重庆市部分区2021-2022学年高二数学上学期期末联考试卷（Word版附解析）

重庆市部分区2021-2022学年度第一学期期末联考高二数学试题卷注意事项：1.考试时间：120分钟，满分：150分，试题卷总页数4页.2.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷､草稿纸上答题无效.3.需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑，需要书写的地方一律用0.5mm签字笔.4.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1.若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得倾斜角的正切值即得．【详解】k=tan120°=.故选：B．2.是椭圆的焦点，点在椭圆上，点到的距离为1，则到的距离为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义直接求解【详解】由题意得，得，因为，，所以， 故选：C3.已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则的值为（）A.B.C.4D.【答案】A【解析】【分析】由，可得，再计算即可求解.【详解】由题意可知，所以，即.故选：A4.某工厂去年的电力消耗为千瓦，由于设各更新，该工厂计划每年比上一年的电力消耗减少，则从今年起，该工厂第5年消耗的电力为（）A.m千瓦B.m千瓦C.m千瓦D.m千瓦【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的定义进行求解即可.【详解】因为去年的电力消耗为千瓦，工厂计划每年比上一年的电力消耗减少，所以今年的电力消耗为，因此从今年起，该工厂第5年消耗的电力为，故选：D5.在正方体中，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】因为，而，所以有，故选：A6.等差数列中，为其前项和，，则的值为（）A.13B.16C.104D.208【答案】D【解析】【分析】利用等差数列下标的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】由，所以，故选：D7.直线平分圆的周长，过点作圆的一条切线，切点为，则（）A.5B.C.3D.【答案】B【解析】【分析】根据圆的性质，结合圆的切线的性质进行求解即可.【详解】由，所以该圆的圆心为，半径为，因为直线平分圆的周长，所以圆心在直线上，故，因此，，所以有，所以，故选：B 8.如图，过拋物线的焦点的直线与拋物线交于两点，与其准线交于点（点位于之间）且于点且，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题可得，然后结合条件可得，即求.【详解】设于点，准线交轴于点G，则，又，∴，又于点且，∴BE∥AD， ∴，即，∴，∴等于.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在四面体中，，则以下选项正确有（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据空间向量坐标表示公式、空间向量模的坐标表示公式、空间向量垂直的性质和数量积坐标公式逐一判断即可.【详解】A：因为，所以本选项正确；B：因为，，所以有，，因此本选项正确；C：因为，，所以有，因此本选项不正确；D：因为，，所以，因此本选项不正确， 故选：AB10.对于直线.以下说法正确的有（）A.的充要条件是B.当时，C.直线一定经过点D.点到直线的距离的最大值为5【答案】BD【解析】【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.【详解】当时，解得或，当时，两直线为，符合题意；当时，两直线为，符合题意，故A错误；当时，两直线为，，所以，故B正确；直线即直线，故直线过定点，C错误；因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，故D正确，故选：BD.11.椭圆的离心率为，短轴长为，则（）A.椭圆的方程为 B.椭圆与双曲线的焦点相同C.椭圆过点D.直线与椭圆恒有两个交点【答案】ACD【解析】【分析】根据椭圆离心率公式、短轴长定义，结合双曲线焦点公式、代入法、直线点斜式方程的性质逐一判断即可.【详解】因为椭圆短轴长为，所以有，而椭圆的离心率为，所以，所以可得：..A：因为，所以该椭圆的标准方程为：，因此本选项正确；B：由，该双曲线的焦点在纵轴上，而椭圆的焦点在横轴，所以本选项说法不正确；C：因为，所以点在该椭圆上，因此本选项说法正确；D：直线恒过点，而，所以点在椭圆内部，因此直线与椭圆恒有两个交点，所以本选项说法正确，故选：ACD12.若数列满足的前项和为，下列结论正确的有（）A.B. C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据递推公式可以判断该数列奇数项和偶数项的性质，结合性质逐一判断即可.【详解】因为，所以当时，有，得：，因为，所以，由可知：该数列奇数项是以2为首项，公差为3的等差数列，该数列偶数项是以1为首项，公差为3的等差数列，A：因为，所以本选项结论正确；B：因为，所以本选项结论正确；C：因为，所以本选项结论不正确；D：因为，所以本选项结论正确，故选：ABD【点睛】关键点睛：利用等差数列的性质进行判断是解题的关键.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为__________.【答案】【解析】【分析】由中点坐标公式和斜率公式可得的中点和直线斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程，化为一般式即可．【详解】由中点坐标公式可得，的中点为， 可得直线的斜率为，由垂直关系可得其垂直平分线的斜率为，故可得所求直线的方程为：，化为一般式可得故答案为：14.已知数列的前项和，则该数列的首项__________，通项公式__________.【答案】①.；②..【解析】【分析】空一：利用代入法直接进行求解即可；空二：利用之间的关系进行求解即可.【详解】空一：；空二：当时，，显然不适合上式，所以，故答案为：；15.双曲线的左顶点为，虚轴的一个端点为，右焦点到直线的距离为，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】 【分析】根据双曲线左顶点和虚轴端点的定义，结合点到直线距离公式、双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】不妨设在纵轴的正半轴上，由双曲线的标准方程可知：，右焦点的坐标为，直线的方程为：，因为右焦点到直线的距离为，所以有，即双曲线的离心率为，故答案为：16.如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，分别为的中点，连接，则点到平面的距离为__________.【答案】【解析】【分析】利用转化法，根据线面平行的性质，结合三棱锥的体积等积性进行求解即可.【详解】设是的中点，连接，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因此点到平面的距离等于点到平面的距离，设为，因为平面，所以，，于是有， 底面为矩形，所以有，，因为平面，所以，于是有：，由余弦定理可知：，所以，因此，，因为，所以，故答案为：四､解答题：本题共有6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 17.等差数列的前项和记为，已知.（1）求的通项公式：（2）求，并求为何值时的值最大.【答案】（1）；（2）当或时，的值最大.【解析】【分析】（1）根据等差数列前项和公式，结合等差数列的通项公式进行求解即可；（2）根据等差数列的性质进行求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，所以有，即；【小问2详解】由（1）可知，所以该数列是递减数列，而，当时，解得：，因此当或时，的值最大.18.圆心在轴正半轴上､半径为2的圆与直线相交于两点且.（1）求圆的标准方程；（2）若直线，圆上仅有一个点到直线的距离为1，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或. 【解析】【分析】（1）根据圆的弦长公式进行求解即可；（2）根据平行线的性质，结合直线与圆的位置关系进行求解即可.小问1详解】因为圆的圆心在轴正半轴上､半径为2，所以设方程为：，圆心，设圆心到直线的距离为，因为，所以有，或舍去，所以圆的标准方程为；【小问2详解】由（1）可知：，圆的半径为，因为直线，所以设直线的方程为，因为圆上仅有一个点到直线的距离为1，所以直线与该圆相离，当两平行线间的距离为，于是有：，当时，圆心到直线的距离为：，符合题意；当时，圆心到直线的距离为：：，不符合题意，此时直线的方程为.当两平行线间的距离为，于是有：， 当时，圆心到直线的距离为：，不符合题意；当时，圆心到直线的距离为：：，不符合题意，此时直线的方程为.故直线方程为或.19.双曲线的离心率为，虚轴的长为4.（1）求的值及双曲线的渐近线方程；（2）直线与双曲线相交于互异两点，求的取值范围.【答案】（1），，双曲线的渐近线方程为和；（2）.【解析】【分析】（1）根据双曲线的离心率公式，结合虚轴长的定义进行求解即可；（2）将直线方程与双曲线方程联立，利用方程解的个数进行求解即可.【小问1详解】因为双曲线的离心率为，所以有，而该双曲线的虚轴的长为4，所以，所以，因此双曲线的浙近线方程为：或；【小问2详解】由（1）可知：，，所以该双曲线的标准方程为：，与直线联立得：，因为直线与双曲线相交于互异两点， 所以有：且，所以的取值范围为：.20.如图，在四棱锥中，，为的中点，连接.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明过程见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为为的中点，所以，而，所以四边形是平行四边形，因此，因为，，为的中点，所以，，而，因为，所以，而平面， 所以平面；【小问2详解】根据（1），建立如图所示的空间直角坐标系，，于是有：，则平面的法向量为：，设平面的法向量为：，所以，设平面与平面的夹角为，所以.21.已知等差数列满足：成等差数列，成等比数列.（1）求的通项公式：（2）在数列的每相邻两项与间插入个，使它们和原数列的项构成一个新数列，数列的前项和记为，求及.【答案】（1）； （2），.【解析】【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；（2）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的前项和公式进行求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为成等差数列，所以有，因成等比数列，所以，所以；【小问2详解】由题意可知：在和之间插入个，在和之间插入个，，在和之间插入个，此时共插入的个数为：，在和之间插入个，此时共插入的个数为：，因此.22.椭圆的左､右焦点分别为，短轴的一个端点到的距离为，且椭圆过点过且不与两坐标轴平行的直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称.（1）求椭圆的方程 （2）当直线的斜率为1时，求的面积；（3）若点，求证：三点共线.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知求出即得椭圆的方程；（2）联立直线和椭圆的方程求出弦长和三角形的高即得解；（3）联立直线和椭圆的方程，得到韦达定理，再利用平面向量证明.【小问1详解】解：由题得，所以椭圆方程为，因为椭圆过点所以，所以所以椭圆的方程为.【小问2详解】解：由题得,所以直线的方程为即，联立直线和椭圆方程得，所以,点到直线的距离为.所以的面积为.【小问3详解】解：设直线的方程为， 联立直线和椭圆的方程得，设，所以，由题得，，所以，所以，所以,又有公共点,所以三点共线.