.00因为ff(1)sin1(e)1sine==+,，所以fx()在区间[1e],上的最小值为sin1.………………10分（Ⅲ）函数fx()的定义域为{|xx0}，由（Ⅱ）知，fx()在区间[1e],上的最小值sin10，又当x+(e,)时，fx()lnesinxx+=+1sin0，所以fx()在区间[1,)+上没有零点；1当x(01),时，fx()=+cosx0，所以fx()在区间(01),上单调递增，x11因为ff()1sin=−+0(1)sin10=,，ee所以fx()在区间(01),上仅存在一个零点；综上所述，函数fx()有且仅有一个零点.………………15分21.（本小题14分）解：（Ⅰ）数列A是P(2)数列，数列B不是P(2)数列.………………3分（Ⅱ）不存在正实数，使得数列{}b是P()数列.n说明理由如下：假设存在正实数，使得数列{}b是P()数列.n*则bb+，nN.nn+1因为b=b+n+−31n+，nn+121所以b−b=n+−31n+=，nn+1n++31n+n1当n时，bb−，这与假设矛盾.2nn+1所以不存在正实数，使得数列{}b是P()数列.………………7分n（Ⅲ）因为数列{}an是P(1)数列，则aann+1+1，所以amam−−1+1am2+2a1+(m−1)m所以aamm−1−1，am−−21am−12am−，am−−32am−13am−，……，aa−1a−(m−2)，aa−1a−(m−1)23m12m高三数学答案第5页（共6页） mm(1)−所以aa+a+ama++−++++−=−[123(1)]mma123mmm2mm(−1)即150−mam21501m所以a+−，mm22150311503mm1所以am++−=−230，mmm2222所以amm+的最小值不小于30.15031m假设amm+=30，必有+−30，m2225解得m12，3因为mN*，所以m=9101112,,,，当m=9时，am=21，存在满足条件的数列aa=aa=10a=a,14=a,=a,15=a,=,16=,=,17,18192021；123456789当m=10时，am=20，存在满足条件的数列a=6,a=12,a=13,a=14,a=15,a=16,a=17,a=18,a=19,a=20；12345678910当m=11时，am=19，存在满足条件的数列a=5,a=10,a=11,a=12,a=13,a=14,a=15,a=16,a=17,123456789aa==18,19；1011当m=12时，am=18，存在满足条件的数列a=7,a=8,a=9,a=10,a=11,a=12,a=13,a=14,a=15,a=16,12345678910aa==17,18.1112以上都是amm+=30的充分条件.所以amm+的最小值为30，此时am的所有可能取值为18，19，20，21.…14分高三数学答案第6页（共6页）