北师大版九下数学2.5第2课时利用二次函数求方程的近似根教案

2.5二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数求方程的近似根1．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；(重点)2．进一步体会二次函数与一元二次方程的关系．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、情境导入你能根据函数y＝x2＋2x－5的图象(如图)，求出方程x2＋2x－5＝0的近似根吗(精确到0.1)?由图象知，抛物线与x轴有两个公共点，它们分别位于x轴上1和2、－4和－3之间，所以一元二次方程x2＋2x－5＝0有两个根，它们分别介于1和2、－4和－3之间．这两个根分别是1.5和－3.5吗？二、合作探究探究点：利用二次函数求方程的近似根【类型一】利用二次函数估算一元二次方程的近似根利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(精确到0.1)．解析：根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．解：方程x2－2x－1＝0根是函数y＝x2－2x－1与x轴交点的横坐标．作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间．先求－1和0之间的根，当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25.因此，x＝－0.4(或x＝－0.5)是方程的一个近似根．同理，x＝2.4(或x＝2.5)是方程的另一个近似根．方法总结：解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 【类型二】列表求一元二次方程的近似根下面表格列出了函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)部分x与y的对应值，那么方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是(　　)x6.176.186.196．20y－0.03－0.010.020.04A.6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20解析：由表格中的数据得，在6.17＜x＜6.20范围内，y随x的增大而增大，当x＝6.18时，y＝－0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是6.18＜x＜6.19，故选C.方法总结：利用抛物线的增减来确定抛物线与x轴交点的坐标的可能位置．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型三】利用图象求一元二次方程的近似根已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)A．x1≈－2.1，x2≈0.1B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9D．x1≈－3，x2≈1解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.方法总结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型四】利用二次函数和一次函数的图象求方程的根已知二次函数y＝2x2－2和函数y＝5x＋1.(1)你能用图象法求出方程2x2－2＝5x＋1的解吗？(2)请通过解方程的方法验证(1)问的解．解析：(1)根据函数图象的交点坐标是相应方程的解，可得答案；(2)根据因式分解，可得方程的解．解：(1)如图在平面直角坐标系内画出y＝2x2－2和函数y＝5x＋1的图象，如图所示： 图象交点的横坐标是－，3，故2x2－2＝5x＋1的解是x1＝－，x2＝3；(2)由(1)可知交点横坐标即为方程2x2－2＝5x＋1的解，化简得2x2－5x－3＝0，因式分解，得(2x＋1)(x－3)＝0.解得x1＝－，x2＝3，可知(1)中求得的解正确．方法总结：利用图象法求一元二次方程的近似根，图象交点的横坐标是方程的解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型五】二次函数与其他函数的综合利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝－x＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)填空：利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝________和直线y＝－x，其交点的横坐标就是该方程的解；(2)已知函数y＝－的图象(如图所示)，利用图象求方程－x＋3＝0的近似根(结果保留两个有效数字)．解析：(1)一元二次方程x2＋x－3＝0可以转化为x2－3＝－x，所以一元二次方程x2＋x－3＝0的解可以看成抛物线y＝x2－3与直线y＝－x交点的横坐标；(2)函数y＝－的图象与直线y＝－x＋3的交点的横坐标就是方程－x＋3＝0的近似根．解：(1)x2－3(2)图象如图所示： 由图象可得，方程－x＋3＝0的近似根为x1＝－1.4，x2＝4.4.方法总结：利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：(1)作出函数的图象，由图象确定方程的解的个数；(2)由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；(3)观察图象求得方程的近似根．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计利用二次函数求方程的近似根1．利用二次函数估算一元二次方程的近似根2．列表或利用图象求一元二次方程的近似根3．利用二次函数和一次函数的图象求方程的根在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题，给学生提供广阔的思考空间、活动空间，为学生搭建自主学习的平台；学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成和能力的培养相伴而行，创造“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界.