山东省郯城第二中学2022-2023学年高三数学上学期期末试题（PDF版含解析）

郯城二中高三上学期期末考试数学试题（时间120分钟，满分150分）命题：吴超一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21.已知集合A{x|y16x}，B{x|lg(x2)1}，则AB（）A．(2,3]B．[4,4]C．[2,4)D．(2,4]2.已知复数z满足zi1i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a(1,1)，b(1,3)，c(2,1)，且(ab)//c，则（）11A．3B．3C．D．77224.已知直线xy20与圆xy2x2ya0有公共点，则实数a的取值范围为（）A．(,0]B．[0,)C．[0,2)D．(,2)5.良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），经调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间XN(8,1)，则每天的睡眠时间为5~6小时的学生人数约为（结果四舍五入保留整数）（）2（附：若XN(,)，则P(X)0.6827，P(2X2)0.9545，P(3X3)0.9973）A．20B．26C．51D．1636.从2至7的6个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）32114A．B．C．D．531557.已知yf(x)为奇函数，yf(x1)为偶函数，若当x[0,1]，f(x)log(xa)，则f(2023)2（）A．1B．0C．1D．222xy8.已知双曲线C:1(a0,b0)的左顶点为A，右焦点为F，以F为圆心的圆与双曲线C的一22ab1条渐近线相切于第一象限内的一点B．若直线AB的斜率为，则双曲线C的离心率为（）3455A.B.C.D.23341 19.已知tan，则1sin2（）25599A.B.C.D.445510.甲乙两个箱子中各装有5个大小、质地均相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球；抛一枚质地均匀的硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸出一个球；若硬币反面向上，从乙箱中随机摸出一个球.则摸到红球的概率为（）1121A.B.C.D.2334211.已知抛物线C:y4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，PQ垂直l于点Q，QF与y轴交于点T，O为坐标原点，且|OT|1，则|PF|（）A.1B.2C.3D.412.已知三棱锥PABC中，AP、AB、AC三条棱两两垂直，且长度均为3，以顶点P为球心，2为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为（）35A.3B.C.5D.22二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。6213.在x的展开式中，下列说法正确的是（）xA．常数项为160B．第4项的二项式系数最大C．第3项的系数最大D．所有项的系数和为6414.若正实数a,b满足ab1，且ab，则下列结论正确的是（）ba11A．ln(ab)0B．abC．ab2D．4ab3215.已知函数f(x)xx1，则（）A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线yf(x)的对称中心D．直线yx是曲线yf(x)的切线16.若函数f(x)2sin(x)1(0)在[0,]上恰有三个零点，则（）610A．的取值范围为[2,)B．f(x)在[0,]上恰有两个极大值点3C．f(x)在[0,]上有极大值点D．f(x)在[0,]上单调递增462 三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别是A,B,C，且bcosCccosB2acosA．（1）求角A；（2）若a23，ABC的面积为23，求bc的值．n118.（12分）已知数列{a}满足a2a3a…na(n1)22.n123n（1）求数列{a}的通项公式；n13（2）设数列的前n项和为Tn，证明：Tn.logaloga42n2n219.（12分）垃圾分类收集处理是一项利国利民的社会工程和环保工程．搞好垃圾分类收集处理，可为政府节省开支，为国家节约能源，减少环境污染，是建设资源节约型社会的一个重要内容．为推进垃圾分类收集处理工作，A市通过多种渠道对市民进行垃圾分类收集处理方法的宣传教育，为了解市民能否正确进行垃圾分类处理，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表（单位人）：能正确进行垃圾分类不能正确进行垃圾分类总计55岁及以下903012055岁以上503080总计14060200（1）根据以上列联表，依据小概率值0.1的独立性检验，能否据此推断该市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关？（2）将频率视为概率，现从A市55岁及以下的市民中里随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“不能正确进行垃圾分类”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量X的分布列和均值E(X)．22n(adbc)附：，其中nabcd．(ab)(cd)(ac)(bd)α0.150.100.050.025xα2.0722.7063.8415.0243 20.（12分）如图，在正方体ABCDABCD中，E为BB的中点．11111（1）求证：BC//平面ADE；11（2）求直线AA与平面ADE所成角的正弦值．1122xy621.（12分）已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，短轴长为22．22ab3（1）求椭圆C的方程；（2）已知A，B是椭圆C上的两个不同的动点，以线段AB为直径的圆经过坐标原点O．是否存在以O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出定圆方程；若不存在，请说明理由．x122.（12分）已知函数f(x)eax．（1）讨论f(x)的单调性；22a（2）若f(x)x对于任意x0恒成立，求实数a的取值范围．44 郯城二中高三上学期期末考试数学答案一、单项选择题：题号123456789101112答案DDCABCACCABB二、多项选择题：题号13141516答案BCABDADAD三、解答题：17.解：（1）因为bcosC+ccosB＝2acosA，由正弦定理得，sinBcosC+sinCcosB＝2sinAcosA，----------------------------1分即sin（B+C）＝2sinAcosA，故sinA＝2sinAcosA，--------------------------------------------------------------3分因为sinA＞0，所以cosA＝，----------------------------------------------------------------4分由A为三角形内角得，A＝；----------------------------------------------5分（2）因为a＝2，△ABC的面积为2，所以bcsinA＝＝2，--------------------------------------------------6分所以bc＝8，--------------------------------------------------------------------------7分由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA＝（b+c）2﹣24＝12，--------------9分故b+c＝6．------------------------------------------------------------------------10分18.（1）解：由an+11+2a2+3a3+…+nan＝（n﹣1）2+2可得：an+2（n≥2），---------1分1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1＝（n﹣2）2两式相减得：nan+1nnn＝（n﹣1）2﹣（n﹣2）2＝n×2，------------------3分即ann＝2，n≥2，--------------------------------------------------------------------4分又当n＝1时，有a1＝2也适合上式，-------------------------------------------5分∴ann＝2；-----------------------------------------------------------------------------6分（2）证明：由（1）可得：＝＝（﹣），---------------8分∴Tn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）---------------------------101学科网（北京）股份有限公司 分＝（1+﹣﹣）------------------------------------------------------------------11分＜（1+）＝．----------------------------------------------------------------------------12分19.解:（1）根据以上数据，K2的观测值k＝-----------------2分≈3.571＞2.706，------------------------------------3分∴依据小概率值0.1的独立性检验，能据此推断该市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关.---------4分（2）由题意可得：X～B（3，），--------------------------------------5分∴P（X＝k）＝×，k＝0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝．-----------------9分可得：随机变量X的分布列：X0123P-----------------------------------10分均值E（X）＝3×＝．-----------------------------------------------------------------12分20.（1）证明：AB//CD，四边形ABCD为平行四边形，BC//AD，111111---------------------2分z又BC平面ADE，AD平面ADE，1111BC//平面ADE---------------------------------------------------------------4分11（2）如图建系，设正方体的棱长为2.-------------------------------------------5分A(0,0,0)，A1(0,0,2)，AA1(0,0,2)，----------------------------6分D(2,0,2)，E(0,2,1)，AD1(2,0,2)，AE(0,2,1)，----------7分1设平面ADE的法向量为m(,,)xyz，1x2学科网（北京）股份有限公司 mAD102xz20则-------------------------------------------8分mAE020yzxz令y1，z2，x2，m(2,1,2).--------------------10分zy2设直线AA1与平面ADE所成角为，1|AAm1|42sin|cosAAm1,|.------------12分|AA1||m|23321.解：（1）由题意可知，---------------------3分解得：，------------------------------------------------4分∴椭圆C的方程为：．------------------------------5分（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：x＝my+t，联立方程，消去x得：（m2+3）y2+2mty+（t2﹣6）＝0，∴，，----------------------------------6分∵线段AB为直径的圆经过坐标原点O，∴，∴x1x2+y1y2＝0，---------------------------------------------------------------7分∴（my1+t）（my2+t）+y1y2＝0，整理得：，-----------------------8分把，代入上式得：，整理得：，------------------------------------------------------9分∵原点（0，0）到直线AB：x＝my+t的距离d＝，------------------------10分∴d2＝＝，-------------------------------------------------------------------------11分3学科网（北京）股份有限公司 ∴存在以O为圆心的定圆x2+y2＝恒与直线AB相切．--------------------------12分<法二>当直线AB斜率存在时，设AB方程为：ykxm，设Axy(,),(,Bxy)，1122ykxm222联立可得：(3k1)xkmx63m，600，22xy36226km20，26km36mxx122，xx122---------------------------------------------------------631k31k分2222mk6yy(kxmkx)(m)kxxkmx(x)m.------------------712121212231k分OAOB，xxyy0.----------------------------------------------------------------81212分22223m6m6k22233k0，整理得：2mk33，m--------------------9223kk1312分||mO(0,0)到直线AB：kxym0的距离为：d，2k122m3d，2k12----------------------------------------------------------------------------------------10分∴存在以O为圆心的定圆x2+y2＝恒与直线AB相切．6当直线AB斜率不存在时，lx:，合适.-------------------------------------------11AB2分综上所述，存在以O为圆心的定圆x2+y2＝恒与直线AB相切．----------------------------12分x122.解：（1）fxea-----------------------------------------------------------1分①当a0时，fx0，fx在,上单调递增；------------------------2分x1②当a0时，令fxe0a，xa1ln，当xa,1ln时，fx0，fx在,1lna上单调递减；--------------------3分当xa1ln,时，fx0，fx在1ln,a上单调递增；-----------------4分4学科网（北京）股份有限公司 2222ax12aa（2）由fxx，得exaxx，对于任意x0恒成立，442xx11a因此xxee22，2---------------------------------------------6分x1x11记hxxe2，由hx1e20，得x12ln2，----------------------72分当x0,12ln2时，hx单调递减，当x12ln2,时，hx单调递增，-----------8分所以hx12ln2，因此a24ln2；min----------------------------------------------------------9分x11记txxe2，易知tx在调递减，所以txt0e2，max-----------------------------10分1所以a2e2；--------------------------------------------------------------------------------------------11分综上，12e2a．---------------------------------------------------------------------------------1224ln2分.5学科网（北京）股份有限公司