辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高一数学上学期12月月考试卷(Word版带答案)
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沈阳二中2022-2023学年度上学期12月月考高一(25届)数学试卷考试时间:120分钟试题满分:150分命题人:程林校对:孙健一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分1.已知集合,集合,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先化简集合A,B,再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合,集合,所以,故选:A2.某单位有职工人,其中青年职工人,中年职工人,老年职工人.为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为人,则样本容量为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】结合分层抽样方法求出青年职工的比例继而求出样本容量【详解】由题意得样本容量为故选:A3.一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球,从中随机摸出3个球,设事件“至少有2个黑球”,下列事件中,与事件互斥而不互为对立的是()A.都是黑球B.恰好有1个黑球C.恰好有1个红球D.至少有2个红球【答案】B
【解析】【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解即可.【详解】解:从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球,在中,至少有2个黑球和都是黑球能同时发生,不是互斥事件,故错误,在中,至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生,是互斥而不对立事件,故正确,在中,至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生,不是互斥事件,故错误,在中,至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生,是对立事件,故错误.故选:.4.考古科学家在测定良渚古城遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足(表示碳14原有的质量).经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至,据此推测良渚古城存在的时期距今约在______年到5730年之间,则“______”为(参考数据:)()A.4011B.3438C.2865D.2292【答案】A【解析】【分析】利用题目所给的衰变规律计算出的范围即可.【详解】由题可得,两边同取以2为底的对数,得,所以,则推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间.故选:A.5.在下列区间中,函数的零点所在的区间为()A.B.C.D.【答案】C【解析】
【分析】先判断函数在上单调递增,由,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数在上连续单调递增,且,所以函数零点在区间内,故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用,属于简单题.应用零点存在定理解题时,要注意两点:(1)函数是否为单调函数;(2)函数是否连续.6.设函数,若函数的最大值为-1,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求得时的值域,当时,根据二次函数图象与性质可得,根据题干条件,列出不等式,即可得答案.【详解】当时,为单调递减函数,所以当x=1时,,当时,,为开口向下,对称轴为x=-1的抛物线,所以当x=-1时,有最大值,由题意得,解得,故选:D7.已知函数有4个零点,则k的取值范围是()
A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将函数零点问题转化为曲线与直线的交点问题,如图分析临界直线,可得的取值范围.【详解】,即,函数表示恒过点的直线,如图画出函数,以及的图象,如图,有两个临界值,一个是直线过点,此时直线的斜率,另一个临界值是直线与相切时,联立方程得,,解得:,或,当时,切点是如图,满足条件,当时,切点是不成立,所以,如图,曲线与直线有4个交点时,的取值范围是.故选:B8.已知函数,若不等式(是自然对数的底数),对任意的恒成立,则整数的最小值是()A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】
【分析】先判断函数的单调性和奇偶性,再结合性质解不等式得到,只需要求二次函数的最大值,即解得的范围,再利用对数式比大小即得到整数的最小值.【详解】由指数函数性质知和在R上是递增函数,故在R上是递增函数.又,故是奇函数.故不等式即转化为:,即,故,所以,而对称轴为,根据二次函数对称性可知对任意的上,当时,,故,故,而,即,故整数的最小值是4.故选:C.【点睛】本题解题关键在于先判断函数的单调性和奇偶性,并结合性质化简恒成立式,再解决恒成立问题即可,解决恒成立问题的常用方法:①数形结合法:画图像,对关键点限制条件;②分离参数法:转化成参数与函数最值的关系;③构造函数法:转化成函数最值(含参数)的范围.二、多项选择题:本题共4小题,每题5分,共20分.每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9.某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为:2,6,8,3,3,4,6,8,关于该组数据,下列说法正确的是()A.中位数为3B.众数为3,6,8C.平均数为5D.方差为4.8【答案】BC【解析】【分析】根据中位数、众数、平均数以及方程的计算公式,即可容易选择.【详解】对数据2,6,8,3,3,4,6,8,按照从小到大排序即为,中间两个数字为:,故其中位数是,故错误;
显然数据均出现次,故众数为,则正确;又其平均数为,故正确;则其方差为:,故错误.故选:【点睛】本题考查一组数据众数、中位数、平均数以及方差的求解,属简单题.10.下列所给函数中值域为的是()A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】A.利用幂函数的性质判断;B.令,转化为指数函数判断;C.令,转化为对数函数判断;D.分和讨论求解判断.【详解】A.因为的定义域为,因为函数在上是减函数且为偶函数,所以其值域是,故正确;B.令,则,故错误;C.令,则,故错误;D.当时,,当时,,综上:,故正确;故选:AD11.下列判断不正确的是()A.函数在定义域内是减函数B.的单调减区间为(4,+∞)
C.已知,且,若恒成立,则实数m的取值范围是(-4,1)D.已知在R上是减函数,则a的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】根据函数单调性的性质、复合函数单调性、基本不等式、分段函数单调性进行判断即可.【详解】A:因为,显然不符合减函数的性质,所以A不正确;B:函数定义域满足所以定义域为,设在上单调递增,单调递增,由复合函数的单调性的单调增区间为(4,+∞),所以B不正确.C:因为,所以有,当且仅当时取等号,即当时取等号,要想恒成立,只需,故C正确;D:当时,是减函数,则,即,当时,是减函数,则,又因为函数在R上是减函数,还需要满足即,综上a的取值范围是,故D不正确.故选:ABD12.已知函数,使得“方程有6个相异实根”成立的充分条件是()A.B.
C.D.【答案】AD【解析】【分析】令.经过分析可得,要使方程有6个相异实根,则应满足方程有两个不同的解、,且满足,.结合,.即可得到,构造对勾函数,根据单调性即可得到,即可得到的范围,进而得到答案.【详解】令,方程可化为,该方程最多有两个解.当,即或时,方程有两个不同的解,设为、,则由韦达定理可得,.当时,在处有最大值1.作出的图象如下图.由图象可得,当时,与函数有3个交点,即方程有3个解.要使方程有6个相异实根,则应有,,且.又,.且,当且仅当时,等号成立.
因为,所以,即,所以.因为,,则,即,所以.又,所以.所以,令,根据对勾函数的性质可得,当时,函数单调递减;当时,函数单调递增.又,所以时,有恒成立,即.所以,即,则有.即“方程有6个相异实根”成立的充要条件是.所以,“方程有6个相异实根”成立的充分条件的范围应该为上述范围的子集.故选:AD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,,,则用“<”连接这三个数应为________.【答案】【解析】【分析】分别利用函数、、的单调性求出a、b、c的取值范围,进而得出结果.【详解】因为函数在上单调递增,且,所以,即;因为函数在R上单调递增,且-3.2<0,所以,即;因为函数在上单调递减,且6>1,所以,即,
故.故答案为:14.已知四个函数:①;②;③;④.从中任选2个,则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________【答案】【解析】【详解】由四个函数①;②;③;④,从中任选个函数,共有种,其中“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”共有①③、①④,共有种,所以“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.15.函数的最小值为__________.【答案】【解析】【详解】试题分析:所以,当,即时,取得最小值.所以答案应填:.考点:1、对数的运算;2、二次函数的最值.16.设函数的定义域为D,若函数满足条件:存在,使在上的值域是,则称为“双倍函数”,若函数为“双倍函数”.则实数t的取值范围是___.【答案】【解析】
【分析】根据题设条件可得的两个不同的解,利用对数的运算和换元法可得在上有两个不同的正数解,结合根分布可求参数的取值范围.【详解】因为为增函数,设此函数的值域为,则,而在上为增函数,故为上的增函数,由为“双倍函数”,故,故为方程的两个不同的解,故即方程有两个不同的解,设,则在上有两个不同的正数解,故,解得.故答案为:.四、解答题:本大题共6道小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知.(1)若p为真命题,求此不等式的解集;(2)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据分式不等式的求解方法,可得答案;(2)根据充分条件的集合表示形式,利用分类讨论,根据含参二次不等式,可得答案.【小问1详解】已知P为真命题,由,,可得,
所以.所以不等式的解集为.【小问2详解】因为p是q的充分条件,所以对应的集合是所对应集合的子集.q:,可得①当时,q:;因为对应的集合是所对应集合的子集,所以,可得.②当时,q:,所以不符合题意;③当时,q:;因为对应的集合是所对应集合的子集,所以,无解.所以m的取值范围为.18.(1)先后掷两个质地均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记事件A:两个骰子点数相同,事件B:点数之和小于7.求,;(2)某培训机构在假期招收了A,B两个数学补习班,A班10人,B班30人,经过一周的补习后进行了一次测试,在该测试中,A班的平均成绩为130分,方差为115,B班的平均成绩为110分,方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差.【答案】(1),;(2)平均分为115,方差为265.【解析】【分析】(1)求出试验样本空间,写出各个事件包含的基本事件,根据古典概型公式即可求出;(2)根据各层的平均数估计总体平均数,将总数求出来除以总人数即可得出.在求总体方差时,首先推出总体方差与各层方差、平均数之间的关系式,代入数据即可求得.【小问1详解】抛掷一枚骰子有6种等可能的结果,第一枚骰子的每一个结果都可与第二枚骰子的任意一个结果配对.用数字表示第一枚骰子出现的点数是,数字表示第一枚骰子出现的点数是,则数组表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间,其中共有36个样本点.由于骰子的质地均匀,所以各个样本点出现的可能性相等,因此这个试验是古典概型.
因为,所以,所以;因为,所以,所以.【小问2详解】A班学生成绩用来表示,B班学生成绩用来表示.设A班平均成绩为,方差为;B班平均成绩为,方差为.则,,,.全体学生的平均成绩为,全体学生的方差.由,可得.同理可得,.因此,.所以,全体学生的平均分为115,全体学生成绩的方差为265.19.已知函数f(x)=2x的定义域是[0,3],设g(x)=f(2x)-f(x+2),(1)求g(x)的解析式及定义域;(2)求函数g(x)的最大值和最小值.【答案】(1)g(x)=22x-2x+2,{x|0≤x≤1}.(2)最小值-4;最大值-3.【解析】
【详解】(1)f(x)=2x的定义域是[0,3],设g(x)=f(2x)-f(x+2),因为f(x)的定义域是[0,3],所以,解之得0≤x≤1.于是g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}.(2)设.∵x∈[0,1],即2x∈[1,2],∴当2x=2即x=1时,g(x)取得最小值-4;当2x=1即x=0时,g(x)取得最大值-3.20.为了选择奥赛培训对象,今年月我校进行一次数学竞赛,从参加竞赛的同学中,选取名同学将其成绩分成六组:第组,第组,第组,第组,第组,第组,得到频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题:(1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数;(2)从频率分布直方图中,估计第百分位数是多少;(3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级,其中成绩不小于分时为优秀等级,若从第组和第组两组学生中,随机抽取人,求所抽取的人中至少人成绩优秀的概率.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算可得结果;(2)首先确定第百分位数位于,设其为,由
可求得结果;(3)根据频率分布直方图计算出第五组和第六组的人数,利用列举法列举出所有可能的基本事件,并确定满足题意的基本事件个数,根据古典概型概率公式可求得结果.【小问1详解】由频率分布直方图可知平均数.【小问2详解】成绩在的频率为,成绩在的频率为,第百分位数位于,设其为,则,解得:,第百分位数为.【小问3详解】第组的人数为:人,可记为;第组的人数为:人,可记为;则从中任取人,有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共种情况;其中至少人成绩优秀的情况有:,,,,,,,,,,,,,,,共种情况;至少人成绩优秀的概率.21.已知函数为偶函数,且.(1)求值,并确定的解析式;(2)若(且),求在上值域.【答案】(1),;(2)当时,函数的值域为,当时,的值域为.【解析】【详解】试题分析:(1)因为,所以由幂函数的性质得,
,解得,因为,所以或,验证后可知,;(2)由(1)知,函数在上单调递增,故按,两类,利用复合函数单调性来求函数的值域.试题解析:(1)因为,所以由幂函数的性质得,,解得,因为,所以或,当时,它不是偶函数;当时,是偶函数;所以,;(2)由(1)知,设,则,此时在上的值域,就是函数的值域;当时,在区间上是增函数,所以;当时,在区间上是减函数,所以;所以当时,函数的值域为,当时,的值域为.考点:幂函数单调性,复合函数值域.【方法点晴】本题主要考查幂函数的单调性和复合函数单调性与值域的问题.根据题意,可以判断函数在上是单调递减的,所以幂函数的指数部分小于零,由此可以判断出可能的取值,然后逐一利用函数是偶函数来验证正确答案.第二问考查的是复合函数单调性,利用同增异减,可以快速判断函数的单调性,并由此求出最值.22.设函数,.(1)若函数有零点,求实数m的取值范围;(2)判断函数的奇偶性,并说明理由;(3)若存在不相等的实数a,b同时满足方程和
,求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)奇函数,理由见解析(3).【解析】【分析】(1)换元利用分析函数的零点问题即可.(2)先判断定义域关于原点对称,再计算即可证明为奇函数.(3)由(2)知为奇函数且,故可推导出,再根据代入换元求解即可.【详解】(1)令,则函数,又函数有零点令则因为,故,故(2)为奇函数.由定义域恒成立.且.即故为奇函数.(3)因为为奇函数,且在上为减函数,故为在上单调递减的奇函数.又,故又则,即所以.令,则,又当时不满足,故
又在上单调递增.故即【点睛】本题主要考查了换元法解决二次函数有关的复合函数问题,同时也考查了奇偶函数的判断与证明与奇偶性的运用等.属于难题.
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