四川省凉山州冕宁中学2022-2023学年高二数学上学期12月月考试题（Word版含解析）

冕宁中学2024届高二上期12月月考数学试题一､选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项符合题意）1.斜率为4直线经过点A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)三点，则a，b的值为(　　)A.a＝，b＝0B.a＝－，b＝－11C.a＝，b＝－11D.a＝－，b＝11【答案】C【解析】【详解】因为，所以，则，故选C．2.若直线与直线互相垂直，则的值为（）A.B.或C.D.或【答案】B【解析】【分析】由两直线垂直可直接构造方程求得结果.【详解】两直线垂直，，解得：或.故选：B.3.已知点、，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，直线的斜率为，且线段的中点在直线上，可列出关于实数的等式组，由此可得出关于实数的值. 【详解】由中点坐标公式，得线段的中点坐标为，直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，所以，，解得.故选：C.4.直线的斜率为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将直线方程整理为斜截式，然后确定其斜率即可.【详解】直线方程即：，整理为斜截式即，据此可知直线的斜率为.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查直线斜率的计算，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得的值，再由可求得的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为 ，由双曲线的定义可得，，，，因此，双曲线的方程为.故选：C.6.圆上到直线的距离等于1的点有A.1个B.3个C.2个D.4个【答案】B【解析】【分析】由圆的方程找出圆心A的坐标和半径r＝3，然后由点到直线的距离公式求出圆心A到已知直线的距离为2，由AE﹣AD＝DE，即3﹣2＝1求出DE的长，得到圆A上的点到已知直线距离等于1的点有三个，如图，点D，P及Q满足题意．【详解】由圆的方程，得到圆心A坐标为（3，3），半径AE＝3，则圆心（3，3）到直线3x+4y﹣11＝0的距离为d2，即AD＝2，∴ED＝1，即圆周上E到已知直线的距离为1，同时存在P和Q也满足题意，∴圆上的点到直线3x+4y﹣11＝0的距离为1的点有3个．故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．7.已知命题关于的方程没有实根；命题，.若和都是假命题，则实数的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】计算出当命题为真命题时实数的取值范围，以及当命题为真命题时实数的取值范围，由题意可知真假，进而可求得实数的取值范围.【详解】若命题为真命题，则，解得；若命题为真命题，，，则.由于和都是假命题，则真假，所以，可得.因此，实数的取值范围是.故选：D【点睛】本题考查利用复合命题、全称命题的真假求参数，考查计算能力，属于中等题.8.“”是“方程表示双曲线”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由判断是否表示双曲线；由表示双曲线判断，即可选出正确答案.【详解】当时，，方程表示焦点在y轴上的双曲线；但当时，，，方程也表示双曲线，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选:B.【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了双曲线方程的特点，属于基础题.9.直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是A.B.C.D.【答案】C【解析】 【详解】直线x-y+m=0与－2x－1＝0有两个不同交点的充要条件为,因为,所以0＜m＜1是直线与圆相交的充分不必要条件10.已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，故选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11.已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据离心率及，解得关于等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.12.设椭圆的左、右顶点分别为，是椭圆上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设出的坐标,得到(用,表示,求出，令，则．利用导数求得使取最小值的，可得，则椭圆离心率可求．【详解】解：，，设，，则，则，，， ，令，则．，当时，函数取得最小值（2）．．，故选．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第II卷非选择题（90分）二､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知命题“”是假命题，则实数m的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】求得原命题的否定，根据其为真命题，即可结合二次不等式恒成求得参数范围【详解】若命题“”是假命题，则“”为真命题，显然时，不满足题意，故只需满足，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据含量词命题的真假求参数范围的问题，涉及二次不等式在上恒成立求参数的问题，属综合基础题.14.与直线7x＋24y＝5平行且距离等于3的直线方程为__________________，【答案】7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0【解析】【详解】试题分析：设出平行直线系方程，根据两平行线间的距离等于3解出待定系数，从 而得到所求的直线的方程．解：设所求的直线方程为7x+24y+c=0，d==3，c=70，或﹣80，故所求的直线的方程为7x+24y+70=0，或7x+24y﹣80=0，故答案为7x+24y+70=0，或7x+24y﹣80=0．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．15.已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是__________.【答案】【解析】【分析】由点差法得斜率后求解直线方程，【详解】设，由题意得，两式相减化简得，而是中点，得，代入得，故直线方程为，即，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，故答案为：16.，动直线过定点，动直线过定点，若直线与相交于点（异于点），则周长的最大值为_________【答案】【解析】【详解】由条件得直线过定点，直线过定点，且．又直线，所以,∴，当且仅当时等号成立， ∴，即周长最大值为．答案：三､解答题（共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤，第17题10分，其余每题12分.）17.已知圆，直线．（1）判断直线与圆C的位置关系；（2）设直线与圆C交于A，B两点，若直线的倾斜角为120°，求弦AB的长．【答案】(1)直线l与圆C必相交(2)．【解析】【分析】（1）判断直线过定点，利用点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系；（2）根据直线的倾斜角为，求出直线斜率以及直线的方程，利用弦长公式即可求弦的长.【详解】(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，因此直线l过定点D(1，1)，又＝1<，所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，又k＝tan120°＝－，即m＝－．此时，圆心C(0，1)到直线l：x＋y－－1＝0的距离d＝＝，又圆C的半径r＝，所以|AB|＝2＝2＝．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式以及直线过定点问题，属于中档题.已知直线方程，判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.18.已知p：方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；q：当时，函数恒成立.（1）若p为真，求实数t的取值范围；（2）若为假命题，且为真命题，求实数t的取值范围【答案】（1）（2）【解析】 【分析】(1)由给定条件结合椭圆标准方程的特征列不等式求解作答.(2)求命题q真时的t值范围，再借助“或”联结的命题为真命题求解作答.【小问1详解】因方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则有，解得，所以实数t的取值范围是.【小问2详解】，则有，当且仅当，即时取“=”，即，因当时，函数恒成立，则，解得，命题q为真命题有，因为假命题，且为真命题，则与一真一假，当p真q假时，，当p假q真时，，所以实数t的取值范围是.19.已知圆，圆（1）若圆、相切，求实数的值；（2）若圆与直线相交于、N两点，且，求的值.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】(1)根据圆的方程求出两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系计算即可求解；(2)根据直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式，结合几何法求弦长计算即可求解.【小问1详解】已知圆，圆， 圆的圆心为，半径，圆圆心，半径为，圆心距，当两圆外切时，有，即，解得，当两圆内切时，有，即，解得，故m的取值为或.【小问2详解】因为圆与直线相交于、N两点，且，而圆心到直线的距离，有，即，解得：或.20.已知椭圆：的两个焦点分别是，且（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且，求的余弦值及的面积.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由题意列方程组求解，（2）由椭圆的定义与解得，再由余弦定理与三角形面积公式求解， 【小问1详解】依题意知，，又，且，解得，故椭圆的方程为；【小问2详解】由于点在椭圆上，所以，又，所以，又所以由余弦定理，得，因为则，所以21.已知为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上一点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点､，且，求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，可求得，再将点代入椭圆方程可求得；（2）由已知可推得.联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可求得 ，，由，即可解出的值.【小问1详解】因为，，所以，.又点为椭圆上一点，则有，所以.所以，椭圆方程为.【小问2详解】由（1）可得，，则圆的圆心为，半径为.直线可化为.由直线与圆相切，得，整理可得.设，联立直线与椭圆方程，得，又，则恒成立，所以，，.因为，所以，即.化简可得，，解得.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率依次为，满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）是定值；为定值【解析】【分析】（1）根据离心率，点的坐标及，列出方程组，求出，得到椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，利用题干条件得到，代入后最终求得为定值.【小问1详解】根据题意可得：，解方程组可得，故椭圆方程为【小问2详解】 当变化时，为定值，证明如下：由，把代入椭圆方程得：；设，由二次函数根与系数关系得：因为直线斜率依次是，且满足，所以，该式化为，代入根与系数关系得：，经检验满足：即为定值