湖南省常德市五校联盟2022-2023学年高三数学上学期第一次考试试卷（Word版附答案）

2022-2023学年湖南省常德市五校联盟高三第一次考试(数学)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，，则(    )A.B.C.D.2.已知，且，则下列命题正确的是(    )A.如果，那么B.如果，那么C.如果，那么D.如果，那么3.下列结论不正确的是(    )A.B.C.D.4.不等式成立的一个必要不充分条件是(    )A.B.C.D.5.若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是(    )A.B.C.D.6.设函数，若，，，则(    )A.B.C.D.7.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，(    )A.B.C.D. 1.已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为(    )A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）2.下列选项中，与的值相等的是(    )A.；B.；C.；D.．3.若函数且为上的单调函数，则的值可以是      (    )A.B.C.D.4.已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是     (    )A.B.C.D.5.已知函数则下列说法正确的是(    )A.当时，B. 当时，直线与函数的图象相切C.若函数在区间上单调递增，则D.若在区间上恒成立，则三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）6.在范围内，与终边相同的角是          ．7.已知正数满足，则的最小值为          ．8.若函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围为          ． 1.设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”，若函数为“倍胀函数”，则实数的取值范围是          ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）2.本小题分已知．求的值；求的值．3.本小题分已知数列满足，，，数列是等差数列，且，．求数列，的通项公式设，求数列的前项和．4.本小题分如图，已知四棱锥，底面是边长为的菱形，平面，，、分别是、的中点．  求证：平面平面；若，求锐二面角的余弦值．5.本小题分已知函数．当时，求曲线在点处的切线方程； 求函数在的最小值．1.本小题分在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．求证：求的取值范围．2.本小题分设函数．试讨论函数的单调性；如果且关于的方程有两解，，证明：． 答案和解析1.【答案】 【解析】解：集合，，，故A错误，D正确；，故B，C错误．故选D．  2.【答案】 【解析】【分析】本题考查不等式的性质，属于基础题．当时，选项A，D错误；取特殊值判断；由不等式的性质判断．【解答】解：当时，选项A，D错误例如，满足，但是，故C错误若，则，由不等式的性质可得，故B正确．故选B．  3.【答案】 【解析】解：，为第二象限角，，故A正确，为第三象限角，，故B正确，为第三象限角，，故C正确；，为第三象限角，，故D错误． 故选D．  4.【答案】 【解析】解：，不等式的解集是，观察四个选项发现，故是不等式的一个必要不充分条件．故选C．  5.【答案】 【解析】解：由题意，函数且在上为减函数，可得，又由函数的定义域为或，当时，函数，将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象，又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，可知选项符合．故选B．  6.【答案】 【解析】解：因为为周期为的偶函数，所以，，因为在上关于直线对称，所以， 由于，，，所以，即，因为在上单调递增，且，所以，即．故选A．  7.【答案】 【解析】解：过滤一次污染物的含量都会减少，则为；过滤两次污染物的含量都会减少，则为；过滤三次污染物的含量都会减少，则为；过滤次污染物的含量都会减少，则为；要求废气中该污染物的含量不能超过，则，即，两边取以为底的对数可得，即，所以，因为，所以，所以，又，所以，故排放前需要过滤的次数至少为次．故选B．   8.【答案】 【解析】解：已知，令，则，所以在上单调递减，又因为为偶函数，所以，所以，，所以不等式等价于，则，解得，所以不等式的解集为故选A．  9.【答案】 【解析】解：由，，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误．故选BC．  10.【答案】 【解析】解：当时，由于为增函数，则需，此时在上单调递增； 当时，由于为减函数，则需故，此时在上单调递减；故的取值范围为：．故选ABCD．  11.【答案】 【解析】解：函数，定义域为，即，，又值域为，即，，在正弦函数的一个周期内，要满足上式，结合正弦函数性质：所以，，，，即，的值不可能为和和．故选BCD．  12.【答案】  【解析】解：对于，当时，，，当时，，当时，，易知函数在上单调递减，在上单调递增，，故选项A正确；对于，当时，，，，函数在处的切线方程为，故选项B正确；对于，，若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，则在上恒成立，令，，则，函数在上单调递减，，故选项C错误；对于，当时，恒成立，此时；当时，恒成立等价于恒成立，即，即恒成立，设，，则在上恒成立，在上单调递减，，故选项D错误．故选AB．  13.【答案】 【解析】解：与角终边相同的角是，， 当时为，在范围内，与角终边相同的角是．故答案为．  14.【答案】  【解析】解：因为正数，满足，所以，当且仅当，时等号成立，即的最小值为．故答案为．  15.【答案】 【解析】解：函数在区间上恰有一个极值点，在区间上恰有一个变号零点，即在区间上恰有一个变号零点，令，则有，即，，当时，令，得到或，在两侧异号，是极值点，不是极值点，即在区间上有变号零点，在区间上恰有一个极值点；当时，得到，或，故在上没有极值点．故实数的取值范围是．故答案为 ．  16.【答案】 【解析】解：因为函数为“倍胀函数”，且定义域为， 所以存在，使在上的值域为，因为为增函数，所以即方程有两个不等的实数根．令，则，令，解得，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，所以，易知当时，，当时，，所以要使方程有两个不等的实数根，只需，得，所以的取值范围为．故答案为．  17.【答案】解：，，，两边平方得，，解得，． 18.【答案】解：因为数列满足，，， 所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，即数列的通项公式为，设等差数列的公差为，由，，得，解得，所以，即数列的通项公式为由可知，所以数列的前项和，即． 19.【答案】解：证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．为的中点，，又，因此，平面，平面，，而平面，平面，且，平面，又平面，平面平面；由知、、两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，因此，取，则，连接，平面，平面，．，，、平面，平面，故为平面的法向量．又，．二面角为锐二面角，所求二面角的余弦值为． 20.【答案】解：当时，，，又得切点，切线的斜率，所求切线方程为，即，，，令，，由，得，所以在上为单调增函数， 又，，所以在上恒成立，即在恒成立，当时，，知在上单调递减，从而当时，，知在上单调递增，从而；综上，当时，当时． 21.【答案】证明：在中，由已知及余弦定理得到：，又，所以C.由正弦定理得到，又，则，故，因为，则，所以或应舍去，所以；解：由得，所以，，由，得，令，，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，当时，，当时，，所以取值范围是．  22.【答案】解：由，可知．函数的定义域为，若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；若，则当在内恒成立，函数单调递增；若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增综上：当时，在上单调递减，在上单调递增当时，在上单调递增当时，在上单调递减，在上单调递增要证，只需证．设，因为，所以为单调递增函数．所以只需证，即证，只需证，又，，所以两式相减，并整理得．把代入式，得只需证，可化为． 令，得只需证．令，则，所以在其定义域上为增函数，所以．综上得原不等式成立．