安徽省六安第一中学2022-2023学年高三数学上学期第四次月考试题（Word版带答案）

六安一中2023届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足（为虚数单位），是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知空间中的两个不同的平面，直线平面，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（    ）A．B．C．8D．4．如图，已知是正方体，以下结论错误的是（    ）A．向量与向量的夹角为60°B．C．D．若，则点是的中心5．若不等式的解集为区间，且，则（    ）A．B．C．D．26．过点作圆的切线，直线与切线平行，则切线与直线间的距离为（    ）A．B．2C．4D．7．如图，已知平面，，是直线上的两点，是平面内的两点，且．是平面上的一动点，且直线与平面所成角相等，则四棱锥体积的最大值为（   ）A．B．C．D． 8．在正四棱台中，，当该正四棱台的体积最大时，则其外接球的表面积为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．以下四个命题表述正确的是（    ）A．若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为B．三棱锥中，分别为的中点，，则平面将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即C．若直线l过点且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l的方程为D．在四面体中，若，则10．在三棱锥中，已知底面ABC，分别是线段上的动点．则下列说法正确的是（　　）A．当时，B．当时，一定为直角三角形C．当时，平面平面D．当平面AEF时，平面与平面不可能垂直11．已知正方体的棱长为2，为线段的中点，，其中，，则下列选项正确的是（    ）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，的最小值为C．当时，直线与平面的交点轨迹长度为D．当时，点到平面的距离为12．若实数满足，则下列说法正确的是（）A．的最小值是0B．的最大值是5C．若关于的方程有一解，则的取值范围为 D．若关于的方程有两解，则的取值范围为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线与圆分别交于M、N两点.则弦MN长的最小值为.14．在四面体中，，且异面直线与所成的角为60，分别是棱的中点，则线段MN的长为．15．已知的一条内角平分线所在的直线方程为，两个顶点坐标分别为，则边所在的直线方程为．（结果用一般式表示）16．已知数列满足：，若，则数列的前20项和．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．18、（本小题满分12分）如图，为内的一点，记为，记为，且、在中的对边分别记为.（1）求；（2）若，求线段和的长．19、（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点 ．（1）若直线过点，与圆相交于两点，且，求直线l的方程；（2）圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，且．（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（2）设，求证：．21、（本小题满分12分）在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答．如图，在五面体中，已知，，且．（1）设平面与平面的交线为，证明：平面；（2）求证：平面平面；（3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．22、（本小题满分12分）已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）若与的图象有公共点．（i）当时，求的取值范围；（ii）求证：．六安一中2023届高三年级第四次月考数学参考答案一．选择题123456789101112CBDACABDBDACDABDAB 二．填空题13、414、1或15、16、17、证明：（1）由题意可知，解得............................1分在中，所以，又因为是的中点，所以因为是圆的直径，所以，由已知得，平面所以，所以平面，............................3分从而平面，证得.............................5分（2）过作，则面.............................6分连接，则就是直线与平面所成的角............................7分，............................9分..........................10分18、解：（1）由题知，...........................4分，.............................6分（2）在中，由余弦定理得知：..........................8分又，且..........................9分又，..........................10分在中，...........................12分19、解：（1）若的斜率不存在时，，此时符合要求.........................2分当的斜率存在时，设的斜率为，则令， ............................4分............................5分所以直线的方程为或.............................6分（2）假设圆上存在点，设，则，，............................8分即，即，............................9分，............................10分与相交，则点有两个．............................12分20、（1）证明：令，得..............................1分所以时，①②①-②得，即.......................3分所以，，因为，所以数列是以1为首项为公差的等差数列．.......................5分所以，所以.........................6分（2）由.....................8分所以........................10分因为，所以，得证.........................12分21、证明:（1），平面........................1分 又平面且平面平面，.........................2分又平面，平面，平面.........................3分（2）若选①，取中点，中点中点，连接，，，四边形为平行四边形，，，又，，，，又，，又，，平面，平面，平面，平面平面，，，又平面，平面平面，平面，又，，；........................5分若选②，，，，平面，平面，平面，平面平面，取中点，中点，连接，，，又平面，平面平面，平面，又，，；........................5分若选③，取中点，中点，连接，，，又，；分别为中点，，又，，四边形为平行四边形，；，，，，，，，，，又，，又，，平面，平面，平面，平面平面，又，平面，平面平面，平面，又，，；........................5分综上所述：两两互相垂直.则以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，平面，平面的一个法向量；........................6分设平面的法向量，则，令，解得：，，，........................7分，即，平面与平面.........................8分（3）设在线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，由（2）得：，，设平面的法向量，则，令，则，........................9分∵面的法向量为，化简得，∴方程无解........................11分线段以上不存在点F，使得平面AEF与平面ABF夹角的余弦值等于..............12分22、解：（1），故，........................1分而，曲线在点处的切线方程为，.......................2分 即........................3分（2）（i）当时，因为曲线和有公共点，故有解，设，故，故在上有解，设，故在上有零点，.......................4分而，若，则恒成立，此时在上无零点，.......................5分若，则在上恒成立，故在上为增函数，.......................6分而，，故在上无零点，故，设，则，故在上为增函数，而，，故在上存在唯一零点，且时，；时，；故时，；时，；所以在上为减函数，在上为增函数，故，......................7分因为在上有零点，故，故，而，故即，设，则，故在上为增函数，而，故.........................8分另解：令，所以，.当时，，即在上是单调递减的；当时，，即在上是单调递增的；因为，所以有，解得.（ii）因为曲线和有公共点，所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故.故，考虑直线，表示原点与直线上的动点之间的距离，故，所以，........................9分下证：对任意，总有，证明：当时，有，故成立.当时，即证，设，则（不恒为零），故在上为减函数，故即成立.综上，成立.........................10分下证：当时，恒成立，，则，故在上为增函数，故即恒成立.........................11分下证：在上恒成立，即证：，即证：，即证：，而，故成立.故，即成立.........................12分第二问另证：方法一：柯西不等式：令交点横坐标为，则由柯西不等式：.即证：，因为，原命题得证.方法二：基本不等式：令交点横坐标为，则，则由基本不等式，因此有：，原命题得证.答案仅供参考，请各位老师按步骤给分！其它解法请酌情给分！