甘肃省武威第六中学2022-2023学年高三理科数学上学期第三次过关考试试题（Word版带解析）

武威六中2022-2023学年高三年级第一学期第三次过关考试（线上）数学（理科）试卷一､单选题（每小题5分共60分）1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得集合，根据集合的交集运算，即可求得答案.【详解】由题意得，，故，故选：B2.已知，若是纯虚数（是虚数单位），则（）A.－1或1B.0C.－1D.0或1【答案】C【解析】【分析】根据纯虚数的概念求解即可.【详解】是纯虚数，且，解得，故选：C3.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一判断，即可选择.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 【详解】对：容易知是偶函数，且在单调递减，故错误；对：容易知是偶函数，当时，，其在单调递增，在单调递减，故错误；对：容易知是偶函数，当时，是单调增函数，故正确；对：容易知是奇函数，故错误；故选：C.4.核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（）（参考数据：）A.22.2%B.43.8%C.56.2%D.77.8%【答案】D【解析】【分析】由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得．【详解】解：由题意知，，即，即，所以，解得．故选：D．5.已知命题，，若是假命题，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】写出命题，由条件可得是真命题，然后由可得，然后根据的范围可得答案.【详解】因为命题，，所以命题，，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 因为是假命题，所以是真命题，由可得，因为，所以，故选：B6.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式及诱导公式可得，进而可得，再利用和差角公式及二倍角公式即得.【详解】∵，∴，即，又，∴，∴.故选：A.7.设平面向量，均为单位向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】将两边平方，化简后即可得，由此即可选出答案.【详解】因为，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 所以“”是“”的充分必要条件，故选：C.8.已知函数，若方程在上有且只有三个实数根，则实数的取值范围是（）A.B.CD.【答案】A【解析】【分析】根据两角和与差的三角函数公式将函数恒等变形，化为正弦型函数，进而根据三角函数的图象与性质，即可求出结果．【详解】由题意，函数，令得，即，所以或，所以或，当x取正数时，从小到大依次为：，，，，…因为在上有且只有三个实数根，所以，所以，故选：A.9.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，，由三点共线,可得，即可求得答案.【详解】解：因为，所以，又因为，所以，又因为三点共线,所以，即，所以，所以，解得.故选：D.10.△的内角，，的对边分别为，，.若，则第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 （）A.5B.4C.3D.2【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理进行角换边，再根据余弦定理即可得出答案.【详解】，利用正弦定理可得:，又，可得，整理可得：，故选：A.11.设，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用作差法，判断运算结果与0比较，即可得出，判断可构造函数，根据导数符号可得出在上单调递减,然后即可得出的大小关系，从而得出结论.【详解】由得；而，设,时,在上单调递减,,且,,.综上，故选：D.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 12.若关于方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令，则有，令函数，画出其图象，结合图象可得关于方程一定有两个实根，且，，即可求解．【详解】解：由关于的方程，令，则有，令函数，则，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，其图象如下：第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 要使关于的方程有3个不相等的实数解，，，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，且，，由韦达定理知，，，，又，可得，故选：B．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是通过换元，将较复杂的方程转化为一元二次方程，再利用导数工具说明函数的单调性.二､填空题（每小题5分，共20分）13.已知向量，，，若，则______.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示求解．【详解】由题意得：，，，，解得.故答案为：．14.函数，的部分图象如图所示，则函数的解析式为_____________．第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 【答案】【解析】【分析】由图可得，，即可求出，再根据函数过点求出，即可求出函数解析式；【详解】解：由图可知，，所以，又，所以，所以，又函数过点，所以，所以，解得，因为，所以，所以；故答案为：15.在锐角中，，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据题意有，进而展开并结合降幂公式和辅助角公式化简，然后根据该三角形为锐角三角形确定出A的范围，最后求得答案.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 【详解】根据题意，而三角形ABC为锐角三角形，则，所以，于是.故答案为：.16.已知是定义在R上的奇函数，满足，有下列说法：①的图象关于直线对称；②的图象关于点对称；③在区间上至少有5个零点；④若上单调递增，则在区间上单调递增．其中所有正确说法的序号为_______．【答案】②③④【解析】【分析】求得函数的图象关于点对称判断①②；求得在区间上零点个数判断③；求得在区间上的单调性判断④【详解】因为，所以，故函数是周期为3的周期函数，又是定义在R上的奇函数，则，所以，故函数的图象关于点对称，故①错误，②正确；由题意可知，，因为，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 令，可得，即，所以，从而，故函数在区间上至少有5个零点，故③正确；因为，，且函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增，故函数在区间上也单调递增，故④正确．故答案为：②③④三､解答题（共70分）17.已知函数.（1）求最小正周期和对称轴方程；（2）若函数在存在零点，求实数的取值范围.【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为（2）【解析】【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为在上有解，根据时，得到，即可求解.【小问1详解】解：对于函数，所以函数的最小正周期为，令，解得，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 所以函数的对称轴的方程为.【小问2详解】解：因为函数在存在零点，即方程在上有解，当时，可得，可得，所以，解得，所以实数的取值范围.18.在①，②，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设为的面积，满足______________(填写序号即可)．（1）求角C的大小；（2）若，求周长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若选①，由面积公式及余弦定理得到，即可求出，从而得解；若选②，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解.【小问1详解】解：若选①，因为，所以，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 所以，所以，因为，所以若选②，因为，由正弦定理得，所以，即，，，，又，.【小问2详解】解：由余弦定理得，因此，，当且仅当时等号成立，所以的周长因此的周长的最大值为.19.如图，在三棱锥中，，，，为的中点.（1）证明：平面ABC；（2）若E是棱AC上的动点，当的面积最小时，求SC与平面SDE所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】（1）根据三角形为等腰三角形得到，根据勾股定理得到，最后用线面垂直的判定定理证明即可；（2）解法1：利用几何法得到为与平面所成角，然后求余弦值即可；解法2：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出线面角的正弦值，然后求余弦值即可.【小问1详解】因为，又D为BC的中点，所以，且，连接，，所以为等腰直角三角形，且，，由，可知，由，，，平面，可知平面.【小问2详解】解法1：因为，平面，所以，，所以，当的面积最小时，取最小值，此时得，这时为的中位线，且.因为，且，，平面，所以平面，故为与平面所成的角.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 因为E是AC的中点，所以.在中，，所以SC与平面SDE所成角的正弦值为，余弦值为.解法2：同解法1，且.因为，，，两两互相垂直，故以D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则，，，.，，设平面的法向量为，则，即，所以可取，又，设SC与平面SDE所成角为，则，余弦值为.20.已知函数.（1）当时，求在区间上的最小值；（2）若有两个零点，求的取值范围.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间即得解；（2）等价于有两个零点，令画出函数的图象即得解.【小问1详解】解：，令，得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.当时，有极小值，也是最小值，最小值为.【小问2详解】解：，定义域，由题意，即有两个零点，令所以在时，，函数单调递增；当时，函数单调递减.所以函数的最大值时，，函数的图象如图所示，所以，所以.21.已知函数，．（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；（2）当时，求证在上恒成立．第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）求出导函数，问题转化为，恒成立，用分离参数法再转化为求函数的最值．（2）求出在时的最大值，由最大值小于1证得结论成立，注意令，由单调性得有唯一零点，然后得出是最大值，再由的性质证明即可．【详解】解：（1）因为，，对，恒成立，所以，设故，所以在上单调递增，所以，所以；（2）由题意知，要证在上，，令，则，显然在上单调减，，所以，所以，，单调增，，，单调减，所以，得证．【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，证明不等式成立，已知函数的单调性问题，一般转化为导函数的不等式恒成立，然后转化为求函数最值得参数范围，证明不等式也可转化为求函数的最值，由最值满足不等关系得出结论．第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 22.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为，求．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）直线的参数方程消去参数，即得的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式，即得解；（2）将直线的参数方程代入，利用直线的参数方程的几何意义，可得，结合韦达定理，即得解.【小问1详解】由（t为参数），可得l的普通方程为；由曲线C的极坐标方程及可得，整理得，所以曲线C的直角坐标方程为．【小问2详解】易知点M在直线l上，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得，即，设P，Q对应的参数分别为，则，因为，所以．第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司