浙江省湖州市2021-2022学年高二数学上学期期末调研测试试卷（Word版附解析）

2021学年第一学期期末调研测试卷高二数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据空间里面点关于面对称的性质即可求解.【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是.故选：C.2.已知等比数列的公比为正数，且，，则（）A.4B.2C.1D.【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为（），则由已知条件列方程组可求出【详解】设等比数列的公比为（），由题意得，且，即，，因为，所以，，故选：D 3.已知椭圆的右焦点为，则正数的值是（）A.3B.4C.9D.21【答案】A【解析】分析】由直接可得.【详解】由题知，所以，因为，所以.故选：A4.已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（）.A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.【详解】，，因为与互相垂直，所以，所以，所以.故选：D.5.设是数列的前项和，已知，则数列（）A.是等比数列，但不是等差数列B.是等差数列，但不是等比数列C.是等比数列，也是等差数列D.既不是等差数列，也不是等比数列【答案】B 【解析】【分析】根据与的关系求出通项，然后可知答案.【详解】当时，，当时，，综上，的通项公式为，数列等差数列同理，由等比数列定义可判断数列不是等比数列.故选：B6.已知圆与直线，则圆上到直线的距离为1的点的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据圆心到直线的距离即可判断.【详解】由得，则圆的圆心为，半径，由，则圆心到直线的距离，∵，∴在圆上到直线距离为1的点有两个.故选：B.7.在棱长为1的正四面体中，点满足 ，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件确定点M，N的位置，再借助空间向量数量积计算作答.【详解】因，则，即，而，则共面，点M在平面内，又，即，于得点N在直线上，棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心，因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点，，而，，所以.故选：A8.已知双曲线，过其右焦点作渐近线的垂线，垂足为，延长交另一条渐近线于点A.已知为原点，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】画出图象，结合渐近线方程得到，，进而得到 ，结合渐近线的斜率及角度关系，列出方程，求出，从而求出.【详解】渐近线为，如图，过点F作FB垂直于点B，交于点A，则到渐近线距离为，则，又，由勾股定理得：，则，又，，所以，解得：，所以.故选：C二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线，其中，下列说法正确的是（）A.若直线与直线平行，则B.当时，直线与直线垂直 C.直线过定点D.当时，直线在两坐标轴上的截距相等【答案】BC【解析】【分析】根据直线方程的相关性质即可逐项求解.【详解】对于A项，若直线与直线平行，则或1，故A错误；对于B项，当时，直线为，斜率为1，而直线斜率为－1，∴两条直线垂直，故B正确；对于C项，恒成立时，令y＝0，得x＝1，即直线过定点(1，0)，故C正确；对于D项，当时，直线为，令，令，所以横截距和纵截距互为相反数，故D错误.故选：BC.10.已知圆的半径为定长，A是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（）A.点的轨迹可能是椭圆B.点的轨迹可能是双曲线的一支C.点的轨迹可能是抛物线D.点的轨迹可能是一个定点【答案】ABD【解析】【分析】根据点A的位置分类讨论其轨迹. 【详解】①当点A在圆内时，且不为圆心连接，由已知得.∴.又∵点在圆内，∴，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆，故A正确；②当点A在圆上时，点与圆心重合，轨迹为定点，故D正确；③点在圆外时， 连接QA，由已知得.∴|，又∵A在圆外，∴|，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，为实轴长的双曲线的一支(靠近O)，故B正确；④当点与圆心重合时，点的轨迹为圆；故选：ABD.11.如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱彼此的夹角都是60°，且棱长均为1，则下列选项中正确的是（）A.B.C.直线与直线所成角的正该值是D.直线与平面所成角的正弦值是【答案】AB 【解析】【分析】根据空间向量基本定理，将所求转化为基底进行运算即可.【详解】记，则因为，所以，故A正确；因为，故B正确；因为，，，所以，所以，故C不正确；易知，又，所以为平面的法向量，记直线与平面所成角为，则，故D不正确.故选：AB12.设是等差数列的前项和，若，且，则下列选项中正确的是（）A.B.和均为的最大值C.存在正整数，使得D.存在正整数，使得【答案】ACD【解析】【分析】设数列公差为d，根据已知条件和判断公差正负，求出和d关系，逐项验证即可. 【详解】设等差数列公差为d，由得，化简得；∵，∴，即，∴，∴，，∴d＜0，故数列为减数列，故A正确；，，，故为的最大值，故B错误；，故，故C正确；时，，即，又由得，∴，解得，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系中，已知，，，，则___________.【答案】或##或【解析】【分析】根据向量平行时坐标的关系和向量的模公式即可求解.【详解】，且， 设，，解得，或.故答案为：或.14.若抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是___________.【答案】5【解析】【分析】根据抛物线的定义知点P到焦点距离等于到准线的距离即可求解.【详解】因为抛物线方程为，所以准线方程为，所以点到准线的距离为，故点到该抛物线焦点的距离.故答案为：15.已知数列中，，且数列为等差数列，则_____________.【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意得:考点：等差数列通项16.已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则的最小值是___________. 【答案】【解析】【分析】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由二次函数求最值即可求得最小值.【详解】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，则，由可设，由是单位空间向量可得，由可设，，当，的最小值是2，所以，取，，，当时，最小值为.故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列是等差数列，数列是各项均为正数等比数列，且，，.（1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用分组求和的方法结合等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，依题意有，由，又，解得，∴，即，；（2）∵，∴前项和.∴前项和，.18.如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）.规划在公路上选两个点､，并修建两段直线型道路､.规划要求，线段､上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点到直线的距离分别为和（为垂足），测得，，（单位：百米）. （1）若道路与桥垂直，求道路的长；（2）在规划要求下，点能否选在处？并说明理由.【答案】（1）15（百米）（2）点选在处不满足规划要求，理由见解析【解析】【分析】（1）建立适当的坐标系，得圆及直线的方程，进而得解.（2）不妨点选在处，求方程并求其与圆的交点，在线段上取点不符合条件，得结论.【小问1详解】如图，过作，垂足为.以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.因为为圆的直径，，所以圆的方程为.因为，，所以，故直线的方程为，则点，的纵坐标分别为3，从而，，直线的斜率为.因为，所以直线的斜率为， 直线的方程为.令，得，，所以.因此道路的长为15（百米）.【小问2详解】若点选在处，连结，可求出点，又，所以线段.由解得或，故不妨取，得到在线段上的点，因为，所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径5.因此点选在处不满足规划要求.19.已知抛物线的准线与轴的交点为.（1）求的方程；（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.请判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1） （2）是定值，定值为【解析】【分析】(1)由抛物线的准线求标准方程；(2)直线与抛物线相交求定值，解联立方程消未知数，利用韦达定理，求线段长，再求它们的倒数的平方和.【小问1详解】由题意，可得，即，故抛物线的方程为.【小问2详解】为定值，且定值是.下面给出证明.证明：设直线的方程为，，，联立抛物线有，消去得，则，又，.得因此为定值，且定值是.20.如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，是的中点，且满足． （1）求证：平面；（2）已知，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）分别证明出和，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）以C为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的平面角.【小问1详解】因为点在底面内的射影恰好是点，所以面.因为面,所以.因为是的中点，且满足．所以，所以.因为，所以，即,所以.因为,面,面, 所以平面.【小问2详解】∵面，∴直线与底面所成角为，即.因为，所以由（1）知，，因为，所以，.如图示，以C为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则,,,,所以，设，由得，，即.则.设平面BDC1的一个法向量为，则，不妨令，则.因为面，所以面的一个法向量为记二面角的平面角为，由图知，为锐角. 所以,即.所以二面角的大小为.21.某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A，两个等级，其中等设备安全系数低于A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分等设备更新成A等设备.据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成等设备.（1）在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；（2）至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据：，，）【答案】（1）A等设备量不可能超过生产设备总量的80%，理由见解析；（2）在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.【解析】【分析】(1)根据题意表示出2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，求出，根据的范围进行判断；(2)令＞即可求解.【小问1详解】记该企业全部生产设备总量为“1”，2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，则经过1年即2021年底该企业A等设备量，，可得，又 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，可得，所以，显然有，所以A等设备量不可能超过生产设备总量的80%.【小问2详解】由，得.因单调递减，又，，所以在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.22.已知椭圆的离心率是，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于A、B两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】(1)根据已知条件列出关于a、b、c的方程组即可求得椭圆标准方程；(2)直线l和x轴垂直时，根据已知条件求出此时△AOB面积；直线l和x轴不垂直时，设直线方程为点斜式y＝kx＋t，代入椭圆方程得二次方程，结合韦达定理和弦长得k和t 的关系，表示出△AOB的面积，结合基本不等式即可求解三角形面积最值.【小问1详解】由题知，解得，∴椭圆的标准方程为.【小问2详解】当轴时，位于轴上，且，由可得，此时；当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，，由，得.得，，从而已知，可得.∵.设到直线的距离为，则，结合化简得 此时的面积最大，最大值为2.当且仅当即时取等号，综上，的面积的最大值为2.