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浙江省台州山海协作体2022-2023学年高二数学上学期期中联考试卷(Word版附解析)
浙江省台州山海协作体2022-2023学年高二数学上学期期中联考试卷(Word版附解析)
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2022学年第一学期台州山海协作体期中联考高二年级数学学科试题一、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在直角坐标系中,直线的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】B【解析】【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出.【详解】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出.设直线的倾斜角为,.,.故选:B2.圆的圆心坐标和半径分别是()A.(-1,0),3B.(1,0),3C.D.【答案】D【解析】【分析】根据圆的标准方程,直接进行判断即可.【详解】根据圆的标准方程可得,的圆心坐标为,半径为,故选:D.3.从0,1,2,3,4这5个数字中,任取两个不同的数字排成1个两位数,则排成的数是奇数的概率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】列出所有可能组成的两位数,确定其中奇数的个数.【详解】总共有16个两位数,其中奇数有6个,所以概率为.故选:B【点睛】本题考查列举法求古典概型概率,属于基础题.4.已知实数m,则“”是“曲线表示椭圆”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据椭圆方程的特征,结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】曲线表示椭圆,则有且,所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件,故选:A5.在正方体中,P为中点,则直线PC与所成的角余弦值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系,根据向量的夹角即可求线线角.【详解】在正方体中,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则: ,故,因此,设直线PC与所成的角为,则,故选:D6.已知,,圆C:,若圆C上存在点M,使,则圆C的半径的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设,由得,即可知的轨迹为,要使圆上存在点,即圆与有交点,进而可得半径的范围.【详解】设,则,,∵,即,∴,即在以原点为圆心,半径为1的圆上,而圆的圆心为,半径为R,∴圆上存在点,即圆与有交点, ∴故选:A7.已知点P是棱长为1的正方体的底面上一点(包括边界),则的最大值为()A.B.C.1D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系,将向量,用坐标表示,计算数量积,求最大值.【详解】如图,以,,分别x,y,z轴建立空间直角坐标系,设点,,,则,,,当或,或时,最大,为1.故选:C.8.已知O为坐标原点,P是椭圆E:上位于x轴上方的点,F为右焦点.延长PO,PF交椭圆E于Q,R两点,,,则椭圆E的离心率为()A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】由椭圆的对称性,及,得四边形为矩形,设,利用椭圆的定义,及条件所给出的长度关系,可表示出,,,利用勾股定理,求出m,推断出点P的位置,求出离心率.【详解】如图,设左焦点为,连接,,,由题,,关于原点对称,所以四边形为平行四边形,又因为,所以四边形为矩形.设,则,又因为,则,,,在中,,即,解得或(舍去),故点P为椭圆的上顶点.由,所以,即,所以离心率.故选:B.【点睛】解题时注意数形结合,抓住椭圆的对称性,将图形关系用含a,b,c的代数式表示出来,即可求解离心率.二、多项选择题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2 分)9.已知直线l经过点和,则下列说法正确的是()A.直线l在两坐标轴上的截距相等B.直线l的斜率为1C.原点到直线l的距离为D.直线l的一个方向向量为【答案】BCD【解析】【分析】由直线l经过的两点坐标,可以求出直线的斜率,直线的方程,利用直线的方程判断选项的正误.【详解】直线l经过点和,所以直线的斜率,B正确,易得直线的方程为,即,令,得,即纵截距为1,令,得,即横截距为-1,A错误,原点到直线l的距离,C正确,因为,所以是直线l的一个方向向量.故选:BCD.10.设A,B为两个随机事件,若,,下列命题中,正确的是()A.若A,B为互斥事件,B.C.若,则A,B为相互独立事件D.若A,B为相互独立事件,则【答案】AC【解析】 【分析】根据互斥事件的概率公式,结合相互独立事件的概率公式进行判断即可.【详解】若A,B为互斥事件,,所以选项A正确;若时,,所以选项B不正确;因为,所以选项C正确;若A,B为相互独立事件,,所以选项D不正确,故选:AC11.设椭圆的右焦点为F,直线l:与椭圆交于A,B两点,则下列说法正确的是()A.为定值B.△ABF的周长的取值范围是C.当时,△ABF为直角三角形D.当时,则椭圆上到直线l的距离等于的点有三个【答案】ABD【解析】【分析】根据椭圆的定义,结合椭圆的性质逐一判断即可.【详解】设椭圆的左焦点为,点A在第一象限,根据椭圆的对称性可知:,所以,因此选项A正确;△ABF的周长为,把代入椭圆方程中,得,所以,因为, 所以,因此△ABF的周长的取值范围是,所以选项B正确;当时,,得,即,,显然不是直角,因为,所以不是直角,因此△ABF不是直角三角形,所以选项C不正确;当时,,得,而椭圆的上顶点到直线的距离也是,所以椭圆上到直线l的距离等于的点有三个,因此选项D正确,故选:ABD【点睛】关键点睛:利用椭圆的定义和对称性是解题的关键.12.如图,若正方体的棱长为1,点M是正方体的侧面上的一个动点(含边界),P是棱的中点,则下列结论正确的是()A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为B.若保持,则点M在侧面内运动路径的长度为C.三棱锥的体积最大值为D.若点M在上运动,则到直线PM的距离的最小值为【答案】ABC 【解析】【分析】A选项,把两个平面展开到同一平面内,利用两点之间,线段最短进行求解,注意展开方式可能有多种;B选项,找到点在侧面内的运动轨迹是圆弧,再求解弧长;C选项,利用等体积法和建立空间直角坐标系,求出的最大值,即为最大值;D选项,在空间直角坐标系中利用点与线距离公式即可判断该选项.【详解】对于A,将平面与平面展开到同一平面内,连接AP,此时,也可将平面ABCD与平面展开到同一平面内,此时,,故A正确;对于B,取DD1中点E,连EM,PE,如图,因是正方体的棱中点,则PE//CD,而CD⊥平面ADD1A1,则有PE⊥平面ADD1A1,平面ADD1A1,于是得PE⊥EM,由,PE=1得,EM=1,因此,点在侧面内运动路径是以E为圆心,1为半径的圆在正方形内的圆弧,如图,圆弧所对圆心角为,圆弧长为B正确;对于C,连接,,,,,,则,所以 ,以D为坐标原点,分别以DA,DC,所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则,,,设,(,),设平面的法向量为,则,令,得:,所以,设到平面的距离为,则,故当,时,取得最大值,为,此时三棱锥体积最大,,C正确;对于D,正方体的棱长为1,为的中点,点M在上运动,设,可得,,,,,,可得,得,,,由图可见,明显地,当与重合时,必有到直线PM的距离的最小,此时,,故,设直线与直线的夹角为,可得,则,故到直线PM的距离的最小值为,故D选项错误; 故选:ABC三、填空题:(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.设空间向量,,若,则___________.【答案】5【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为,所以,故答案为:14.已知点,圆C:,若过点M的直线l与圆C相切,则直线l的方程为___________.【答案】或【解析】【分析】考虑直线斜率存在和不存在两种情况,根据点到直线的距离等于半径计算即可.【详解】圆C:,圆心为,半径,当直线斜率不存在时,设,此时,满足;当直线斜率存在时,设,即,,解得,故直线方程为,即.综上所述:或; 故答案为:或15.如图所示,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱,且,N是CM的三等分点(靠近M点),则BN的长为___________.【答案】【解析】【分析】用表示出,求向量的模.【详解】,则,则所以,所以,BN的长为故答案为:.16.已知椭圆C:的左、右焦点分别为、,M为椭圆C上任意一点,N为圆E:上任意一点,则的取值范围为___________. 【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义,结合椭圆和圆的几何性质进行求解即可.【详解】如图,由为椭圆上任意一点,则,又为圆上任意一点,则(当且仅当M、N、E共线时取等号),∴,当且仅当M、N、E、共线时等号成立.∵,,则,∴的最小值为,当共线时,最大,如下图所示:,最大值为,所以取值范围为,故答案为:【点睛】关键点睛:运用椭圆的定义和椭圆、圆的几何性质是解题的关键. 四、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17已知直线:与:相交于点P.(1)若直线l过点P并且与直线:垂直,求直线l方程;(2)若直线l过点P并且与直线:平行,求直线l方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)联立方程,求交点,根据两直线垂直,求得斜率,可得答案;(2)由(1)可得交点的坐标,根据两直线平行,求得斜率,可得答案.【小问1详解】解方程组,解得,因为,直线l与垂直,所以,l的方程为,整理可得.【小问2详解】由(1)可得,因为,直线l与平行,所以,l的方程为,整理可得:.18.如图,在边长为2的正方体中,E为的中点. (1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定定理,结合平行四边形的判定定理和性质进行证明即可;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】在正方体中,且,且,∴且,所以,四边形为平行四边形,则,∵平面,平面,∴平面;【小问2详解】以点A为坐标原点,AD、AB、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则、、、,,,设平面的法向量为,由,得,令,则,,求得平面平面的法向量, 又∵,∴,∴直线与平面所成角的正弦值为.19.甲、乙两人组成“星队”参加猜谜游戏,每轮活动由甲乙各猜一次,已知甲猜对的概率为,乙猜对的概率为,甲乙猜对与否互不影响,每轮结果也互不影响.(1)求“星队”第一轮活动中只有1人猜对的概率;(2)求“星队”在两轮活动中恰好猜对3人次的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)只有1人猜对,意味着结果为一对一错,分情况用相互独立事件的乘法公式计算相加即可;(2)首先分析得到两轮恰好猜对3人次的所有情况,对每种情况用相互独立事件的乘法公式计算,将结果相加.【小问1详解】设甲猜对为事件A,乙猜对为事件B,(1)事件表示“星队”第一轮活动中只有1人猜对,且事件与互斥,则,∴,即“星队”第一轮活动中只有1人猜对的概率为.【小问2详解】“星队”在两轮活动中恰好猜对3人次可用事件来表示,并且、、、两两互斥, 即,“星队”在两轮活动中恰好猜对3人次的概率为.20.已知直线l:与圆C:交于A、B两点.(1)若时,求弦AB的长度;(2)设圆C在点A处的切线为,在点B处的切线为,与的交点为Q.试探究:当m变化时,点Q是否恒在一条定直线上?若是,请求出这条直线的方程;若不是,说明理由.【答案】(1);(2)当m变化时,点Q恒在直线上.【解析】【分析】(1)根据圆的弦长公式进行求解即可;(2)根据圆的切线性质进行求解即可.【小问1详解】,圆心,半径,点C到直线的距离,∴;【小问2详解】设点,由题意得:Q、A、B、C四点共圆,且圆的方程为:,即,与圆C的方程C:联立,消去二次项得:,即为直线l的方程,因为直线l:过定点,所以,解得:, 所以当m变化时,点Q恒在直线上.21.如图,在四棱台中,底面ABCD是正方形,若,,.(1)证明:平面;(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)由已知得,,只需在证即可;(2)由(1)结论,可以得出面面垂直.作,只要证明,即可说明为二面角的平面角,解三角形即可求出.【小问1详解】在梯形中,过点作于M,过点作于N设,则,由得,解得,∴,即 ∵,,平面,平面,∴平面【小问2详解】由底面ABCD是正方形,则,由(1)知:面面ABCD,面面,而面ABCD,所以面,过D作于G,连接AG,则面ADG,故面面,面面,面,所以面ADG,又面ADG,则,因此为二面角的平面角,在中,,,则,所以,即平面与平面夹角的余弦值为.22.已知椭圆C:离心率为,焦距为.(1)求椭圆C的标准方程; (2)设不过原点O的直线与椭圆C交于A,B两点,且,求△OAB面积的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据椭圆离心率公式,结合椭圆焦距公式进行求解即可;(2)利用椭圆弦长公式,结合三角形面积公式进行求解即可.【小问1详解】∵,,∴∴,∴椭圆方程为:;【小问2详解】由题意得,设直线方程为(,),,,消y得则,,∵,∴,即,所以,即,∵,∴又∵∴且 设原点到直线的距离为,,∴∴.【点睛】关键点睛:利用一元二次方程根与系数关系求椭圆弦长是解题的关键.
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高中 - 数学
发布时间:2023-02-13 10:24:04
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