天津市南开中学2022-2023学年高三数学上学期1月期末试卷（Word版带答案）

天津市南开中学2023届高三第三次月考一、选择题1．设为虚数单位，则复数的虚部是（）A．B．C．D．2．集合，，则=（）A．B．C．D．3．已知直线，，则是的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．展开式中的常数项是（）A．B．135C．D．5．已知，，，则的大小关系是A．B．C．D．6．将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，全科免费下载公众号《高中僧课堂》则下列说法正确的是（）A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称C．过点D．在区间上单调递增7．设抛物线：（）的焦点为，上一点，满足直线与轴正半轴交于点，且在之间，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（    ）A．1B．C．D．8．已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点分别在双曲线的左．右两支上，，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）A．B．C．D．9．已知函数若方程有5个不等实根，则实数 的取值范围是（    ）A．B．C．D．二、填空题10．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一．高二这两个年级共名学生中，采用分层抽样的方法抽取人进行调査．已知高一年级共有名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为_________11．一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则______12．等差数列中，，，则数列的前2023项和为___________.13．已知都是正数，则的最小值是___________14．已知圆的圆心为，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线与交于两点，，则实数__________15．如图，在中，，点满足，，为中点，点在线段上移动（包括端点），则的最小值是______三、解答题16．在，中，记角，，的对边分别为，已知(1)求角；(2)已知点在边上，且，求的面积. 17．如图，在四棱锥中，平面平面，，．(1)．求证：平面；(2)．求平面与平面夹角的余弦值；(3)．若点在棱上，且平面，求线段的长. 18．已知椭圆中心在原点，右焦点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆左右顶点分别为和，为椭圆位于第二象限的一点，在轴上存在一点，满足，设和的面积分别为和，当时，求直线的斜率.19．已知公差不为零的等差数列，为等比数列，且满足，，，成等比数列.（1）求数列和的通项公式； （2）设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围．20．已知函数.（1）．当，时，求的单调区间；（2）．若在区间内存在极值点.①．求实数的取值范围；②．求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小， 说明理由.一、选择题BDABCDDBA二、填空题10、3011、12、13、14、或15、三、解答题16、（1）因为，由正弦定理可得，因为，所以，所以， 因为，则，所以，即，故，又，所以，故.（2）在中由余弦定理可得，，，是等边三角形，所以，即的面积是．17．(1)．略（2）解：在中，因为，所以，所以．所以，建立空间直角坐标系，如图所示．所以，易知平面的一个法向量为．设平面的一个法向量为，则，即，令，则．则，即平面与平面夹角的余弦值为．（3）解：因为点E在棱，所以．因为．所以．又因为平面，为平面的一个法向量，所以，即，所以． 所以，所以18．（1）椭圆方程（2）设直线的方程为，显然，联立，所以，所以，设，所以，根据题意，，所以所求直线斜率为19．(1)．(2)．∵，则，，，，恒成立，则恒成立，令，则，， ，，故实数的取值范围是20．(1)．，，所以在，所以在单调递增（2）．①，又，则且，∴，即在上递增，故，当时，在上，即递增，又，，∴上，上，则在上递减，在上递增，∴在处取极小值，符合题设.∴.②要证在内存在唯一的使，只需证在上有唯一零点，∴，由（1）知：在上递减，在上递增，又时，，即在上递增，综上，在上递减，在上递增，而，，∴在无零点，在上存在一个零点，故存在唯一使.由①知：，∴，令且，则，令，则显然，则递增，∴，即，故在上递增，则， ∴在有，即有，又在上递增且，∴.