山西大学附属中学2022-2023学年高二数学上学期11月期中考试试卷（Word版含答案）

山西大学附中2022～2023学年第一学期高二年级期中考试数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（每小题5分，共60分）1．已知点，则直线的倾斜角是A．B．C．D．2．已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是A．B．C．D．3．直线关于直线对称的直线方程为A．B．C．D．4．“”是“直线与互相垂直”的A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件5．若两条平行直线与之间的距离是，则A．1B．0C．D．6．以下四个命题表述正确的是A．直线恒过定点B．两圆与的公共弦所在的直线方程为C．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为D．圆：与圆：恰有三条公切线7．已知中心在原点,焦点在轴上,焦距为4的椭圆被直线：截得的弦的中点的横坐标为,则此椭圆的方程为A．B．C．D．8．在一平面直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后两点间的距离为A．B．C．D．9．已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为椭圆外一点，则的最大值为A．B．C．D．10．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P与A、B距离之比为，当面积最大时，A．B．C．8D．1611.如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为A．1B．C．D．12．我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面 积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若是上的一点，是其焦点，若则的面积为________．14．实数满足，那么的最大值为___________.15．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，，，与平面交于点，则______．16．已知椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交于，两点（点在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率______．三、解答题（17题10分，其余每题12分）17．已知，，求：（1）（2）以为邻边的平行四边形的面积.18．已知圆，圆，直线过点.(1)求圆的圆心和半径；(2)若直线与圆相切，求直线的方程；(3)求圆和圆的公共弦长. 19.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为4，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)倾斜角为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求的面积.20．如图，四棱锥中，,,,,的中点，.(1)求证：；(2)求平面夹角的余弦值.21．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，为中点，且.(1)求证：平面；(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 22．已知点在椭圆上，椭圆的左､右焦点分别为，的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)设点在椭圆上，直线均与圆相切，试判断直线是否过定点，并证明你的结论.山西大学附中2022—2023学年第一学期期中考试高二年级（总第三次）数学评分细则123456789101112ABBCBDCADBDD13.14.15.16.17．已知，，求：（1）（2）以为邻边的平行四边形的面积.【详解】（1）由，－，＋...............................2分(－)·(＋)=...............................4分（2）...............................7分...............................8分故以，为邻边的平行四边形的面积：...............................10分18．已知圆，圆，直线过点.(1)求圆的圆心和半径；(2)若直线与圆相切，求直线的方程；(3)求圆和圆的公共弦长. 【详解】（1）因为圆可化为，所以圆的圆心坐标为，半径................................2分（2）因为过点的直线与圆相切，所以分两种情况：若直线的斜率不存在时，则直线的方程为；...............................3分若直线的斜率存在，设直线的方程为，也即，由点到直线的距离公式可得：，解得：，...............................5分此时直线的方程为，...............................6分所以直线的方程为或................................7分（3）因为圆的圆心坐标,半径，则，所以两圆相交，...............................8分两圆方程联立可得公共弦所在直线方程为：，...............................9分圆的圆心到公共弦的距离，...............................10分由垂径定理可得公共弦长为，所以圆和圆的公共弦长为................................12分19.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为4，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)倾斜角为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求的面积.【详解】（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为：，因为椭圆的长轴长为4，所以，得...............................1分又过点，所以，得...............................3分所以椭圆的标准方程为：；...............................4分（2）由（1）可知：，倾斜角为的直线的斜率为1，所以直线的方程为：即，...............................5分代入椭圆方程中，得，，设，，...............................6分所以，...............................8分 因此，...............................10分原点到直线的距离，...............................11分，所以的面积为................................12分20．如图，四棱锥中，底面，M为的中点，.(1)求证：；(2)求平面夹角的余弦值.（1）在上取一点，使得，，为的中点，则，而，所以，即，，所以四边形是平行四边形，则，...............................3分又平面，平面，所以平面...............................5分（2）以为原点，，分别为轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，...............................6分设平面的法向量为，则， ，所以，取，可得，...............................8分设平面的法向量为，则，，，取，，，...............................10分，...............................11分设平面夹角为，则所以平面夹角的余弦值为...............................12分21．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，为中点，且.(1)求证：平面；(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.（1）证明：由题知，，...............................1分又，所以，...............................2分又，平面，所以平面，又平面，所以，...............................3分在正中，为中点，于是，...............................4分又，平面，所以平面..............................5分（2）取中点为中点为，则，由（1）知，平面，且平面， 所以，又，所以，平面所以平面，于是两两垂直.............................6分如图，以为坐标原点，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，所以，.设平面的法向量为，则，即，令，则，于是................................8分设，则.由于直线与平面所成角的正弦值为，，...............................9分即，整理得，由于，所以...............................10分于是.设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为...............................12分22．已知点在椭圆上，椭圆的左､右焦点分别为，的面积为. (1)求椭圆的方程；(2)设点在椭圆上，直线均与圆相切，试判断直线是否过定点，并证明你的结论.由题知，，...............................1分的面积等于，...............................2分所以，...............................3分解得，所以椭圆的方程为................................4分（2）设直线的方程为，直线的方程为，由题知，所以，...............................5分所以，同理，，所以是方程的两根，所以................................6分设，设直线的方程为，将代入，得，所以，①②...............................7分所以，③，④又因为，⑤将①②③④代入⑤，化简得，...............................10分所以，所以，若，则直线，此时过点，舍去................................11分若，则直线，此时恒过点，所以直线过定点................................12分