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山西大学附属中学2022-2023学年高二数学上学期1月期末考试试卷(Word版附答案)

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山西大学附中2022—2023学年第一学期高二年级1月阶段测试数学试题考察时间:120分钟满分:150分考查内容:解析几何导数一、单选题(每小题5分,共40分)1-8:BBDBCACC9.AC10.AD11.AD12.ABC1.抛物线的焦点坐标为(    )A.B.C.D.【答案】B2.函数的单调递减区间为(    )A.B.C.D.【答案】B【详解】因为,所以,由解得:,所以函数的单调递减区间为.故选:B.3.已知函数,则(    )A.2B.1C.0D.【答案】D【详解】因为,则,所以,则,所以,所以.故选:D.4.某放射性同位素在衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系,其中为时该同位素的含量.已知时,该同位素含量的瞬时变化率为,则( )A.24贝克B.贝克C.1贝克D.贝克【答案】B【详解】解:由,得,因为时,该同位素含量的时变化率为,所以,解得,所以,故选:B5.设椭圆离心率为,双曲线的渐近线的斜率小于,则椭圆的离心率的取值范围是(    )A.B.C.D. 【答案】C【详解】根据双曲线方程可得,其渐近线方程为,又因为,且渐近线的斜率小于,即;所以,椭圆的离心率即离心率的取值范围是.故选:C6.设定义在上的函数,满足任意,都有,且时,,则,,的大小关系是(    )A.B.C.D.【答案】A【分析】利用构造函数法,结合导数以及函数的周期性确定正确答案.【详解】依题意,任意,都有,所以是周期为的周期函数.所以.构造函数,所以在区间上单调递增,所以,即,也即.故选:A7.1970年4月24日,我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”,从此我国开始了人造卫星的新篇章,人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律.卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为,,下列结论错误的是(    ).A.卫星向径的取值范围是B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C.卫星运行速度在近地点时最小,在远地点时最大D.卫星向径的最小值与最大值的比值越小,椭圆轨道越扁【答案】C【详解】解:A选项:由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离,所以最小值为,最大值为,所以A正确;B选项:根据在相同时间内扫过的面积相等,卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间,故B正确;C选项:因为运行速度是变化的,速度的变化,所以卫星运行速度在近地点时向径越小,在远地点时向径越大,卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间,内扫过的面积相等,则向径越大,速度越小,所以卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小,故C不正确;D选项:卫星向径的最小值与最大值的比值越小,即越小,则 越大,椭圆越扁,故D正确.故选:C.8.已知函数有两个零点,且存在唯一的整数,则实数的取值范围( )A.B.C.D.【答案】C【详解】由题意,得,设,求导令,解得当时,,单调递增;当时,,单调递减;故当时,函数取得极大值,且又时,;当时,,故;作出函数大致图像,如图所示:又,因为存在唯一的整数,使得与的图象有两个交点,由图可知:,即故选:C.二、多选题(每小题满分5分,全部选对得5分,部分选对得2分,有错选或不选的得0分)9.函数的定义域为R,它的导函数的部分图象如图所示,则下面结论正确的是(    )A.在上函数为增函数B.在上函数为增函数C.在上函数有极大值D.是函数在区间上的极小值点【答案】AC【详解】由图象可知在区间和上,递增;在区间上 ,递减.所以A选项正确,B选项错误.在区间上,有极大值为,C选项正确.在区间上,是的极小值点,D选项错误.故选:AC10.给出定义:若函数在上可导,即存在,且导函数在上也可导,则称在上存在二阶导函数,记,若在上恒成立,则称在上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是(    )A.B.C.D.【答案】AD【详解】对于A,,,当时,,,故不是凸函数;对于B,,,故是凸函数;对于C,,对任意的,,故是凸函数;对于D,,对任意的,,故不是凸函数.故选:AD.11.直线与双曲线的左、右两支各有一个交点,则的可能取值为(  )A.B.C.D.【答案】AD【详解】联立,消y得,.因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点,所以方程有一正一负根,所以,整理得,解得.所以的取值范围为.故选:AD.12.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为,一束平行于轴的光线从点射入,经过抛物线上的点反射后,再经抛物线上另一点反射后,沿直线射出,则下列结论中正确的是(  )A.B.C.D.与之间的距离为4【答案】ABC【详解】如图所示, 由抛物线的光学性质可知,直线过焦点,即选项A正确;由题意可得,点的坐标为,点的坐标为,,即选项B正确;由抛物线的定义可知,,即选项C正确;与平行,与之间的距离,即选项D错误;故选:ABC三、填空题(每小题5分,共20分)13.椭圆的长轴长为______.【答案】414.函数在点处的切线方程为______.【答案】【详解】由函数可得,故在点处的切线的斜率为,故切线方程为,即,故答案为:.15.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围为___________.【答案】【变式详解】的定义域为,.要使函数有两个极值点,只需有两个不同正根,并且在的两侧的单调性相反,在的两侧的单调性相反.由得,.令,,要使函数有两个极值点,只需和有两个交点.,令得:x>1;令得:0<x<1;所以在上单减,在上单增.当时,;当时,;作出和的图像如图, 所以即实数的取值范围为.故答案为:16.已知,若对于任意的,不等式恒成立,则的最小值为______.全科试题免费下载公众号《高中僧试题下载》【答案】原题:已知,若对于任意的,不等式恒成立,则的最小值为______.【原题详解】令,,∴在上单调递增.∵,,∴,∴恒成立,令,只需,,∴单调递增,∴单调递减,时,的最大值为,∴,∴的最小值为.故答案为:四、解答题(17题10分,其余每题12分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.已知在时有极值0.(1)求常数,的值;(2)求函数在区间上的值域.【详解】(1),可得,-------1分由题时有极值0.可得:即-------3分解得:或,当时,单调,不会有极值,故舍去.经验证成立;-------5分(2)由(1)可知, ,,增减增所以函数在和递增,递减.-------7分且,,,,-------9分可得值域为.-------10分18.在平面直角坐标系中,已知双曲线的焦点为、,实轴长为.(1)求双曲线的标准方程;(2)过点的直线与曲线交于,两点,且恰好为线段的中点,求直线的方程及弦的长.【详解】:(1)根据题意,焦点在轴上,且,,所以,-------3分双曲线的标准方程为;-------4分(2)过点的直线与曲线交于,两点,且恰好为线段的中点,当直线斜率不存在时,直线方程为,则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上,所以不满足题意;-------5分当斜率存在时,设直线方程为,设,,则,化简可得,-------6分因为有两个交点,所以化简可得恒成立,-------8分因为恰好为线段的中点,则,化简可得,-------9分所以直线方程为,即.-------10分此时,∴.-------12分19.已知函数.(1)当时,证明:;(2)讨论的单调性.【详解】:(1)当时,令,-------1分 ,-------2分可得时,,此时函数单调递减;时,,此时函数单调递增,-------3分时,函数取得极小值即最小值,.-------4分∴,即-------5分(2)函数的定义域为,,-------7分当时,时,,此时函数单调递增,时,,此时函数单调递减;-------9分时,,,此时函数在单调递增;-------10分时,时,,此时函数单调递增区间为;时,,此时函数单调递减.-------12分综上,当时,函数在单调递增,在单调递减;当时,函数在上单调递增,函数在上单调递减.当时,函数在上单调递增;20.在新冠肺炎疫情期间,口罩是必不可少的防护用品.某小型口罩生产厂家为保障抗疫需求,调整了口罩生产规模.已知该厂每月生产口罩的固定成本为1万元,每生产x万件,还需投入万元的原材料费,全部售完可获得万元,当月产量不足5万件时,;当月产量不低于5万件时,,通过市场分析,该口罩厂生产的口罩当月可以全部售完.(1)求月利润(万元)关于月产量(万件)的函数关系式,并求出月产量为3万件时,该厂这个月生产口罩所获得的利润;(2)月产量为多少万件时,该口罩生产厂家所获得月利润最大?最大约为多少万元?(精确到)参考数据:.【详解】:(1)当时;-------1分       当时,------2分 故月利润y关于月产量的函数关系式为-------3分当时,-------4分 故月产量为3万件时,该厂这个月生产口罩所获得的利润为7.5万元.-------5分(2)当时,,故时,取得最大值,最大值为8万元;-------7分              当时,,.故时,,时,,所以在上单调递增,在上单调递减,-------9分故当时,取得最大值,且.-----10分         因为,所以当月产量约为8万件时,该口罩生产厂家所获得月利润最大,最大月利润约为8.9万元.-------12分21.已知函数.(1)若在上是增函数,求实数的取值范围;(2)若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.【详解】(1)依题,故,在上是增函数,在上恒成立.-------2分即:在上恒成立.设,则当时,;当时,即在上单调递减;在在上单调递增   -------4分 即的取值范围为:-------5分(2)当时,恒成立,所以在上单调递增,且.-------6分因为,所以,则不等式可化为,-------7分即.令,因为,则问题等价于函数在上单调递增,-------8分即在上恒成立,即,.-------9分令,, 则.令,解得,所以当时,,函数在上单调递减;当时,,函数在上单调递增;所以当时,函数取得最小值,且,所以当时,,-------11分所以.-------12分22.已知点,,动点满足.记点的轨迹为曲线.(1)求的方程;(2)设为直线上的动点,过作的两条切线,切点分别是,.证明:直线过定点.【详解】(1)设,则,,,,所以,可以化为,化简得.所以,的方程为.-------4分(2)由题设可设,,,由题意知切线,的斜率都存在,由,得,则,所以,直线的方程为,即,①-------4分因为在上,所以,即,②-------4分将②代入①得,-------6分所以直线的方程为.-------7分同理可得直线的方程为.-------8分因为在直线上,所以,又在直线上,所以,所以直线的方程为,-------11分故直线过定点.-------12分

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-03-22 21:06:02 页数:10
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文章作者:随遇而安

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