湖北省高三新高考联考协作体2022-2023学年高三数学上学期期末考试试题（PDF版附答案）

2023年湖北省高三上学期1月期末考试高三数学试卷命题学校：云梦一中命题教师：江洪审题学校：襄州一中考试时间：2023年1月10日上午8：00-10：00试卷满分：150分注意事项:1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上。2、回答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）21．已知集合Axx3,xN，则A的子集共有（）个A．3B．4C．6D．72．若复数z满足12iz34i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为z，则（）112A．z的实部是B．z的虚部是55C．复数z在复平面内对应的点在第一象限D．z53．2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场．歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部侧面积约为（）平方米32A．2B．C．2D．3222xy4．“1m7”是“方程1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）m17mA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知an是各项均为正数的等差数列，Sn为其前n项和，且a62a7a1020，则当a7a8取最大值时，S10（）A．10B．20C．25D．50126．已知sincos，则cos(2)（）6231133A．B．C．D．2244310.87．已知函数f(x)xx，且aflog2，bflog2e，cf2，（其中e为自然对数的底数，为圆周率），则a,b,c的大小关系为（）A．abcB．bacC．cbaD．c<a<b8．2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办.将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体育馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（）A．事件A与B相互独立B．事件A与C为互斥事件11C．P(CA)D．P(BA)36湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共4页）第1页 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）9．新冠肺炎疫情防控期间，进出小区､超市､学校等场所，我们都需要先进行体温检测.某学校体温检测员对一周内甲､乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（）A．乙同学体温的极差为0.2CB．甲同学体温的第三四．分．位．数．为36.5℃C．甲同学的体温比乙同学的体温稳定D．乙同学体温的众数，中位数，平均数都相等10．已知函数fxAsinx（A0，0，）的部分图象如图，则（）2A．函数解析式fx2sin2x6B．将函数y2sin2x的图象向左平移个单位长度可得函62数fx的图象11C．直线x是函数fx图象的一条对称轴12D．函数fx在区间,0上的最小值为222211．设圆O:xy2，直线l:xy40，P为l上的动点.过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法中正确的是（）A．直线l与圆O相交B．PA的取值范围为6,C．存在点P，使四边形OAPB为正方形D．当点P坐标为（2,2)时，直线AB的方程为xy112．如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，动点P满足����1����=����1�����1�(R,[0,1]).则以下结论正确的为（）A．[0,1],使直线AP面PBB113B．直线AA1与面A1BD所成角的正弦值为64C．[0,1],三棱锥PABD体积为定值131D．当时，三棱锥PA1BD的外接球表面积为11π2三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）216313．(x)的展开式中x的系数为______.（用数字作答）x14．若向量a在向量b上的投影向量为4b，且b2，则数量积a∙b=______.22xy15．已知双曲线1右焦点为F（5，0），点P，Q在双曲线上，且关于原点O对称．若22abPFQF，且△PQF的面积为4，则双曲线的离心率e=________．湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共4页）第2页 16.2022年12月3日，南昌市出土了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠如图（1）所示。现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为10cm，该纸片上的正六边形ABCDEF的中心为O,A1,B1,C1,D1,E1,F1为圆O上的点，如图（2）所示．△A1AB,△B1BC,△C1CD,△D1DE,△E1EF,△F1FA分别是以AB,BC,CD,DE,EF,FA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB,BC,CD,DE,EF,FA为折痕折起△A1AB,△B1BC,△C1CD,△D1DE,△E1EF,△F1FA，使A1,B1,C1,D1,E1,F1重合，得到六棱锥，则当六棱锥体积最大时，底面六边形的边长为___________cm．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；sinAsinB3sinC，且边c=2，（1）求△ABC的周长；（2）若角C=60°，求△ABC的面积．18．（本小题12分）己知数列an的前n项和为Sn，且Sn1Snan1，________________．请在①a3a1520；②a2，a5，a11成等比数列；③S20230，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．（1）求数列an的通项公式；n（2）若bnan1，求数列2bn的前n项和Tn．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题12分）如图1，直角梯形ABCD中，CD2AB2BC4，AB∥CD，ABBC，E为CD的中点，现将△DAE沿着AE折叠，使CD22，得到如图2所示的几何体，其中F为AD的中点，G为BD上一点，AC与BE交于点O，连接OF．（1）求证：CD∥平面EFB；（2）若BE面AGC，求平面GEC与平面BEC的夹角．湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共4页）第3页 20．（本小题12分）皮影戏是一种民间艺术，是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种，已有千余年的历史。而皮影制作是一项复杂的制作技艺，要求制作者必须具备扎实的绘画功底和高超的雕刻技巧，以及持之以恒的毅力和韧劲。每次制作分为画图与剪裁，雕刻与着色，刷清与装备三道主要工序，经过以上工序处理之后，一幅幅形态各异，富有神韵的皮影在能工巧匠的手里浑然天成，成为可供人们欣赏和操纵的富有灵气的影人。小李对学习皮影制作产生极大兴趣，师从名师勤学苦练，目前水平突飞猛进，三道主要工序中每道工序制作合格的323概率依次为，，，三道工序彼此独立，只有当每道工序制作都合格才为一次成功的皮影534制作，该皮影视为合格作品.（1）求小李进行3次皮影制作，恰有一次合格作品的概率；（2）若小李制作15次，其中合格作品数为X，求X的数学期望与方差；（3）随着制作技术的不断提高，小李制作的皮影作品被某皮影戏剧团看中，聘其为单位制作演出作品，决定试用一段时间，每天制作皮影作品，其中前7天制作合格作品数y与时间t如下表：（第t天用数字t表示）时间t1234567合格作品数y3434768其中合格作品数y与时间t具有线性相关关系，求y关于t的线性回归方程（精确到0.01），并估算第15天能制作多少个合格作品（四舍五入取整）？nnxiyinxyxixyiy7bˆi1i1ty163（参考公式n2n2，aˆybˆx，参考数据：ii）.2i1xinxxixi1i1221．（本小题12分）已知抛物线y9x上一动点G，过点G作x轴的垂线，垂足为D，M是GD上1一点，且满足GMGD.3（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）若Px0,4为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A，B两点，若满足kk2，求证：直线AB恒过定点，并求出定点坐标.PAPB22．（本小题12分）已知函数fxxalnxxa3(aR)（1）若a0，求fx的极小值（2）讨论函数fx的单调性；（3）当a2时，证明：fx有且只有2个零点.湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共4页）第4页 2023年湖北省高三上学期1月期末考试高三数学答案一、单选题1--4BCAB5--8DACD二、多选题9.ABD10.CD11.BD12.ACD83三、填空题13．2014．1615．516．3【答案解析】1．B【解析】由题设，A{x|3x3,xN}{0,1}，∴A的子集共有224个.2．Cz34i(34i)(12i)112i11222112【解析】由题设，|z|()()5，zi.12i(12i)(12i)555555112对A，z的实部是，故A错误；对B，z的虚部是，故B错误；55对C，复数z在复平面内对应的点在第一象限，故C正确；对D，|z|5，故D错误；3．A【解析】根据圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形可知，圆锥底面半径为1米，圆锥高为3米，母线长为2米，根据圆锥侧面积公式得S122.4．B22xy【解析】“方程1表示焦点在y轴上椭圆”的充要条件为1m3m17m22xy故“1m7”是“方程1表示焦点在y轴上椭圆”的必要不充分条件.m17m5．D【解析】∵a62a7a10a6a102a72a82a720，∴a7a810，由已知，得a70，22aa10a0∴aa7825，当且仅当aa5时等号成立.此时，S508787810226．A311【解析】∵sincossincossin，62262221∴cos(2)cos[2()]cos2()2sin()1366627．C10.8【解析】由函数为奇函数，有：aflog2flog2，且：log2log2e120，结合0.8函数为增函数有：flog2flog2ef2，8．D211C4C2C13【解析】记三座体育馆依次为①②③，每个体育馆至少派一名裁判，则有2A336种方法，A23212事件A：甲派往①，则若①体育馆分2人，则有A36种，若①体育馆分1人：则有C3C1A26种，共有1211216612种，∴PA，同理PB，若甲与乙同时派往①体育馆，则①体育馆分两人，3633632211有A2种，∴PAB，PABPAPB，A错误；由互斥事件概念易知，B错误；36189湖北省新高考联考协作体*数学答案（共6页）第1页 1PAB1813PB|A，D正确；事件C：裁判乙派往②体育馆，若②体育馆分2人，则有A6种，3PA163212121若②体育馆分1人，则有C3C1A26种，共有6612种，∴PC，若事件A，C同时发生，3635115PAC35则有C3C25种，∴PAC，PC|A，C错误；36PA11239．ABD【解析】对A：乙同学体温的最大值为36.5C，最小值为36.3C，故极差为0.2C，A正确；对B：甲同学体温按照从小到大的顺序排列为：36.2C，36.2C，36.4C，36.4C，36.5C，36.5C，36.6C，又775%5.25，故甲同学体温的第三四分位数为上述排列中的第6个数据，即36.5℃，B正确；对C：乙同学体温按照从小到大的顺序排列为：36.3C，36.3C，36.4C，36.4C，36.4C，36.5C，36.5C，136.336.336.436.436.436.536.536.4C故乙同学体温的平均数为：，72122224故乙同学体温的方S236.336.436.336.436.536.436.536.4；7700136.236.236.436.436.536.536.636.4C又甲同学体温的平均数为：，故甲同学体温的方差721222221422S136.236.436.236.436.536.436.536.436.636.4；又S1S2，故乙7700同学的体温比甲同学的体温稳定，C错误；对D：乙同学体温的众数，中位数，平均数均为36.4C，故D正确.10．CD35【解析】由题图知：A2，函数fx的最小正周期满足T，即T，46122则2，所以函数fx2sin2x．将点,2代入解析式中可得22sin，则2kkZ，得2kkZ，因为126623，所以，因此fx2sin2x，故A错误；233将函数y2sin2x的图像向左平移个单位长度可得函数64fx2sin2x2sin2x的图像，46311故B错误；由fx2sin2x，当x时，fx2，故C正确；当x,0时，3122232x,，所以sin2x1,，即fx2,3，即fx最小值为2，故D正确．3333211．BD【解析】对于A，直线与圆相离，A错误；对于B，设点P(x0,y0)，22222|AP||PO||OA||PO|22x08x01622(x02)66，即PA的取值范围为6,，故B正确；对于C，当四边形OAPB为正方形时，|OA||OB||AP||BP|，又圆O:x2y22的222圆心O(0,0)，半径r2，所以|PO|OA||AP|2r42，设点P(x0,y0)，则y04x0，所湖北省新高考联考协作体*数学答案（共6页）第2页 1所以PQ2OF25，由△PQF的面积为4，所以SPFQF4，得PFQF8，又2222PFQFPQ20，所以PFQF2.又由双曲线的对称性可得QFPF1，由双曲线的定义可得PFPF12=2a,所以a1,故离心率e=58316．3【解析】连接OE1，交EF于点H，由题意得OE1EF，设EF2xcm，则OH3xcm，02x1053E1H(103x)cm因为所以x0,，103x3x32222六棱锥的高hEHOH(103x)(3x)100203xcm．13222正六边形ABCDEF的面积S6(2x)63xcm，4V1Sh163x2100203x23100x4203x5cm3则六棱锥的体积．33455334343令函数f(x)100x203x,x0,，则f(x)400x1003x100x(43x)，当x0,时，334353434353f(x)0，当x,时，f(x)0所以f(x)在0,上单调递增，在,上单调递减，3333324343641583所以V23100203cm3．此时，底面边长2x=max3333四．解答题2317．(1)232(2)3【解】（1）解：∵sinAsinB3sinC，∴由正弦定理可得ab3c，∴ab23，∴三角形周长为abc232．…………5分22a2b2c2ab2abc18（2）解：由（1）知ab23，由余弦定理得cosC，解得ab，2ab2ab23123∴SabsinC…………10分ABC23n118．(1)ann1(2)Tn2(n1)2【解】（1）Sn1Snan1，所以Sn1Snan1，即an1an1，所以数列an是首项为a1，公差为1的等差数列．若选①：由a3a1520，得a12da114d20，即2a12016d，解得a12．所以ana1(n1)d2(n1)1n1，即数列an的通项公式为ann1．2若选②：由a2，a5，a11成等比数列，得a14d(a1d)a110d，解得a12，所以ana1(n1)d2(n1)1n1．2019若选③：因为S2020a1d20a1190d=230，解得a12，2所以ana1(n1)d2(n1)1n1．…………6分湖北省新高考联考协作体*数学答案（共6页）第4页 nn（2）bnan1n，则2bn2n，123n234n1则Tn122232n2，2Tn122232n2，n23412121两式相减得：T22222nn2nn2n，n12n1故Tn2(n1)2．…………12分19．(1)证明见解析(2)45°【解】（1）在直角梯形ABCD中，CD2AB2BC4，AB//CD，ABBC，由翻折的性质可得，翻折后AEEC，DEAE，222又DECE2，CD22，CDDECE，则DECE，故DE，AE，CE两两互相垂直，以点E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，如图示：则C0,2,0，D0,0,2，O1,1,0，F1,0,1，CD0,2,2，OF0,1,1，CD2OF，即OF//CD，又CD平面EFB，OF平面EFB，CD//平面EFB．…………5分（2）由BE面AGC，BEGO,DEGO，点G为BD的中点，…………7分在空间直角坐标系Exyz中，G1,1,1，E0,0,0，C0,2,0.EG1,1,1，EC0,2,0，设平面GEC的法向量为nx,y,z，nEG0,xyz0,则即令x=1，则y0，z1，故平面GEC的一个法向量为nEC0,2y0,mn12n1,0,1，又平面BEC的一个法向量为m0,0,1，cosm,nmn122平面GEC与平面BEC的夹角为45°．…………12分44196320．(1)(2)EX，DX(3)y0.82t1.71，1410002203233【解】（1）小李制作一次皮影合格的概率P1，534102137441小李进行3次制作，恰有一次合格作品的概率PC.…………4分23101010003393763（2）由题知：X~N15，，则EX15，DX15.…………7分1010210102011（3）t12345674，y34347685.777n22tiyi163，7ty745140，ti140，7t112，i1i17tiyintybˆi1163140230.82aˆybˆt52341.717，，221401122828ti7ti1所以回归直线方程为y0.82t1.71.当x15时，y0.82151.7114.0114，所以第15天能制作14个合格作品.…………12分221．(1)C:y4x；(2)证明见解析，0,2.xx122【解】（1）设Mx,y,Gx,y，则Dx,0，由GMGD，得3，代入y9x得y4x，所以3yy2湖北省新高考联考协作体*数学答案（共6页）第5页 2动点M的轨迹C:y4x.…………5分（2）易得P4,4,PA,PB的斜率存在，设AB:xmyt，2y4x,2Ax1,y1,Bx2,y2，由联立可得：y4my4t0，xmyt2Δ16m16t0,yy4m,yy4t①，1212y14y24444y1y232kk2,即2②PAPBx14x24y14y24y14y24将①代入②得：2t8m84m8,t2m，所以xmy2mmy2，所以直线恒过定点0,2.…………12分22．(1)4(2)答案见解析(3)证明见解析【解】（1）当a0时，fxxlnxx3，fx的定义域为0,，fxlnx11lnx，所以fx在区间0,1,fx0,fx递减；在区间1,,fx0,fx递增.所以当x1时，fx取得极小值f(1)=-4.…………3分（2）fxxalnxxa3的定义域为0,，xaafxlnx1lnx.xxa1axa令hxlnxx0,hx，22xxxx当a0时，hx0恒成立，所以hx即fx在0,上递增.当a<0时，hx在区间0,a,hx0,hx即fx递减；在区间a,,hx0,hx即fx递增.…………7分2（3）当a2时，fxx2lnxx1，fxlnx，x2由（2）知，fx在0,上递增，f2ln210,f3ln30，32所以存在x02,3使得fx00，即lnx0.x0fx在区间0,x0,fx0,fx递减；在区间x0,,fx0,fx递增.所以当xx0时，fx取得极小值也即是最小值为24fx0x02lnx0x01x02x011x0，xx0044由于x02x04，所以fx00.xx001111112f2ln12110，eeeeeee2222222fee2lnee12e4e1e50，根据零点存在性定理可知fx在区间0,x0和x0,，fx各有1个零点，所以fx有2个零点.…………12分湖北省新高考联考协作体*数学答案（共6页）第6页