福建省龙岩第一中学2023届高三数学上学期第二次月考试卷（Word版含答案）

龙岩一中2023届高三上学期第二次月考数学试题考试时间：120分钟试卷满分：150分第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知A＝{－1，0，1，3，5}，B＝{x|2x－3＜0}，（）A.{0，1}B.{－1，1，3}C.{－1，0，1}D.{3，5}【答案】D2.若，则p成立的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.【答案】D3.已知函数，则下列区间中含零点的是（）A.B.C.D.【答案】C4.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（） A.1B.2C.3D.4【答案】C5.已知，且，则的值为（）AB.C.D.【答案】B6.已知，则函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A7.已知，函数有四个不同的零点，且满足：.则下列结论中不正确的是（）A.B.C.D.【答案】A 8.已知，则a，b，c的大小关系是()A.B.C.D.【答案】D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.下列各式中，值为的是（）A.B.C.D.【答案】ABD10.已知，，且，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】AB11.已知函数的图像关于直线对称，则（）A.函数奇函数B.函数在上单调递增C.函数的图像向右平移个单位长度得到的函数图像关于对称，则的最小值是D.若方程在上有个不同实根，则的最大值为【答案】AC 12.已知，则（）A.B.C.D.若，则【答案】BC第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分．13.已知角的终边经过点，则___________.【答案】14.函数的单调递减区间是__________.【答案】和（或写成和）15.已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则___________.【答案】16.已知函数图像的两条相邻对称轴之间的距离小于，且，则的最小值为___________.【答案】13四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足．（1）求；（2）若的周长为，求的面积． 【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）因为，所以；（2）因为，所以．由余弦定理得，则，因为的周长为，所以，解得，所以的面积为.18.已知函数.（1）求的对称中心，并求当时，的值域；（2）若函数的图像与函数的图像关于y轴对称，求在区间上的单调递增区间.【答案】（1）对称中心：，，值域：（2）【小问1详解】因为函数 令，解得，即对称中心当时，则，再结合三角函数图像可得所以，函数对称中心：，，值域：.【小问2详解】因为函数的图像与函数的图像关于y轴对称，则，令，，解得当时，即为所以当时，的单调递增区间：.19.为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下表：上市时间x（天）2620市场价y（元）10278120（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①，②，③，④；（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价； （3）利用你选取的函数，若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）选择，理由见解析（2）当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元（3）【小问1详解】由题表知，随着时间x的增大，y的值随的增大，先减小后增大，而所给的函数，和在上显然都是单调函数，不满足题意，故选择．【小问2详解】把，，分别代入，得解得，，∴，．∴当时，y有最小值，且．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．【小问3详解】令，因为存在，使得不等式成立，则．又在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，取得最小值，且最小值为，∴．20.己知函数．（1）若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；（2）设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【小问1详解】由，可得．因为，，所以切点坐标为，切线方程为：，因为切线经过，所以，解得．【小问2详解】由题知的定义域为，，令，解得或，因为所以，所以，令，即，解得：，令，即，解得：或，所以增区间为，减区间为．因为，所以函数在区间的最大值为，函数上单调递增，故在区间上，所以，即，故， 所以的取值范围是.21.如图，在三棱柱中，，D是棱的中点.（1）证明：；（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】取BC中点O，连接AO，,,因为,所以,因为，，所以，所以，所以， 因为，平面，所以平面，因为平面，所以；【小问2详解】连接，则平面即为平面，由（1）知平面，因为平面ABC，且平面，故平面平面ABC，平面平面，过O作于M，则平面ABC，过作于H，则平面，因为知，中：，所以，所以，所以， 法一：设，则，在中，所以，又，所以点M为线段的中点，以O为原点，分别以分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，，，设面的法向量为，则有，两式相减得：，所以，令，可得：，所以，设面的法向量为，则有，解得：，令，解得：所以，设锐二面角为，则有. 法二：过H做，连接，面，，则面，，则即为所求二面角.在中，，则，在中，，由可得：，，则，.22.己知函数在区间内有唯一极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：在区间内有唯一零点，且．【答案】（1）（2）证明见解析【小问1详解】，①当时，因为，所以，，，在 上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；②当时，令，则，因为，所以，所以在上递增，又因为，，所以在上有唯一零点，且，所以，；，，所以在上有唯一极值点，符合题意.综上，.【小问2详解】由（1）知，所以时，，所以，，单调递减；，，单调递增，所以时，，则，又因为，所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点.因为，由（1）知，所以，则，构造，所以，记，则，显然在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以，所以，由前面讨论可知：，，且在单调递增，所以.