湖北省武 2022-2023学年高一数学上学期12月月考试题（Word版带解析）

湖北省武昌实验中学高一年级12月月考数学试题考试时间：120分钟满分150分一、单选题1.已知实数集，集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用集合补集、交集运算求解.【详解】因为，所以或，所以.故选：C2.命题“,”的否定为（　　）A.,B.,C.,D.,【答案】A【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可.【详解】解:由题根据全称量词命题的否定可知,“,”的否定为“,”.故选:A3.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解绝对值不等式和一元二次不等式，再根据充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】； ，解得，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A4.设，，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解.【详解】解：，，，，，，.故选：A.5.若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】不等式恒成立，即为不等式恒成立，根据基本不等式求出的最小值，从而可得出答案.【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立.又，所以，解得或（舍去），所以，当且仅当时，取等号，所以的最小值为，则不等式恒成立，即为，解得，所以实数m的取值范围是.故选：A. 6.正整数1，2，3，…，的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；当很大时.其中称为欧拉—马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数.用上式计算的值为（）（参考数据：，）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】【分析】，利用估计范围，从而求得值.【详解】由题意知.而，又，，，，，故，故选：B7.已知函数，且，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】设（），即，结合条件得到：，再由奇偶性和单调性得到：，即可求解.【详解】由题意得，函数，设（），则，由，得，又因为，所以是上的奇函数，即，又有，因为是上的增函数，是上的增函数，所以是上的增函数；则，即，整理得：，解得：或，所以实数a的取值范围为，故选：B.8.已知分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且（为自然对数的底数），若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由奇偶性可求得的函数表达式，化简不等式并参变分离，得 ，通过换元，利用函数单调性来求不等式右边的最小值，从而可以求得的取值范围.【详解】由题意，，又分别为定义域为R的偶函数和奇函数，则，由解得，，，关于的不等式在上恒成立，等价于，令，，令，令，，所以，则，则.故实数的取值范围是.故选：C【点睛】解不等式在给定区间的恒成立问题，通常转化为最值问题求解.二、多选题9.下列说法正确的是（）A.与表示同一函数B.函数的图象与直线的交点至多有1个C.若，则D.关于的方程有一个正根，一个负根的充要条件是【答案】BC【解析】【分析】A答案根据相等函数的概念即可判断，B答案根据函数的定义即可判断，C答案直接计算即可，D答案结合一元二次方程的性质，判别式和韦达定理即可判断.【详解】对于A，的定义域为，定义域为R，定义域不同，所以不是同一函数，故A错误. 对于B，根据函数的定义可知，当的定义域中含有时，函数的图象与直线有一个交点.当的定义域中不含时，函数的图象与直线没有交点，综上所述：函数的图象与直线的交点至多有1个，故B正确.对于C，因为，所以，所以，故C正确.对于D，设方程的正根为，负根为，则关于的方程有一个正根，一个负根的充要条件为：，解得,故D错误.故选：BC.10.下列说法错误的是（）A.若，则B.已知，则C.已知为定义在R上的奇函数，且在单调递增，则在R上单调递增D.函数的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】对选项A，根据题意得到或，即可判断A错误，对选项B，根据不等式的性质即可判断B正确，对选项C，根据奇函数的性质即可判断C错误，对选项D，根据基本不等式的性质即可判断D错误.【详解】对选项A，，或，，故A错误.对选项B，因为，，，所以，故B正确. 对选项C，因为为定义在R上的奇函数，且在单调递增，所以，在单调递增，但不一定在R上单调递增，故C错误.对选项D，，当且仅当，即，方程无解，所以，即没有最小值，故D错误.故选：ACD11.已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，则下列一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】由函数的对称性判断BD，构造函数判断出AC错误.【详解】因为为偶函数，所以，函数关于对称，因为为奇函数，所以，函数关于点对称，因为函数定义域为，所以，B正确；又因为函数关于对称，所以，由可得令，，D正确；可构造函数满足题意，此时，AC错误；故选：BD12.已知，，且则（） A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据，利用均值不等式判断A，由条件可化为，据此，利用均值不等式判断B，取特殊值判断C，根据均值不等式及不等式的性质判断D.【详解】对A，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；对B，由可得，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；对C，当时，，故C错误；对D，由，即，当且仅当时等号成立，又，当且仅当时等号成立，故，时等号成立，故D正确.故选：ABD三、填空题13.已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】先根据的定义域求出的定义域，结合解析式的特征可得答案. 【详解】因为的定义域为，所以，即的定义域；因为，所以，所以的定义域为.故答案为：.14.已知函数.若，则_______.【答案】【解析】【分析】找到和的关系，由此得出的值.【详解】，，故答案为：15.已知幂函数在上单调递增，函数，，，使得成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据为幂函数、在上单调递增可得，由，，使得成立，转化为，，使得成立，求出时和在上的最小值解不等式可得答案.【详解】因为幂函数在上单调递增，所以，解得，，，，使得成立，转化为，，使得成立， 当时，，由可得在时恒成立，当即时，的最小值为，解得；当即时，的最小值为，解得；当即时，的最小值为，解得；综上所述，实数的取值范围为.故答案为：.16.若满足,满足，则_____.【答案】【解析】【分析】将题目所给两个方程化为有部分相同的形式，利用反函数图像的对称性，结合图像，判断出的对称性，由此求得的值.【详解】由和得和.故是函数与交点的横坐标，是与交点的横坐标.由于与的图像关于对称，故与的图像关于对称.画出图像如下图所示，其中，由解得，即对称中心点的横坐标为，故.故填：. 【点睛】本小题主要考查方程的根与函数图像交点的横坐标的关系，考查指数函数和对数函数互为反函数以及函数图像的对称性，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.四、解答题17.（1）求值：；（2）设为正实数，已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将拆分成，结合完全平方式和指数对数运算性质化简即可；（2），再结合立方差公式和平方和公式化简即可求解.【详解】（1） （2），，，所以.18.设.（1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由已知可得，对于一切实数恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论进行求解（2）由已知可得，，分、、、、共种情况讨论，分别求出不等式的解集.【小问1详解】解：不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立，当时，不等式可化为，不满足题意；当时，即，解得；综上可得. 【小问2详解】解：不等式等价于，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为；当时，不等式可化为，即，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为或；③当时，，不等式的解集为或.综上可得：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为或.19.已知函数．（1）若的值域为R，求实数m的取值范围；（2）若在内单调递增，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意能取内的一切值，故转化为函数的判别式大于等于0求解即可； （2）根据复合函数的单调性可得在内单调递减且恒正，再根据二次函数的性质求解即可.【小问1详解】由的值域为R，可得能取内的一切值，故函数的图象与x轴有公共点，所以，解得或．故实数m的取值范围为．【小问2详解】因为在内单调递增，所以在内单调递减且恒正，所以，解得．故实数m的取值范围为．20.随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.（1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度取值范围；（2）隧道内车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：）【答案】（1）车流密度的取值范围是（2）隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.【解析】【分析】（1）根据题意得，再根据分段函数解不等式即可得答案； （2）由题意得，再根据基本不等式求解最值即可得答案【小问1详解】解：由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），代入，解得，所以.当时，，符合题意；当时，令，解得，所以.所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是.【小问2详解】解：由题意得，当时，为增函数，所以，当时等号成立；当时，.当且仅当，即时等号成立.所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.21.已知函数定义域为，.（1）求关于的不等式的解集；（2）若存在两不相等的实数，使，且，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】(1)由题意可判断出为上的单调递增的奇函数，列出不等式组求解即可；(2)由题意可得，，令，则有以，将问题转化为存在实数，使在上成立，结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】解：因为，所以，所以为定义域上的奇函数，又因为，易知为单调递增函数，所以不等式等价于，解得，所以不等式的解集为：；【小问2详解】解：由(1)可知为上的单调递增的奇函数，又因为，所以，所以，因为， 又因为，所以，即，即有，令，由题意可得，设，则所以单调递增，所以，则有，即存在实数，使在上成立，所以只需即可，由二次函数的性质可得，只需或即可，即或，解得，所以实数的取值范围为.22.函数的定义域为，并满足以下条件：①对任意，有；②对任意，有；③.（1）求的值；（2）求证：在上是单调增函数；（3）若，且，求证：.【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据题中，，赋值，得到的值；（2）利用单调性的定义，结合赋值法，证明函数的单调性；（3）赋值得，，再用均值不等式可证明得.【详解】（1）令得：，因为，所以；（2）任取且，设，则因为，所以，所以在上是单调增函数；（3）由（1）（2）知，因为又，所以所以【点睛】本题考查了抽象函数的理解与应用，利用定义证明函数的单调性，赋值法的应用，基本不等式证明不等式，考查了学生分析理解能力，逻辑推理能力.