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广东省广州市 2022-2023学年高三数学上学期第二次阶段考试试题(Word版带答案)
广东省广州市 2022-2023学年高三数学上学期第二次阶段考试试题(Word版带答案)
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广东实验中学2023届高三第二次阶段考试(数学)第一部分选择题(共60分)一.单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集,集合,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由补集、交集的概念运算【详解】,则.故选:B2.如图,角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆O分别交于A,B两点,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用任意角的三角函数定义写出两点的坐标,再求向量数量积即可【详解】由图可知,所以, 故选:A.3.已知,,,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的基本关系式,求得的值,再由,结合两角和的正弦公式,即可求解.【详解】由,可得,因为,,可得,,所以.故选:A.4.下列函数中,其图象与函数的图象关于y=-x对称的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将函数中的变为,变为,整理可得答案.【详解】将函数中的变为,变为得整理得,即图象与函数的图象关于y=-x对称的是故选:D.5.已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为,将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.若函数 的图象在区间上是增函数,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意,根据余弦函数的周期性质,结合函数图象平移性质以及单调性,可得答案.【详解】由函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为,则函数的周期,则,则,由将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,可得,由,,函数的图象在区间上是增函数,故,解得,由,当时,,故选:B.6.若过点与曲线相切的直线有两条,则实数的取值范围是().A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设切点坐标,根据导数几何意义列等式,把有两条切线的问题转化为方程有两 个解的问题,再把方程有两个解的问题转化为函数图像有两个交点的问题,结合函数图像求的范围即可.【详解】设切点为,的导函数为,可得切线的斜率,由切线经过点,可得,化简可得①,由题意可得方程①有两解,设,可得,当时,,所以在上递减,当时,,所以在上递增,可得在处取得最大值,如图所示,所以,解得.故选:A.7.已知函数的图象关于对称,且,则的值是()AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】先对函数化简变形,然后由题意可得,求得,再由可得,再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果 【详解】因为,其中,,由于函数的图象关于对称,所以,即,化简得,所以,即,所以,故选:C.8.设,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】法一:构造,求导分析单调性,结合可得,再构造,求导分析单调性可得,进而判断出即可.【详解】法一:若,令在上单调递增,,即,比较与的大小,先比较与若令 时单调递减,.法二:秒杀另一方面由时,,.故选:B二.多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)9.已知向量,,则下列说法正确的是()A.若,则B.若,则C.的最小值为6D.若与的夹角为锐角,则【答案】BC【解析】【分析】由平面向量垂直、平行以及模长的坐标计算公式,对每个选项进行逐一分析,即可判断和选择.【详解】A:若,故可得,解得或,故A错误;B:当时,,此时,则,故B正确;C:,故,当时,取得最小值,故C正确;D:若与的夹角为锐角,则,解得;当与共线时,,解得,故,故D错误;综上所述,正确的选项是:.故选:BC. 10.为了得到函数的图象,可将函数的图象()A.纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍B.纵坐标不变,横坐标缩短为原来的C.向下平移两个单位长度D.向上平移两个单位长度【答案】BD【解析】【分析】,可通过平移,也可通过伸缩得到.【详解】,可将函数的图象向上平移两个单位长度得到,也可将函数的图象纵坐标不变,横坐标缩短为原来的得到.故选:BD11.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是()A.若a>b,则B.c=10,a=12,∠A=60°,则有唯一解C.若a,b,c成等比数列,的取值范围为D.若,则△ABC为锐角三角形【答案】ABC【解析】【分析】A选项利用三角形中大边对大角即可判断出.B,D选项利用正余弦定理可判断.C选项,由a,b,c成等比数列,用等比中项的性质,再结合三角形边的性质,两边之和大于第三边列不等式组即可.【详解】对于A:a>b可知A>B,由余弦函数单调性可知故A正确;对于B,在中,c=10,a=12,,得,所以△ABC有唯一解,故B正确;对于C,∵a,b,c成等比数列,设,q>0,则b=aq,, ∴,∴,∴,故C正确;对于D,若,则,故,由正弦定理得:,由余弦定理得,则,C为锐角,另外两个角不能确定为锐角还钝角,故D错误;故选:ABC12.已知数列满足,,记数列的前n项和为,对恒成立,则下列说法正确的有()A.若,则数列为递减数列B.若,则数列为递增数列C.若a=3,则的可能取值为D.若a=3,则【答案】BCD【解析】【分析】对于A,取特殊情况,可得答案;对于B,构造函数,作图,利用数形结合思想,可得答案;对于C、D,同B,可得数列的取值方程,整理求得数列相邻两项的大小关系,利用放缩法,解得裂项相消和等比数列求和,可得答案.【详解】对于A,令,解得,即数列的不动点为2,所以当a=2时,,此时为常数列,A错误;对于B,作出函数与函数y=x的图像如图: 由图可知B正确;对于C,作出函数与函数y=x的图像如图:由图可知:,∴,∴,即,又∵,∴, 一方面,由得,∴,,∴∵,且当n→+∞,,∴,∵,∴另一方面,由,,得,,又∵,,,且,∴,所以CD正确.故选:BCD.第二部分非选择题(共90分)三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.如图所示的平面直角坐标系、设钟表秒针针尖的坐标为P(x,y),若秒针针尖的初始坐标为当秒针由点P0的位置(此时t=0)开始走时,点P的纵坐标y与时间t(单位:秒)的函数关系为______.【答案】,【解析】 【分析】确定对应的角度,再根据点在单位圆上,写出函数的解析式.【详解】由题意,半径,函数的周期,所以时刻秒针针尖经过的圆弧对应的角度为,以轴正半轴为始边,所在射线为终边,得对应的角度为,秒针是顺时针,则对应的角度为,所以时刻的纵坐标,.故答案为:,.14.等差数列前项和为,,则___________.【答案】【解析】【分析】由结合等差数列的性质可得,然后利用等差数列的求和公式可求得结果【详解】,即故答案为:5215.计算:_______.【答案】【解析】【分析】把化为,逆用二倍角的余弦公式和正弦公式,运用辅助角公式,最后化简求值.【详解】原式 【点睛】本题考查了同角三角函数商关系,考查了二倍角的正弦公式、余弦公式、辅助角公式.16.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感,曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若是的导函数,是的导函数,则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率,则曲线在(1,1)处的曲率为______;正弦曲线(x∈R)曲率的平方的最大值为______.【答案】①②.1【解析】【分析】(1)由题意,求导,代入公式,可得答案;(2)由题意,整理曲率的函数解析式,换元求导,求最值,可得答案.【详解】(1)由题意得,,则,,则.(2)由题意得,,,∴,令,则,令,则,显然当t∈[1,2]时,,p(t)单调递减,所以,∴的最大值为1.故答案为:,1.四.解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.在中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且.(1)求;(2)若,求的面积.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据正弦定理,结合同角的三角函数关系式进行求解即可;(2)根据余弦定理,结合三角形面积公式进行求解即可.【小问1详解】由,故由正弦定理知:,所以.因为,所以A为锐角,故;【小问2详解】由(1)及余弦定理知:,故,故.由,所以,所以的面积.18.已知等比数列的前n项和为(b为常数).(1)求b的值和数列的通项公式;(2)记为在区间中的项的个数,求数列的前n项和.【答案】(1);(2)【解析】 【分析】(1)依题意等比数列的公比不为1,再根据等比数列前项和公式得到,即可得到且,从而求出、,即可得解;(2)首先令,,即可求出的取值范围,从而求出,即可得到,再利用错位相减法求和即可;【小问1详解】解:由题设,显然等比数列的公比不为1,若的首项、公比分别为、,则,∴且,所以,故的通项公式为.当时,;【小问2详解】解:令,,解得,所以数列在中的项的个数为,则,所以,∵,①∵②两式相减得∴.∴19.如图,三棱台ABC-DEF中,∠ABC=90°,AC=2AB=2DF,四边形ACFD为等腰梯形,∠ACF=45°,平面ABED⊥平面ACFD. (1)求证:AB⊥CF;(2)求直线BD与平面ABC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)延长AD、BE、CF交于点P,由平面ABED⊥平面ACFD推导出CP⊥平面ABED,进而可得出CP⊥AB;(2)设DF=a,可得出,,过点P作PM⊥BC于点M,计算出点到平面ABC的距离,即可求得直线BD与平面ABC所成角的正弦值.【小问1详解】证明:延长AD、BE、CF交于点P,∵四边形ACFD为等腰梯形,∠ACF=45°,∴∠APC=90°,即CP⊥AP,∵平面ABED⊥平面ACFD,平面平面ACFD=AP,平面ACFD,∴CP⊥平面ABED,∵平面ABED,∴CP⊥AB.【小问2详解】由AC=2AB=2DF,可知D为PA的中点,设AB=DF=a,则,,由(1)知,CP⊥AB,∵∠ABC=90°,即AB⊥BC,,CP、平面PBC,∴AB⊥平面PBC,∴AB⊥PB,∴,,过点P作PM⊥BC于点M,∵AB⊥平面PBC,平面PBC,∴AB⊥PM,又,AB、平面ABC,∴PM⊥平面ABC,∴PM⊥BC,由(1)知,CP⊥平面ABED,∴CP⊥PB,∴,即,∴,∵D为PA的中点, ∴D到平面ABC的距离,∴直线BD与平面ABC所成角的正弦值为.20.已知函数(,).再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知,条件①:的最大值为1;条件②:的一条对称轴是直线;条件③:的相邻两条对称轴之间的距离为.求:(1)函数的解析式;(2)若将函数图像上的点纵坐标不变,横坐标变为原来的,再向右平移个单位,得到函数的图像,若在区间上的最小值为,求的最大值.【答案】(1)选择条件①③得;(2)【解析】【分析】(1)由题知,进而结合已知条件选择①③能确定函数解析式,再求解即可;(2)结合函数平移变换得,进而根据题意得,再解不等式即可得答案.【小问1详解】解: ,当选条件②,的一条对称轴是直线时,,即,显然不成立,条件①③能确定函数解析式,因为的最大值为1,的相邻两条对称轴之间的距离为所以,,解得,,所以,【小问2详解】解:根据题意得,因为,所以,因为在区间上的最小值为所以,,解得.所以,的最大值为.21.已知函数是偶函数.(I)证明:对任意实数,函数的图象与直线最多只有一个交点;(II)若方程有且只有一个解,求实数的取值范围.【答案】(I)证明见解析;(II).【解析】【分析】(I)先利用偶函数的定义结合对数的运算性质求出 的值,然后利用定义法证明函数在上单调递增,即可证明出所证结论;(II)由,得出,令,将问题转化为关于的方程有且只有一个正根,然后分三种情况讨论:①;②,;③,方程有一个正根一个负根.分析这三种情况,可求出实数的取值范围.【详解】(I)由函数是偶函数可得:,,,即对一切恒成立,.由题意可知,只要证明函数在定义域上为单调函数即可.任取、且,则,,,,即,.函数在上为单调增函数.对任意实数,函数的图象与直线最多只有一个交点;(II)若方程有且只有一解,也就是方程有且只有一个实根.令,问题转化为方程:有且只有一个正根.(1)若,则,不合题意;(2)若时,由或,当时,不合题意;当时,;(3)若时,,若方程一个正根与一个负根时,则. 综上:实数的取值范围是.【点睛】关键点睛:利用函数的奇偶性求参数、函数的零点问题,涉及函数的单调性以及二次函数的零点问题,解题时要注意将这些知识点进行等价转化处理,属于中等题.22.已知函数(为正有理数).(1)求函数的单调区间;(2)证明:当时,.【答案】(1)的增区间为,减区间为,(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)对函数求导后,由导数的正负可求出函数的单调区间,(2)由于在单调递减,所以,令,所以只要证即可,而,所以只要证明:当时,,而,所以令,然后利用导数求的最大值小于等于零即可.【小问1详解】函数的定义域为.(为正有理数),当时,,,所以;当时,,,所以,所以在上单调递增,在上单调递减,所以的增区间为,减区间为;【小问2详解】因为在单调递减,所以.记,因此要证,只要证即可 而且,因此只要证明:当时,.而.令,则,令,则.令,则,令,则,所以(0,1]上单调递增,又,又在(0,1]上连续,故存在,使得当时,,当时,,所以在上单调递减,在单调递增.又,所以.即,所以在单调递减,所以,即.综上所述,当时,.【点睛】关键点点睛:此题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数的单调区间,考查利用导数解决不等式恒成立问题,第(2)问解题的关键是结合(1)将问题转化为证明当时,,构造函数,然后转化为利用导数求其最大值不大于零即可,考查数学转化思想,属于难题.
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高中 - 数学
发布时间:2023-02-18 11:48:04
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