重庆市永川 2022-2023学年高三数学上学期期中考试试卷（Word版附解析）

重庆市永川北山中学校2022-2023学年度第一学期半期质量监测高2023级数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分1.如果，那么在复平面内，复数所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先计算出，然后判断其所在象限，即可求解【详解】由可得，复数所对应的点位于第四象限.故选：D2.已知集合，集合，则（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求解集合，再利用交集运算即可.【详解】解：由题得集合，所以.故选：B．3.“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出， 可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，则，解得：，当时，，，则，所以函数为奇函数，即充分性成立；“函数为奇函数”，则，即，解得：，故必要性不成立，故选：A．4.标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由等比数列的通项公式计算．【详解】设第行视标边长为，第行视标边长为，由题意可得，则，则数列为首项为，公比为 的等比数列，所以，则视力4.9的视标边长为，故选：D.5.在三棱锥，若平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积是（）A.100πB.50πC.144πD.72π【答案】A【解析】【分析】根据三棱锥的几何特征，可将三棱锥放于长方体内，三棱锥的外接球就是长方体外接球.【详解】如图，将三棱锥放于一个长方体内：则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，∴PB为三棱锥P－ABC外接球的直径，∵，∴外接球的表面积为：．故选：A.6.已知数列是公差不为零的等差数列，为等比数列，且，设，则数列的前10项和为（） A.1078B.1068C.566D.556【答案】A【解析】【分析】设公差为d，公比为q，由结合通项公式建立方程组解出d，q，即可分组利用求和公式求出结果【详解】设公差为d，公比为q，由题，，则，，联立可解得，，所以，，∴的前10项和为，故选：A7.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（）A.16B.25C.36D.49【答案】B【解析】【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为25.故选：B8.已知函数，且，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，则，然后判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可求.【详解】解：令，则，因为，，∴为奇函数，又因为，由函数单调性可知为的增函数，∵，则，∴，，∴，解得.故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.是两条不同的直线，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（）A.B. C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据线面、面面垂直与平行的判定定理及性质定理判定即可；【详解】解：对于A：由、，可得，又，所以，故A正确；对于B：由、，可得，又，则或，故B错误；对于C：由，则或，又，则或或与相交（不垂直）或，故C错误；对于D：由、，可得，又，所以，故D正确；故选：AD10.下列说法正确的是（）A.随机变量服从正态分布，若，则的值等于3.B.为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区、、、四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知、、、四校人数之比为7∶4∶3∶6，则应从校中抽取的样本数量为80C.已知变量、线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，，则D.箱子中有4个红球、2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件{第一次取到红球}，{第二次取到白球}，则、为相互独立事件【答案】BC【解析】【分析】利用正态分布的性质得到的值，利用抽样比即可判断从校中抽取的样本数量，根据线性回归直线过样本中心点，可得的值，根据相互独立性的定义即可作出判断.【详解】A.由正态分布的性质可得：，解得：，故选项A错误；B.由分层抽样的性质可得：应抽取人数为，故B正确； C.因为回归直线必过样本中心，所以，即，故C正确；D.由于第一次取到球不放回，因此会对第2次取球的概率产生影响，因此、不是相互独立事件，故D错误，故选：BC.11.已知直线与圆交于A，B两点，点M为圆C上的一动点，点，记M到l的距离为d，则（）A.B.d的最大值为C.是等腰三角形D.的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据垂径定理以及弦长公式，可得答案；对于B，根据题意作图，结合圆上点与直线的位置关系，可得答案；对于C，求弦的中垂线的直线方程，根据中垂线的性质，可得答案；对于D，由题意，作图，根据线段组合，求得答案.【详解】对于A，由圆，可得，半径为，点到直线的距离为，则，故A正确；对于B，由题意，可作下图：点为弦的中点，直线，则，故B错误；对于C，由选项B与题意，如下图： 易知，，则直线的斜率，由，则直线的斜率，由，则直线的方程为，则，即点在直线上，为的中垂线，是等腰三角形，故C正确；对于D，由题意，可作图：则，显然，则，故D正确；故选：ACD.12.已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是()A.当时，在单调递增B.当时，在处的切线方程为C.当时，在上至少有一个零点D.当时，在上不单调 【答案】ABD【解析】【分析】A．代入m＝1，求，根据指数函数和正弦函数在上的值域即可判断的正负，由此可判断f(x)在上的单调性；B﹒代入m＝1，求f(0)和，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程；C﹒代入m＝－1，求，令，求，根据在上的正负判断的单调性，根据单调性可判断其在上是否有零点；D﹒判断在，上的正负，由此判断的单调性，由此可判断在，上有零点，故可判断f(x)在，上不单调．详解】①当时，，，当x＞0时，＞1，－1≤sinx≤1，∴＞0，∴f(x)在上单调递增，故A正确；∵f(0)＝0，，∴在处的切线方程为y＝x，故B正确；②当m＝－1时，，，令，则，当x＞0时，＞1，－1≤cosx≤1，∴＞0，∴在上单调递增，∴当x≥0时，≥＝1，∴在上无零点，∴C错误；当，时，cosx＜0，＞0，∴＞0，∴在，单调递增，又，而，∴由零点存在定理可知，存在唯一，，使得，当，时，，单调递减，当，时，，单调递增， ∴在，上不单调，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.的展开式中的系数为__________.【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式的通项特点即可求解.【详解】的展开式中第四项为，故的系数为：，故答案为：14.设为单位向量，且，则________.【答案】【解析】【分析】先根据计算出的值，然后将先平方再开根号，结合的值计算出的结果.【详解】因为，所以，所以，所以，又因为，故答案为：.【点睛】方法点睛：已知，求解的方法：（1）先将平方然后开根号，得到，（2）代入的值，即可计算出的值. 15.值为_________.【答案】1【解析】【分析】把拆成，然后利用公式进行化简.【详解】因为，所以；故答案为：1.16.在平面直角坐标系中，过动点作圆A：的一条切线PQ，其中Q为切点，若，则的最大值为__________.【答案】##【解析】【分析】先求出点P轨迹方程，然后求出的最大值，由可得出答案.【详解】，设，则，化简得，故点P轨迹是以为圆心、为半径的圆，所以的最大值为由，则故最大值为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列满足，，的前项和为.（1）求数列的通项公式及前项和； （2）令，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）设公差为，由题可得，则，从而算出的通项公式及前项和；（2），采用裂项相消法求解.【详解】（1）设公差为，由得：，所以，则，所以，，所以，（2），【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）； （4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求角B；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据两角和的正弦公式化简，结合正弦定理边化角即可得，进而可求解，（2）根据三角形面积公式以及可得，由余弦定理可求，进而可得周长.【小问1详解】∵，∴，∴.由正弦定理得，，∴，∵，∴.【小问2详解】∵的面积为，即，得，∵，∴，∵，∴，∴，由余弦定理可得，∵，∴， ∴三角形的周长为.19.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，，，，E是PB的中点.（1）求证：平面PAD；（2）若，求三棱锥P-ACE的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，DF，利用平行四边形证明，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）根据等体积法知，即可由棱锥体积公式求解.【小问1详解】取PA的中点F，连接EF，DF，∵点E，F分别为PB，PA的中点，∴，，又∵，，∴，， ∴四边形EFDC是平行四边形，∴，又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD；【小问2详解】∵，，，∴，∵，又平面ABCD，∴，∴平面PAC，又点E为PB的中点，点E到平面PAC的距离为，..20.北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】（1）（2）分布列见解析，，甲 【解析】【分析】（1）根据独立重复事件的概率公式即可求解，（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，即可得分布列，通过比较甲乙两人闯关成功的概率大小，即可判断谁的成功的可能性更大.【小问1详解】乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则.【小问2详解】由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3，，，，，故X的分布列为X0123P所以.所以甲闯关成功的概率为，因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大.21.如图，已知函数的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于另一点，是的重心. （1）求；（2）求的外接圆的半径.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题中的条件确定点的坐标，进而根据三角函数的图象与解析式的关系求解；（2）求解相关的边和角，利用正弦定理求解.【详解】解：（1）∵是的重心，，∴，故函数的最小正周期为3，即，解得，又，且，∴.（2）由（1）知，∴，又，∴.∵是中点，∴， ∴，设为的外接圆的半径，则，∴的外接圆的半径等于.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质、正弦定理.掌握正弦函数性质提解题关键．22.已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为（2）【解析】【分析】（1）当时，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；（2）分、两种情况讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证在上能否成立，综合可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：当时，，，当时，，，所以，即在上单调递增，当时，，，所以，即在上单调递减，则的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】 解：因为，则，①当时，即时，因为，，，所以，因此函数在区间上单调递增，所以，不等式在区间上无解；②当时，即时，当时，，，因此，所以函数在区间上单调递减，，不等式在区间上有解．综上，实数的取值范围是．【点睛】方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤：（1）求函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调增区间；解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调减区间.