初二数学下册：二次根式化简

知识点1、二次根式定义 形如式子叫做二次根式；二次根式必须满足：含有二次根号；被开方数a必须是非负数（含有，且有意义）。①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式；②判断时一定要注意不要化简，一定要有意义。知识点2、最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。 ①根号下无分母，分母中无根号；②被开方数中没有能开方的因数或因式。知识点3、二次根式的性质（1）非负性  √a（a≥0）是一个非负数  注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．（2）（√a）^2=a （a≥0）注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或（3）非负代数式写成 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． 知识点4、最简二次根式和同类二次根式 （1）最简二次根式：  ☆最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式②被开方数中不含能开得尽方的数或因式，分母中不含根号   ☆同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式知识点5、二次根式计算——分母有理化（1）分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如下，分别互为有理化 因式。②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如下列式子，互为有理化因式（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 知识点6、二次根式计算——二次根式的乘除（1）积的算术平方根的性质积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 （2）二次根式的乘法法则两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。（3）商的算术平方根的性质商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。（4）二次根式的除法法则两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．知识点7、二次根式计算——二次根式的加减二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 （1）判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。（2）二次根式的加减分三个步骤：  ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式； ③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并二次根式中有两个比较重要的公式，在化简中能够经常使用，化简题中需要关注三种题型。 两个公式都有注意点，公式一中要注意根号中的被开方数必须是非负数，这也是二次根式有意义的条件。公式二最容易出错，有两个易错点，其一：直接开根得到答案为a，这也是最常犯的错误；其二在去绝对值时，得到本身a认为a的取值范围是大于0，其实应该为大于等于0，得到相反数-a，a的取值范围应该小于等于0.直接化简在直接化简时，有些题目有隐含条件，需要我们自己去挖掘，有些题目没有隐含条件，就是简单的化简求值题，题目会默认被开方数大于等于0.分析：本题中被开方数是分式的形式，需要化简，根据被开方数是非负数，可以得到1-a＞0，即a＜1。在化简时，有两种方式，一种是把根号外的部分平方以后移入根号内，然后再进行化简。但是，在移动的过程中还要注意，括号外面的代数式a-1为负数。另外一种方法是将根号中的分式进行分母有理化，即分子、分母同乘以1-a，得到上述的平方再开根先变成绝对值，然后再进行化简。将根式外的数或代数式移到根号里面时要是正数，不能随随便便就移进去，特别是代数式。 平方再开根一定要先变成绝对值，不要直接去根号，那样很容易出错。条件化简给定条件再化简，给定的条件可能是具体的范围，也可能多个字母之间的关系，也可能是数轴，变化多样，但是解题思路万变不离其宗。分析：遇到平方再开根，先变成绝对值，然后根据已知条件对绝对值中的代数式进行讨论，绝对值中为非负数去绝对值得到本身，绝对值中为非正数，去绝对值时得其相反数。不要害怕这类题目，其实主要就是去绝对值。 分析：通过数轴可知，a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a+b＜0，原式=aab＝2ab。