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四川省成都外国语学校2022-2023学年高二数学(理)上学期12月月考试题(Word版带解析)

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成都外国语学校高2024届2022-2023学年度12月月考理科数学一、单项选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题“,”的否定为()A.,B.,C.,D.,【答案】A【解析】【分析】含有一个量词的命题的否定步骤为:改量词,否结论.【详解】改量词:改为,否结论:否定为,所以,的否定形式为:,.故选:A.2.同时掷3枚硬币,那么互为对立事件的是()A.至少有1枚正面和最多有1枚正面B.最多1枚正面和恰有2枚正面C.至多1枚正面和至少有2枚正面D.至少有2枚正面和恰有1枚正面【答案】C【解析】【分析】分别列举出至少有1枚正面和最多有1枚正面,最多1枚正面和恰有2枚正面,至多1枚正面和至少有2枚正面以及至少有2枚正面和恰有1枚正面的情况,利用定义排除可得选项.【详解】同时掷3枚硬币,至少有1枚正面包括有一正两反,两正一反,三正三种情况,最多有1枚正面包括一正两反,三反,两种情况,故A不正确,最多有1枚正面包括一正两反,三反与恰有2枚正面是互斥的但不是对立事件,故B不正确,至多1枚正面一正两反,三反,至少有2枚正面包括2正和三正,故C正确,至少有2枚正面包括2正和三正,与恰有1枚正面是互斥事件,故D不正确,故选:C.【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的定义,考查列举法的应用,属于基础题. 3.已知双曲线的离心率,且其虚轴长为8,则双曲线的方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意建立的方程,求出即可得到结果.【详解】根据题意得到:,得,故方程为:故选:D【点睛】方法点睛:求双曲线方程的方法一般就是根据条件建立的方程,求出即可,注意的应用.4.已知在一次射击预选赛中,甲、乙两人各射击次,两人成绩的条形统计图如图所示,则下列四个选项中判断不正确的是A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【答案】D【解析】【分析】根据条形统计图可分别计算出甲、乙的平均数、中位数、极差,从而判断出 的正误;根据成绩的分散程度可判断的正误.【详解】甲的成绩的平均数为:乙的成绩的平均数为:甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数,故正确;甲的成绩的中位数为:;乙的成绩的中位数为:甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数,故正确;由条形统计图得甲成绩相对分散,乙的成绩相对稳定,甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差,故正确;甲的成绩的极差为:;乙的成绩的极差为:甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差,故不正确.本题正确选项:【点睛】本题考查根据条形统计图判断平均数、中位数、极差和方差的问题,属于基础题.5.已知的三个顶点分别为,,,则边上的中线长为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得的中点坐标,利用两点间的距离公式即可求得答案.【详解】由题意,,,可得的中点坐标为,所以边上的中线长为,故选:B.6.现从某学校名同学中用随机数表法随机抽取人参加一项活动.将这名同学编号为、、、、,要求从下表第行第列的数字开始向右读,则第个被抽到的编号为()162277943949544354821737932378873520964384263491648442175331572455068877047447672176335025839212067663016378591695556719981050717512867358074439523879A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用随机数表法列举出样本的前个个体的编号,即可得解.【详解】从随机数表第2行第5列开始,从左到右依次选取三个数字,去掉其中重复及大于450的数,样本的前个个体的编号依次为、、、、.故选:B.7.已知m为实数,直线:,:,则“”是“”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线平行的等价条件,求出m的值,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当m=1时,两直线方程分别为直线l1:x+y﹣1=0,l2:x+y﹣2=0满足l1∥l2,即充分性成立,当m=0时,两直线方程分别为y﹣1=0,和﹣2x﹣2=0,不满足条件.当m≠0时,则l1∥l2⇒,由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2,由得m≠2,则m=1,即“m=1”是“l1∥l2”充要条件,故答案为:A【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断,考查两直线平行的等价条件,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题也可以利用下面的结论解答,直线和直线平行,则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.8.已知一组数据的平均数为,标准差为,则数据的平均数和方差分别为()A.,B.,C.,D., 【答案】C【解析】【分析】根据数据的平均数与方差的性质求解即可.【详解】由题知,,,所以,的平均数为,的方差分别.故选:C.9.柜子里有红,白,黑三双不同的手套,从中随机选2只,则取出的手套成双的概率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用组合求出所有的情况数及符合要求的情况数,再利用古典概型求解即可.【详解】任取两只手套有种方法,若两只手套成双,有种方法,则取出的手套成双的概率为故选:B.10.已知点是圆的动点,直线上存在两点,使得恒成立,则线段长度的最小值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据几何的思路得到当以为直径的圆与圆内切,且时,线段长度最小,然后求即可.【详解】由圆得圆心,半径.因为直线上存在两点,使得恒成立,则以为直径的圆 包含圆.当长度最小时,两圆内切,设中点为,则此时,所以.故选:A11.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时,假定它们在一昼夜的时间中随机到达,若两船有一艘在停泊位时,另一艘船就必须等待,则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先确定这是几何概型问题,可设甲乙分别先到的时间,建立他们之间不需要等待的关系式,作出符合条件的可行域,并求其面积,根据几何概型的概率公式计算可得答案.【详解】设甲、乙到达停泊点的时间分别是x、y点,则甲先到乙不需要等待须满足,乙先到甲不需要等待须满足,作出不等式组表示的可行域如图(阴影部分):正方形的面积为,阴影部分面积为, 故这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率,故选:B12.是椭圆的左、右焦点,点为椭圆上一点,点在轴上,满足,若,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件,结合向量加法的平行四边形法则确定与的关系,再利用椭圆定义结合余弦定理求解作答.【详解】由得,以、为一组邻边的平行四边形的以点M为起点的对角线对应的向量与共线,由知,平分,因此这个平行四边形是菱形,有,又,于是得,令椭圆的半焦距为c,在中,,由余弦定理得:,即,则有,解得,所以椭圆的离心率为.故选:D二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.2020年是新冠疫苗接种高峰期,接种重点人群是年龄在18-59岁的健康人员.某单位300名职工的年龄分布情况如图所示,现要从中抽取30名职工作为样本了解新冠疫苗的接种情况,则40岁以下年龄段应抽取____________人. 【答案】15【解析】【分析】根据扇形统计图得到40岁以下年龄段所占比例,从而得到应抽取的人数.【详解】从扇形统计图可看出40岁以下年龄段所占比例为,故从中抽取30名职工作为样本,40岁以下年龄段应抽取人数为.故答案为:1514.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5,则实数的值是________【答案】4【解析】【分析】由抛物线定义及点M到焦点的距离求得p,把点M代入抛物线方程即可求.【详解】抛物线准线方程为,由抛物线定义知,解得.把代入得.故答案为:4.15.已知点,直线,则点到直线的距离的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】化简直线为,得出直线过定点,根据点的长度,进而求得点到直线的距离的取值范围.【详解】把直线化为,联立方程组,解得,即直线过定点,又由,且,所以直线与不垂直,所以点到直线的距离的最大值为, 即点到直线的距离的取值范围为故答案为:.【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用,以及两点间的距离公式的应用,着重考查推理与运算能力,属于中档试题.16.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两个定点A、B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O:x2+y2=1和点,点B(4,2),M为圆O上的动点,则2|MA|+|MB|的最小值为___________【答案】【解析】【分析】设M(x,y),令2|MA|=|MC|,根据圆x2+y2=1是关于点A、C的阿波罗尼斯圆,且,求得点C坐标,再连接BC,由直线段最短求解.整理得:【详解】设M(x,y),令2|MA|=|MC|,则,由题知圆x2+y2=1是关于点A、C的阿波罗尼斯圆,且,设点C(m,n),则,整理得:,比较两方程可得:,,,即m=-2,n=0,所以点C(-2,0),如图所示:当点M位于图中M1、M2的位置时,2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小,最小为. 故答案为:三、解答题:本大题共6个小题,第一题10分,其余各题12分17.已知命题方程:表示焦点在轴上的椭圆,命题双曲线的离心率,若“”为假命题,“”为真命题,求的取值范围.【答案】【解析】【分析】求出当命题为真命题时的取值范围,以及当命题为真命题时的取值范围,分析可知、中一真一假,分真假、假真两种情况讨论,综合可得出实数的取值范围.【详解】解:若命题为真命题,则,解得;若命题为真命题,则,解得.因为“”为假命题,“”为真命题,则、中一真一假,若真假,则,则;若假真,则,可得.综上所述,实数的取值范围是.18.双曲线的一条渐近线为,且一个焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线方程;(2)过点的直线与双曲线交于异支两点,求点的轨迹方程. 【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用渐近线方程以及焦点到直线的距离即可求解.(2)首先设出直线方程,与椭圆联立后,设出,利用向量的坐标运算以及韦达定理即可求解轨迹方程,最后确定好范围即可.【小问1详解】由渐近线为知,①,又焦点到渐近线的距离为,即到直线的距离,所以,②,联立①②,解得,,则双曲线方程为.【小问2详解】因为直线与双曲线交于异支两点,所以直线的斜率必存在,且经过点,可设直线,与双曲线联立得:,设,则有解得,由知,两式相除得,即代入得,又,所以,所以点的轨迹方程为.19.某中学有初中学生1800人,高中学生1200人,为了解全校学生本学期开学以来(60天)的课外阅读时间,学校采用分层抽样方法,从中抽取了100名学生进行问卷调查. 将样本中的“初中学生”和“高中学生按学生的课外阅读时间(单位:小时)各分为5组:,,,,,得其频率分布直方图如图所示.(1)估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数是多少;(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人,求至少有2个初中生的概率;(3)国家规定:初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时,若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准,则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据,该校是否需要增加初中学生课外阅读时间?【答案】(1)720人(2)(3)该校需要增加初中学生课外阅读时间.【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图可得阅读时间在小时内的频率,进而可求人数,(2)根据分层抽样的抽样比计算抽取的初高中生的人数,进而根据列举法求解个数,由古典概型的概率计算公式即可求解,(3)根据频率分布直方图计算阅读的平均数,即可求解.【小问1详解】初中生中,阅读时间在小时内的频率为,∴所有的初中生中,阅读时间在小时内的学生约有人;同理,高中生中,阅读时间在小时内的频率为 ,学生人数约有人,该校所有学生中,阅读时间在小时内的学生人数约有人.【小问2详解】由分层抽样知,抽取的初中生有名,高中生有名,记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人,至少抽到2名初中生”为事件,初中生中,阅读时间不足10个小时的学生频率为,样本人数为人;高中生中,阅读时间不足10个小时学生频率为,样本人数为人.记这3名初中生为、、,这2名高中生为、,则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人,所有可能结果共10种,即:,,,,,,,,,;而事件的结果有7种,它们是:,,,,,,;∴至少抽到名初中生的概率为;【小问3详解】60天内,初中生平均每人阅读时间为(小时),国家标准下60天内初中生每人需阅读(小时),因为,该校需要增加初中学生课外阅读时间.20.现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据(单位:万元)如表所示:月份12345678物流成本8383.58086.58984.57986.5利润114116106122132114132根据最小二乘法公式求得线性回归方程为.(1)若9月份物流成本是90万元,预测9月份利润; (2)经再次核实后发现8月份真正利润应该为116万元,重新预测9月份的利润.附:,,,.,.【答案】(1)136.2万元(2)131.2万元【解析】【分析】(1)直接利用回归方程预测求解;(2)根据题意,结合已知数据利用最小二乘法公式求解即可.【小问1详解】9月份利润:万元.【小问2详解】由已知数据可得:,因为点在回归直线上,所以,所以,因为8月份的真正利润应该为116万元,此时,又,所以,,所以数据核实后的新的线性回归方程为,令,得万元.所以重新预测9月份的利润为万元.21.已知抛物线C:焦点为F,过点P(0,2)的动直线l与抛物线相交于A,B两点.当l经过点F时,点A恰好为线段PF中点.(1)求p的值; (2)是否存在定点T,使得为常数?若存在,求出点T的坐标及该常数;若不存在,说明理由.【答案】(1)(2)存在;,【解析】【分析】(1)结合中点坐标公式表示出点A的坐标带入抛物线的方程即可求出结果;(2)设出直线的方程与抛物线联立,进而结合根与系数的关系得到的表达式,从而可得,因此解方程组即可求出结果.【小问1详解】因为,且点A恰好为线段PF中点,所以,又因为A在抛物线上,所以,即,解得【小问2详解】设,可知直线l斜率存在;设l:,联立方程得:,所以,所以,又:,令,解之得:,即,此时 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系;(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.22.已知椭圆的左、右焦点分别为,设是第一象限内椭圆上一点,的延长线分别交椭圆于点,直线与交于点.(1)当垂直于轴时,求直线的方程;(2)记与的面积分别为,求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据题意分别计算的坐标,进而根据的直线方程可得,进而可得直线的方程;(2)设,直线的方程为,联立直线与椭圆的方程可得,进而可得,令,,再根据基本不等式求最大值即可.【小问1详解】由题意可得,当垂直于x轴时,则的纵坐标为,所以, ∴,直线的方程为:,联立,解得或,则,∴,∴直线的方程为,即;【小问2详解】设,,设直线的方程为,其中,联立,消去x并整理可得,,由韦达定理可得,,又,则,∴,同理可得.∴,令,, ,当且仅当,即时取等号.∴最大值为.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-02-18 11:43:05 页数:18
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文章作者:随遇而安

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