浙江省浙南名校联盟2022-2023学年高一数学上学期期中联考试卷（Word版附解析）

2022-2023学年浙南名校联盟高一年级第一学期数学学科期中联考一、单选题1.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交并补运算法则即可求解.【详解】，，，又，故选：B.2.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】对数型函数的定义域只需要真数大于0，解出即可【详解】由，即，解得，即函数的定义域为：故选：A.3.已知幂函数在上单调递增，则实数a的值为（）A.B.3C.或3D.不存在【答案】B【解析】【分析】根据幂函数定义得到，解方程并验证单调性得到答案.【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 又因为在上单调递增，不满足，所以故选：B.4.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据指数幂的运算，幂函数及对数函数的性质即得.【详解】，，，，，又，故选：C.5.函数的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数图象的运用，先根据函数的奇偶性，排除选项，在利用特殊值排除选项C即可求解.【详解】依题意可知：函数的定义域为，定义域关于原点对称，又因为，所以函数为偶函数，故排除; 又当时，，故排除C，故选：A.6.已知，则满足关于x方程的充要条件是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】由题可知，构造函数，根据二次函数性质可得当时函数取得最大值，进而即得.【详解】由于，令函数，此时函数对应的开口向下，当时，取得最大值，因为满足关于x的方程，即，所以，所以，.故选：D.7.如图（俯视图），学校决定投资12000元在风雨操场建一长方体状体育器材仓库，利用围墙靠墙角（直角）而建节省成本（长方体一条长和一条宽靠墙角而建），由于要求器材仓库高度恒定，不靠墙的长和宽所在的面的建造材料造价每米100元（不计高度，按长度计算），顶部材料每平方米造价300元.在预算允许的范围内，仓库占地面积最大能达到平方米（）A.32B.36C.38D.40【答案】B【解析】【分析】设出仓库不靠墙的长为x米，宽为y米，得到 ，由基本不等式求出，从而得到，得到正确答案.【详解】设仓库不靠墙的长为x米，宽为y米，，，则，整理得，，，∴由基本不等式可得，，，解得：，故，当且仅当时等号成立，所以仓库占地面积最大能达到平方米.故选：B8.已知a，b，，函数，，对任意的，，，两两相乘都不小于0，且，则一定有（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得到，，的零点相同，再判断，，恒成立得到，根据条件依次判断每个选项得到答案.【详解】对任意的，，，两两相乘都不小于0，故，，的零点相同，设为，恒成立，，故，解得，故，即，，故，，，A错误；，B错误；，C错误，，D正确.故选：D. 【点睛】本题参考了指数函数，对数函数，二次函数的综合，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定函数有相同的零点，通过计算放缩是解题的关键.二、多选题9.已知a，b，，若，则（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据得到，从而判断AB选项；作差法比较大小，得到C正确；D选项可举出反例.【详解】对于A，由，得，，所以，故A正确；对于B，因为，所以，故B错；对于C，因为，所以，故，C正确，对于D，当为0时，，D错误.故选：AC10.对于集合，定义，且，下列命题正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，，或，则D.若，，则，或【答案】ABC【解析】【分析】根据集合新定义即，且，一一判断各选项，可得答案.【详解】因为，且，所以若，则，故A正确，若，则,则，故B正确;，，或，则，故C正确， 若，，则，，或，故D错误.故选：ABC11.已知函数，，下列成立的是（）A.若是偶函数，则B.的值域为C.在上单调递减D.当时，方程都有两个实数根【答案】ACD【解析】【分析】对于A选项，由偶函数定义可得答案.对于B选项，因，则.对于C选项，由复合函数单调性可得答案.对于D选项，结合单调性可画出大致图像，方程根的个数即是与图像交点个数.【详解】对于A选项，由于是偶函数，则即可得，故A正确.对于B选项，注意到，又在R上单调递增，则值域为，故B错误.对于C选项，由B选项可知，在上单调递减，又在R上单调递增，由复合函数单调性“同增异减”可知，在上单调递减，故C正确.对于D选项，由选项B，C可知，在上单调递增，在上单调递减，据此可画出大致图像如下，由图可知图像最高点所对应的纵坐标为.则当时，与图像交点个数为2，即方程都有两个实数根，故D正确.故选：ACD 12.存在函数满足：对于任意都有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据函数的定义判断各选项的对错.【详解】对于A，令，得，令，得，不符合函数的定义，故A错误;对于B，符合题意，故B正确;对于C，令，则，故C正确;对于D，当时，函数无意义，故D错误.故选：BC.三、填空题13.__________【答案】2【解析】【分析】根据分数指数幂运算法则和对数运算法则进行计算.【详解】故答案为：2.14.不等式的解集是__________ 【答案】【解析】【分析】不等式转化为，再解不等式得到答案。【详解】原不等式可化为，即，解得故答案为：15.若，则的最小值是__________【答案】【解析】【分析】将变形，得到，利用基本不等式“1”的妙用，求解最小值.【详解】因为，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立.故答案为：.16.函数，，最大值为，则的最小值是__________【答案】4【解析】【分析】变换得到，计算，，考虑，，， 四种情况，根据函数单调性分别函数最值得到答案.【详解】，，函数在上单调递减，在上单调递增，故，设，，，当，即时，函数在上单调递增，，则，当，即时等号成立，；当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增.，则；当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，，则；当，即时，函数在上单调递减，，则；综上可知故答案为：4【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，双勾函数性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论求最值是解题的关键.四、解答题17.已知集合，（1）若，求（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出集合，代入得出集合，根据集合的并集运算即可；（2）根据，可得，结合子集关系分类讨论即可求得实数m取值范围.【小问1详解】解：若，则【小问2详解】解：若，则，当时，，则，当时，可得，解得，综上所述，m的取值范围是.18.已知函数（1）判断函数在定义域上的单调性，并用定义证明;（2）若对，都有恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）在R上单调递增，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据定义证明单调性步骤证明即可；（2）分离函数得，，由此可确定恒成立，即可得实数t的取值范围.【小问1详解】解：在上单调递增.证明：，，且，，，， ，所以，因此，在R上单调递增.【小问2详解】解：，当时恒成立，19.已知函数是定义在上的奇函数，当（1）求函数的解析式;（2）解不等式【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由是奇函数，，以及，求解即可；（2）转化为，结合函数单调性以及函数定义域，列出不等式求解即可.【小问1详解】由题意当时，，故又是奇函数，所以，所以【小问2详解】又是奇函数，所以由都为上的增函数，故在上递增，又是奇函数，，故是上的增函数 不等式的解集为20.平阳木偶戏又称傀偏戏、木头戏，是浙江省温州市的传统民间艺术之一.平阳木偶戏是以提线木偶为主，活跃于集镇乡村、广场庙会，演绎着古今生活百态.其表演形式独特，活泼多样，具有浓厚的地方色彩和很高的观赏性与研究价值.现有一位木偶制作传人想要把一块长为4dm（dm是分米符号，宽为3dm的矩形木料沿一条直线MN切割成两部分来制作不同的木偶部位.若割痕线段将木料分为面积比为的两部分含点A的部分面积不大于含点C的部分面积，M，N可以和矩形顶点重合，有如下三种切割方式如图：①点在线段AB上，N点在线段AD上;②点在线段AB上，N点在线段DC上;③点在线段AD上点在线段BC上.设dm，割痕线段的长度为ydm，（1）当时，请从以上三种方式中任意选择一种，写出割痕MN的取值范围无需求解过程，若写出多种以第一个答案为准（2）当时，判断以上三种方式中哪一种割痕MN的最大值较小，并说明理由.【答案】（1）选①：，选②：，选③：（2）方式②割痕MN的最大值较小，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题干要求，无需求解过程，故当时，直接对其中的某一个求解即可；（2）当时，逐个对以上三种切割方式进行计算，方能判别三种切割方式中哪一种割痕MN的最大值较小.【小问1详解】选①：，选②：，选③：【小问2详解】选①：令，则，，， ，时，为减函数，时，为增函数，当时，，当时，，选②：令，则，，，，时，为减函数，时，为增函数，当或时，选③：令，则，，， ，时，为减函数，时，为增函数，当或时，，综上所述，方式②割痕MN的最大值较小，值为21.已知，函数（1）若关于x的方程的解集中恰有一个元素，求a的值;（2）设，若对任意，函数在区间的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）代入解析式表示出方程并化简，对二次项系数分类讨论与，即可确定只有一个元素时的值；（2）由题可知函数在区间上单调递增，进而可得，然后通过换元法及函数的单调性求函数的最值，即得．【小问1详解】由题可知有且仅有一解，所以有且仅有一解，等价于有且仅有一解，当时，可得，经检验符合题意； 当时，则，解得，再代入方程可解得，经检验符合题意；综上所述，或；【小问2详解】当时，，，所以在上单调递增，因此在上单调递增，故只需满足，即，所以，即，设，则，，当时，，当时，，又对勾函数在单调递减，所以，故，所以，，所以a的取值范围为22.已知函数，.（1）若，求函数在上的最小值的解析式;（2）若对任意，都有，求实数m的取值范围. 【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据题意可得，对进行分类讨论，结合分段函数的单调性即可得函数在上的最小值的解析式；（2）由题可得，则可确定为上的奇函数，结合函数的奇偶性与二次函数的性质即可求对任意恒成立时，实数m的取值范围..【小问1详解】若，则，①当时，在单调递减，的最小值为，②当时，在单调递减，在单调递增，的最小值为，③当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减，的最小值为，由得，，解得，所以，当时，的最小值为，当时，的最小值为 综上所述，的最小值为：.【小问2详解】显然，且为上奇函数，①当时，为上的增函数，此时恒有，符合题意；②当时，令得：，所以，解得：，或者舍去；（i）时，，，，又，所以，令，则，，所以当，即，恒成立，当时，只要，得，所以；（ii）时，，，，，显然恒成立!综上所述，m的取值范围为或.