辽宁省辽南部分学校2022-2023学年高二数学上学期期末考试试卷（Word版附答案）

2022-2023学年度上学期期末考试高二试题数学一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（）A.16B.32C.1D.【答案】A【详解】解：因为二项式系数的和是16，所以，解得，所以，令得展开式中各项系数的和为．故选：A2.设随机变量服从正态分布，若，则实数（）A.3B.4C.1D.2【答案】D【详解】因为随机变量服从正态分布，且，所以由正态分布的对称性可知，，.故选：D.3.随机变量的分布列如下表所示：12340.10.3则（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4【答案】C【详解】解：由分布列的性质可得，，可得，所以．故选：C． 4.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如下图)，记第2行的第3个数字为a1､第3行的第3个数字为a2，……，第n()行的第3个数字为，则（）A.220B.186C.120D.96【答案】A【详解】解：.故选:A.5.已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（）A.2B.1C.D.【答案】C【详解】因为切线与直线平行，所以切线方程可设为因为切线过点P(2，2)，所以因为与圆相切，所以故选：C6.某班准备从甲、乙等5人中选派3人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A.18种B.36种 C.54种D.60种【答案】C【详解】若只有甲乙其中一人参加,有种情况；若甲乙两人都参加,有种情况，则不同的发言顺序种数36+18=54种，故选：C.7.设A，B为两个事件，已知，，，则（）A.0.24B.0.375C.0.4D.0.5【答案】B【详解】由，，得，所以.故选：B8.某企业为了研究某种产品的销售价格（元）与销售量（千件）之间的关系，通过大量市场调研收集得到以下数据：16128424a3864其中某一项数据※丢失，只记得这组数据拟合出的线性回归方程为：，则缺失的数据a是（）A.33B.35C.34D.34.8【答案】C【详解】因为点一定在回归方程上，所以将，代入解得.故选：C. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有错误答案得0分）9.已知样本数据的平均数是，方差为，则样本数据的（）A.平均数是B.平均数是C.方差是D.方差是【答案】AC【详解】由题意知：，，，，即的平均数为；，，即方差为.故选：AC.10.在一次对高三年级学生两次模拟考试数学成绩统计调查中发现，两次成绩均得优的学生占，仅第一次得优的占，仅第二次得优的占，则（）A.已知某学生第一次得优，则第二次也得优的概率为B.已知某学生第一次得优，则第二次也得优的概率为C.某同学两次均未得优的概率为D.某同学两次均未得优的概率为【答案】AC【详解】设表示“第一次数学成绩得优”，表示“第二次数学成绩得优”，则，，，所以，，，A对B错，，C对D错.故选：AC.11.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线交抛物线于、两点，则（） A.抛物线的准线方程为B.线段的中点在直线上C.若，则的面积为D.以线段为直径的圆一定与轴相切【答案】BCD【详解】对于A选项，抛物线的准线方程为，A错；对于B选项，设点、，设线段的中点为，则，两式作差得，可得，所以，，故，B对；对于C选项，设直线的方程为，联立，可得，，解得，由韦达定理可得，，，解得，点到直线的距离为，故，C对；对于D选项，设线段的中点为，则，由抛物线的定义可得，即等于点到轴距离的两倍，所以，以线段为直径的圆一定与轴相切，D对.故选：BCD12.一个盒子内装有大小形状完全相同的6个红球，4个白球，则（）A.若从盒中随机有放回任取2个球，颜色相同的概率为B.若从盒中随机不放回任取2个球，颜色不相同的概率为 C.若从盒中随机有放回任取4个球，其中有白球的概率为D.若从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球，另一个也是白球的概率为【答案】ABD【详解】从盒中随机有放回任取2个球,则取到白球、红球的概率分别为，取到的球颜色相同的概率为，所以A正确；从盒中随机不放回任取2个球，则有种取法，取到的球颜色不同有种，所以，颜色不相同的概率为，所以B正确；从盒中随机有放回任取4个球，取到白球、红球的概率分别为：，所以其中有白球的概率为，所以C不正确；从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球为事件，另一个也是白球为事件，则，所以D正确.故选：ABD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.的展开式中x2的系数为_______．【答案】84【详解】（1+3x）6（1﹣x）3＝[1+3x+（3x）2++（3x）6]（1﹣3x+3x2﹣x3），故它的展开式中x2的系数为1×3+6×3×（﹣3）+×9＝84，故答案为：84．14.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________. 【答案】【详解】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为故答案为：15.已知双曲线的左，右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，线段交左支于点．若，且，则该双曲线的离心率为___________．【答案】【详解】因为，设，则，（）由双曲线的定义可得：，，则，因为，所以，即，整理可得，解得：，所以，，，， 在中，，在中，由余弦定理可得：即所以，所以，故答案为：16.游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为，停在不同区域的概率为，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为，若开始时指针停在红色区域，则______.【答案】【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下： 则的分布列如下：0123故.故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知点在圆上运动，，点为线段的中点．（1）求点的轨迹方程（2）求点到直线的距离的最大值和最小值．【答案】（1）.（2）最大值为5，最小值为3.【小问1详解】解：设点，，因为点是的中点，所以，则，，即，因为点在圆上运动，则有，所以点的轨迹方程为；【小问2详解】解：由（1）知点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，点到直线的距离， 故点到直线的距离的最大值为，最小值为．18.高三（1）班班主任李老师为了了解本班学生喜爱中国古典文学是否与性别有关，对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢中国古典文学不喜欢中国古典文学合计女生5男生10合计50已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢中国古典文学的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关？请说明理由；参考公式及数据：，其中．【答案】（1）列联表见解析；（2）有的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关，理由见解析.【详解】（1）依题意从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢中国古典文学的学生的概率为，所以中国古典文学的学生有人，不喜欢中国古典文学有人，由此填写列联表如图所示：喜欢中国古典文学不喜欢中国古典文学合计 女生20525男生101525合计302050（2），故有的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关.19.在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点,M为CD中点，（1）求证：平面；（2）求二面角余弦值；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【小问1详解】因为平面，平面，所以，因为，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，因为平面是边长为2的正方形，，且，为的中点，所以，，，，，，，所以，因为平面的法向量可以为，所以，即，又平面，所以平面；【小问2详解】因为，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，因为平面，，所以平面，因为平面，所以，因为平面，所以平面，所以平面的法向量可以为，设二面角为，由图可知二面角为钝角，则，所以二面角的余弦值为；【小问3详解】由（2）知平面的法向量为，又，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离；20. 中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，给中国工农业生产和人民生活带来严重影响随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程．该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年投入的沙漠治理经费（亿元）和沙漠治理面积（万亩）的相关数据如下表所示：年份2017201820192020234524374752（1）通过散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）（2）求关于的回归方程；（3）若保持以往沙漠治理经费的增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积可突破80万亩．参考数据：．参考公式：相关系数，，．【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）到2023年沙漠治理面积可突破80万亩.【详解】解：（1）因为，，所以，，，所以．因为与的相关系数非常接近1，说明与的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归模型拟合与的关系．（2），所以关于的回归方程为．（3）当时，，当时，，所以到2023年沙漠治理面积可突破80万亩．21.一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为.现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”.（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）依据题设条件运用分类计数原理求解；（2）求出随机变量的分布列，再运用随机变量的数学期望公式求解：试题解析：解：（1）设表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒药物有效的有人”，；表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有人”，.依题意有，，，，所求的概率为. （2）的可能值为0,1,2,3，其分布列为∵，∴数学期望.22.已知椭圆E：（）的离心率为，且点在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E的右焦点F作不与两坐标轴重合的直线l，与E交于不同的两点Ｍ，N，线段的中垂线与y轴相交于点T，求（O为原点）的最小值，并求此时直线l的方程.【答案】（1）；（2）24，或.【小问1详解】椭圆E：的离心率e，则，即，又，解得，所以椭圆E的方程为.【小问2详解】由（1）知，，设直线l的方程为，，由消去x并整理得：，则， ，，线段MN的中点，则线段的中垂线方程为：，令，得，即点，，当且仅当，即时取“=”，所以当时，取得最小值24，此时直线l的方程为或.