甘肃省陇南市等三地2023届高三数学（理）上学期期中联考试卷（Word版带答案）

陇南、临夏、甘南三地2022-2023学年第一学期高三期中考试联考试卷高三数学（理科）第一部分选择题（共60分）一、单项选择题（每题5分、共60分）1．集合的真子集个数为（）A．B．C．D．【答案】C2．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的()。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】B3．命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，【答案】B4.函数的定义域为()A.B.C.D.【答案】D5．在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（）A．60B．11C．50D．55【答案】D6．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是()。A、B、C、D、【答案】A7．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，则点A到BC边的距离为(　　)A．B．C．D．4【答案】B8.已知，过A(1,1)、B(1，－3)两点的直线与过C(－3，m)、D(n,2)两点的直线互相垂直，则 点(m，n)有(　　)A．1个B．2个C．3个D．无数个【答案】D9.直线恒过一定点，则此定点为()。A、B、C、D、【答案】D10.如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且。当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为()。A、B、C、D、【答案】B11．若偶函数在上是增函数，则（）A.B.C.D.【答案】D12.已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为A．B．C．D．【答案】D第二部分非选择题（共90分）二、填空题（每题5分、共20分）13．已知的定义域为，则的定义域是．【答案】14.已知，若，则_______.【答案】或2 15．设是数列的前项和，若，则________.【答案】16.已知直线l1经过点A(0，－1)和点B(－，1)，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．【答案】－6三、解答题（共70分）17．（10分）已知函数，.（1）当时，求的最值；（2）使在区间上是单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1）最小值，最大值35；（2）.18．（12分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若方程有三个不同实数根，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．19．（12分）已知数列的前项和与通项满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，，，求.【答案】（1）；（2）.20．（12分）如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点。(1)证明：平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值。 【解析】(1)证明：连接，∵为正三角形，为中点，∴，∵，，∴平面，∴，2分又，，∴，又，∴平面，4分(2)解：由(1)可知，，，，故分别以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，6分设，则，，，，则，，，8分设平面的法向量为，则即，设，则、，则，10分设与平面所成角为，则，∴与平面所成角的正弦值为。12分21．（12分）已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．【解析】解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0．∴＝3．即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或．∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0． (2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．∴dmax＝|PA|＝．22.（12分）已知椭圆M与椭圆N:x216+y212=1有相同的焦点,且椭圆M过点-1,255.(1)求椭圆M的标准方程;(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.【解析】(1)由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),设椭圆M的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则a2-b2=4,1a2+45b2=1,化简并整理得5b4+11b2-16=0,故b2=1或b2=-165(舍),a2=5,故椭圆M的标准方程为x25+y2=1.(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为12×4×|y0|=1,得y0=±12.又x025+y02=1,所以x02=154,x0=±152,所以点P有4个,它们的坐标分别为152,12,-152,12,152,-12,-152,-12.