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八年级数学第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷 (38)(含解析)

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第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(38)一、单选题1.在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AE平分交BC于点E,.连接OE,则下面的结论:①是等边三角形;②是等腰三角形;③;④;⑤,其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个2.如图,在中,,,,是的中点,则中最短边的长为()A.B.C.D.3.顺次连接矩形各边的中点,所得四边形是()A.平行四边形B.正方形C.矩形D.菱形4.如图,以平行四边形的边、、、为斜边,分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形,当时,有以下结论:①;②;③;④;⑤四边形是平行四边形.则结论正确的是(),A.①③④B.②③⑤C.①③④⑤D.②③④⑤5.在菱形ABCD中,∠ABC=60゜,AC=4,则BD=()A.B.2C.3D.46.菱形的一个内角是,边长是,则这个菱形的较短的对角线长是()A.B.C.D.7.如图,在矩形ABCD中,O为AC中点,过点O的直线分别与AB,CD交于点E、F,连接BF交AC于点M,连接DE,BO.若,.则下列结论:①FB垂直平分OC;②四边形DEBF为菱形;③;④;⑤.其中正确结论的个数是()A.5个B.4个C.3个D.2个8.下列命题中,正确的命题是()A.菱形的对角线互相平分且相等B.顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直平分D.顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形9.如图,在平行四边形ABCD中,点F是AB的中点,连接DF并延长,交CB的延长线于点E,连接AE.添加一个条件,使四边形AEBD是菱形,这个条件是(),A.B.C.D.DE平分10.如图,以为斜边的和位于直线的同侧,连接.若,则的长为()A.3B.4C.D.二、解答题11.如图,过对角线与的交点作两条互相垂直的直线,分别交边、.、于点、、、.(1)求证:;(2)顺次连接点、、、,求证:四边形是菱形.12.如图,菱形的对角线相交于点是的中点,点在上,.,(1)判断四边形的形状;(2)若,求菱形的面积和的长.13.下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程.已知:四边形是平行四边形,且求作:菱形,使点在上,点在上.作法:①作的角平分线,交于点;②以为圆心,长为半径作弧,交于点;③连接.则四边形为所求作的菱形.根据小明设计的尺规作图过程(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);(2)求证四边形为菱形.14.如图,已知点在的边上,交于,交于.(1)求证:;(2)若平分,试判断四边形的形状,并说明理由.,15.如图,在平行四边形中,对角线与相交于点,是等边三角形,,求的面积.16.如图1,点E是正方形ABCD边AB上任意一点,以BE为边作正方形BEFG,连接DF,点M,N分别是线段AE、DF中点,连接MN.(1)请猜想MN与AE的关系,并证明你的结论;(2)把图1中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转,此时点E、G恰好分别落在线段BC、AB上,如图2,其他条件不变,(1)中的结论是否成立?请说明理由.17.如图,矩形的顶点分别在菱形的边上,顶点在菱形的对角线上.,(1)求证:;(2)若为中点,,求菱形的周长;18.如图,在矩形ABCD中,AB=15,E是BC上的一点,将△ABE沿着AE折叠,点B刚好落在CD边上点G处;点F在DG上,将△ADF沿着AF折叠,点D刚好落在AG上点H处,且CE=,(1)求AD的长;(2)求FG的长19.(定义)如果条线段将一个三角形分成个等腰三角形,那么这条线段就称为这个三角形的“二分等腰线”,如果条线段将一个三角形分成个等腰三角形,那么这条线段就称为这个三角形的“三分等腰线”.(理解)(1)如图(1),在中,,请你在这个三角形中画出它的“二分等腰线”,不限作法,请在图中标出等腰三角形顶角的度数.,(2)如图(2),已知是一个顶角为的等腰三角形,请你在这个三角形中画出它的“三分等腰线”,不限作法,请在图中标出所分得的等腰三角形底角的度数.(应用)(3)小明在学习了上面的材料后得到一个结论:直角三角形一定存在“二分等腰线”;而小丽则认为直角三角形也一定存在“三分等腰线”.①你认为直角三角形的__就是它的“二分等腰线”;②如图(3),在中,,请你在图(3)中帮助小丽画出的“三分等腰线”(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).,(4)在中,和分别是的“三分等腰线”,点在边上,点在边上,且,请根据题意写出度数的所有可能的值.20.如图,长方形ABCD中,AD=acm,AB=bcm,且a、b满足|8-a|+(b-4)2=0.(1)长方形ABCD的面积为;(2)动点P在AD所在直线上,从A出发向左运动,速度为2cm/s,动点Q在DC所在直线上,从D出发向上运动,速度为4cm/s.动点P、Q同时出发,设运动时间为t秒.①当点P在线段AD上运动时,求以D、P、B、Q为顶点的四边形面积;(用含t的式子表示)②求当t为何值时,S△BAP=S△CQB.21.如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC=90°,BC=12cm,直线CM⊥BC,动点D从点C开始以每秒4cm的速度运动到B点,动点E也同时从点C开始沿射线CM方向以每秒2cm的速度运动.(1)问动点D运动多少秒时,△ABD≌△ACE,并说明理由;(2)设动点D运动时间为x秒,请用含x的代数式来表示△ABD的面积S;,(3)动点D运动多少秒时,△ABD与△ACE的面积比为4:1.22.如图,在正方形中,点E,F分别在边,上,且,与相交于点O.(1)求证:;(2)求证:;(3)若,,求线段的长.23.如图一,在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=,对角线AC,BD相交于O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.(所需图形须在备用图中画出)(1)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;(2)求证:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;(3)在旋转过程中,当EF⊥BD,旋转的角度小于180°时,求出此时绕点O顺时针旋转的度数.24.已知:如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,D是AC的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交BC于点F.(1)求证:AE=BF;(2)连接EF,求∠DEF的度数;(3)若AC=,直接写出EF的取值范围.,25.(1)如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边上,且∠EAF=45°,求证:EF=BE+DF;(2)如图2,四边形ABCD中,ADBC,∠D=90°,AD=DC=10,BC=6,点E在CD上,∠BAE=45°,在(1)的基础上求DE长.三、填空题26.己知菱形的边长是3,点在直线上,=1,联结与对角线相交于点,则的值是______.27.正三角形ABC中,已知AB=6,D是直线AC上的动点,CE⊥BD于点E,连接AE,则AE长的取值范围是_______________.28.如图,在四边形中,,,且顺次连接四边形各边的中点,得到四边形,再顺次连接四边形各边中点,得到四边形…如此进行下去,得到四边形,下列结论正确的有__________.,①四边形是矩形;②四边形是菱形;③四边形的周长是.29.如图,在中,,,点D是AB上一动点,以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中,DE的最小值是________.30.如图,正方形中,,点、是正方形内的两点,且,,则的平方为________.,,【答案与解析】1.B【解析】判断出△ABE是等腰直角三角形,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB=30°,再判断出△ABO,△DOC是等边三角形,可判断①;根据等边三角形的性质求出OB=AB,再求出OB=BE,可判断②,由直角三角形的性质可得BC=AB,可判断③,由等腰三角形性质求出∠BOE=75°,再根据∠AOE=∠AOB+∠BOE=135°,可判断④;由面积公式可得可判断⑤;即可求解.解:∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°,∴∠AEB=45°,∴△ABE是等腰直角三角形,∴AB=BE,∵∠CAE=15°,∴∠ACE=∠AEB−∠CAE=45°−15°=30°,∴∠BAO=90°−30°=60°,∵矩形ABCD中:OA=OB=OC=OD,∴△ABO是等边三角形,△COD是等边三角形,故①正确;∴OB=AB,又∵AB=BE,∴OB=BE,∴△BOE是等腰三角形,故②正确;在Rt△ABC中∵∠ACB=30°∴BC=AB,故③错误;∵∠OBE=∠ABC−∠ABO=90°−60°=30°=∠ACB,∴∠BOE=(180°−30°)=75°,∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°,故④错误;∵AO=CO,,∴,故⑤正确;故选:B.本题考查了矩形的性质,等腰直角三角形的性质,等边三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记各性质是解题的关键.2.B【解析】根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度,进而可得结论.解:在△A1A2A3中,∠A1A3A2=90°,∠A2=30°,A1A3=1,An+3是AnAn+1(n=1、2、3…)的中点,可知:A4A5//A1A3,A3A4=A2A4,∴∠A3A5A4=90°,∠A4A3A2=∠A2=30°,∴△A1A2A3是含30°角的直角三角形,同理可证△AnAn+1An+2是含30°角的直角三角形.△A1A2A3中最短边的长度为A1A3=1=,△A3A4A5中最短边的长度为A4A5==,△A5A6A7中最短边的长度为A5A7=,…,所以△AnAn+1An+2中最短边的长度为,则△A2019A2020A2021中最短边的长度为.故选:B.本题考查了规律型:图形的变化类,解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律.也考查了直角三角形斜边的中线,三角形的中位线,平行线的性质,含30°角的直角三角形的性质,以及等腰三角形的性质等知识.3.D【解析】利用三角形中位线定理,矩形对角线的性质,菱形的判定判断即可.如图,设矩形ABCD各边的中点依次为E,F,G,H,,∴EF,FG,GH,HE分别是△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的中位线,∴EF=AC,FG=BD,GH=AC,EH=BD,∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,∴EF=FG=GH=HE,∴四边形EFGH是菱形,故选D.本题在矩形背景考查了三角形中位线定理,菱形的判定,矩形的性质,熟练运用三角形中位线定理,矩形的性质,菱形的判定是解题的关键.4.D【解析】根据平行四边形性质得出∠ABC=∠ADC=α,∠BAD=∠BCD,AB=CD,AD=BC,AD∥BC,AB∥CD,根据等腰直角三角形得出BE=AE=CG=DG,AH=DH=BF=CF,∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°,求出∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE=90°+α,证△FBE≌△HAE≌△HDG≌△FCG,推出∠BFE=∠GFC,EF=EH=HG=GF,求出∠EFG=90°,根据正方形性质得出即可.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC=α,∠BAD=∠BCD,AB=CD,AD=BC,AD∥BC,AB∥CD,∵平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边,分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,∴BE=AE=CG=DG,AH=DH=BF=CF,∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°,∵AB∥CD,∴∠BAD=∠BCD=180°-α,∴∠EAH=360°-45°-45°-(180°-α)=90°+α,∠GCF=360°-45°-45°-(180°-α)=90°+α,,∴①错误;②正确;∠HDG=45°+45°+α=90°+α,∠FBE=45°+45°+α=90°+α,∴∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE,在△FBE、△HAE、△HDG、△FCG中,,∴△FBE≌△HAE≌△HDG≌△FCG(SAS),∴∠BFE=∠GFC,EF=EH=HG=GF,③正确;∴四边形EFGH是菱形,∵∠BFC=90°=∠BFE+∠EFC=∠GFC+∠CFE,∴∠EFG=90°,∴四边形EFGH是正方形,⑤正确;∴EH⊥GH,④正确;故选:D.本题考查了等腰直角三角形,全等三角形的性质和判定,正方形的判定,平行四边形的性质,菱形的判定的应用,主要考查学生的推理能力.5.D【解析】根据菱形的性质可得到直角三角形,利用勾股定理计算即可;如图,AC与BD相较于点O,∵四边形ABCD是菱形,,,∴,,又∵∠ABC=60゜,∴,∴,∴,∴;故选D.本题主要考查了菱形的性质,结合勾股定理计算是解题的关键.6.C【解析】根据菱形的四边相等和一个内角是60°,可判断较短对角线与两边组成等边三角形,根据等边三角形的性质可求较短的对角线长.解:因为菱形的四边相等,当一个内角是60°,则较短对角线与两边组成等边三角形.∵菱形的边长是,∴这个菱形的较短的对角线长是3cm.故选:C.此题考查了菱形四边都相等的性质及等边三角形的判定,解题关键是判断出较短对角线与两边构成等边三角形.7.C【解析】证明△OFB≌△CFB,可判断结论①正确;利用菱形的定义,可判断结论②正确;根据OC=OB,斜边大于直角边,可判断结论③错误;根据30度角的性质,可判断AB=2BM,故结论④是错误的;证NE∥BM,AN=NO=OM,所以BM=3NE,AO=2OM,利用三角形面积公式计算判断,结论⑤正确.连接BD,∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AC、BD互相平分,∵O为AC中点,∴BD也过O点,∴OB=OC,,∵∠COB=60°,OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∴OB=BC=OC,∠OBC=60°,∵FO=FC,BF=BF∴△OBF≌△CBF(SSS),∴△OBF与△CBF关于直线BF对称,∴FB⊥OC,OM=CM;∴①正确,∵AB∥CD,∴∠OCF=∠OAE,∵OA=OC,∴△AOE≌△COF,∴OE=OF,FC=AE,∴DF=BE,DF∥BE,∴四边形EBFD是平行四边形,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=30°,∵FO=OE=FC=AE,∴∠AOE=∠FOM=30°,∴∠BOF=90°,∴BE=BF,∴四边形EBFD是菱形,∴结论②正确;∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=30°,∵FO=OE=FC=AE,∴∠AOE=∠FOM=30°,∴∠BOF=90°,∴FB>OB,∵OB=OC,∴FB>OC,,∴③错误,在直角三角形AMB中,∵∠BAM=30°,∠AMB=90°,∴AB=2BM,∴④错误,设ED与AC的交点为N,设AE=OE=2x,则NE=x,BE=4x,∴AB=6x,∴BM=3x,∴==3:2,结论⑤正确.故选C.【点睛】本题考查了矩形的性质,等腰三角形三线合一性质,全等三角形,直角三角形30°角的性质,菱形的判定,熟练掌握,灵活运用是解题的关键.8.B【解析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可.解:A.菱形的对角线互相平分,但不相等,该命题错误;B.顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形,该命题正确;C.矩形的对角线互相平分,但是不垂直,该命题错误;D.顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形,该命题错误;故选:B.,本题考查特殊四边形的判定和性质,掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键.9.D【解析】先证明△ADF≌△BEF,得到AD=BE,推出四边形AEBD是平行四边形,再逐项依次分析即可.解:在平行四边形ABCD中,AD∥BC,∴∠DAB=∠EBA,∵点F是AB的中点,∴AF=BF,∵∠AFD=∠BFE,∴△ADF≌△BEF,∴AD=BE,∵AD∥BE,∴四边形AEBD是平行四边形,A、当时,得到AB=BD,无法判定四边形AEBD是菱形,故该选项不符合题意;B、AB=BE时,无法判定四边形AEBD是菱形,故该选项不符合题意;C、DF=EF时,无法判定四边形AEBD是菱形,故该选项不符合题意;D、当DE平分时,四边形AEBD是菱形,故该选项符合题意;故选:D.此题考查平行四边形的性质,全等三角形的判定及性质,菱形的判定,熟记平行四边形的性质是解题的关键.10.C【解析】取AB的中点O,连结OD,OC,根据直角三角形的性质可得,可得,,,在四边形ABCD中,根据四边形的内角和为,,可得出,由,可证得是等腰直角三角形,由,根据勾股定理,即可得出CD的长.取AB的中点O,连结OD,OC,,∵和的斜边为AB,∴,,∴,∴,,,在四边形ABCD中,,∵,∴,∵,∴,∴是等腰直角三角形,∵,∴,∴,故选:C.本题主要考查了直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的性质和以及勾股定理,解题的关键是正确做出辅助线.11.(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)由证即可;(2)由全等三角形的性质得出,同理可得,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形是平行四边形,再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形,即可得出结论.(1)证明:四边形是平行四边形,,,,在和中,,,;(2)证明:如图所示:,,同理可得,四边形是平行四边形,,四边形是菱形.本题考查了平行四边形的判定与性质,菱形的判定,全等三角形的判定与性质;熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.12.(1)矩形;(2)24,【解析】(1)先证明四边形是平行四边形,再根据垂直即可得到结果;(2)根据菱形的面积求解和等面积法计算即可;解:四边形是矩形.,在菱形中,是的中点,又四边形是平行四边形.四边形是矩形.菱形的面积.四边形是菱形,,.由知,四边形是矩形,.,,.本题主要考查了矩形和菱形的判定和性质,准确计算是解题的关键.13.(1)见解析;(2)见解析【解析】(1)根据要求画出图形即可.(2)利用平行四边形的判定,菱形的判定解决问题即可.解:解:如图所示.,证明:平分在中,又四边形为平行四边形.四边形为菱形.本题考查作图-复杂作图,平行四边形的判定和性质,菱形的判定等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.14.(1)见解析;(2)菱形,见解析【解析】(1)由DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,可证得四边形AEDF是平行四边形,即可证得结论;(2)由AD平分∠BAC,DE∥AC,易证得△ADE是等腰三角形,又由四边形AEDF是平行四边形,即可证得四边形AEDF是菱形.(1)证明:∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形,∴DE=AF;,(2)若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形;理由:∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD,∵DE∥AC,∴∠ADE=∠FAD,∴∠EAD=∠ADE,∴AE=DE,∵四边形AEDF是平行四边形,∴四边形AEDF是菱形.此题考查了等腰三角形的判定与性质,菱形的判定与性质.注意熟练掌握菱形的判定方法是解此题的关键.15.【解析】△AOB是等边三角形,得出AO=AB,进而得出四边形ABCD是矩形,求出AC,再根据勾股定理求出BC,即可求出面积=AB•BC.解:因为平行四边形,∴,,又∵三角形是等边三角形,∴,∴∴平行四边形是矩形∴°在中,由勾股定理得∴∴S▱ABCD=AB•BC=4×4=16本题考查了矩形的判定和性质和等边三角形的性质以及勾股定理,运用勾股定理求边长是解题的关键.,16.(1)MN⊥AE,MN=AE,证明见解析;(2)成立,理由见解析【解析】(1)连接EN,并延长交AD于H.证明△DHN≌△FEN,进而可证AH=AE,然后根据三角形中位线的判定与性质证明即可;(2)证明△ANH≌△GNH,可得AN=GN,∠ANH=GNH;证明△GNF≌△ENF,可得EN=GN,∠GNF=∠ENF,根据四边形内角和可求出∠HNF=45°,然后证明△ANE是等腰直角三角形即可证明结论成立.(1)MN与AE的关系:MN⊥AE,MN=AE.证明:连接EN,并延长交AD于H.∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形,∴EF//BG,AD//BC,EF=BE,AD=AB,∴AD//EF,∴∠HDN=∠EFN.∵N是DF的中点,∴DN=NF,在△DHN和△FEN中,,∴△DHN≌△FEN,∴HD=EF,∴HD=BE,∴AH=AE,∵M是AE的中点,N是DF的中点,,∴MN是△AHE的中位线,∴MN//AD,MN=AD,∵AD⊥AB,∴MN⊥AB,∴MN⊥AE,MN=AE;(2)成立.证明:如图,连接AN,BF,NE,GN,取AG中点H,连接NH.∵H是AG中点,N是DF中点,∴NH//AD.∵AD⊥AB,∴NH⊥AG,在△ANH和△GNH中,,∴△ANH≌△GNH,∴AN=GN,∠ANH=GNH.∵∠GBF=45°,∠GBD=45°,∴B,F,D共线,∵∠BFG=∠BFE=45°,∴∠GFN=∠EFN=135°,在△GNF和△ENF中,,,∴△GNF≌△ENF,∴EN=GN,∠GNF=∠ENF,∵∠GHN=∠HGF=90°,∠GFN=135°,∴∠HNF=360°-90°-90°-135°=45°,∴∠ANE=90°,∵EN=GN,AN=GN,∴AN=EN,∴△ANE是等腰直角三角形,∵M是AE中点,∴MN⊥AE,MN=AE.本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,三角形的中位线,梯形的中位线,等腰直角三角形的判定,以及直角三角形斜边上的中线的性质,正确作出辅助线是结打法本题的关键.17.(1)见解析;(2)菱形的周长【解析】(1)根据菱形和矩形的性质可证得,即可得证;(2)连接,根据菱形的性质与平行四边形的判定与性质可得,利用勾股定理求出FH的长,即可求解.(1)证明:四边形是矩形,,四边形是菱形,,,(2)解:连接,四边形是菱形,,为中点,,,四边形是平行四边形,四边形是矩形,,菱形的周长.本题考查特殊四边形的判定与性质,掌握菱形、矩形和平行四边形的判定与性质是解题的关键.18.(1)AD=9;(2)FG=7.5【解析】(1)设CE,则BE,在Rt△CEG和Rt△AGD中,分别求得CG,,GD=,再利用CG+GD=CD=15,构造方程求得的值,即可求解;(1)设HF,利用,构造方程求得的值,即可求解.(1)∵CE=,∴设CE,则BE,∴BC=AD=CE+BE,∵△AGE是由△ABE翻折得到的,∴GE=BE,AG=AB=15,在Rt△CEG中,由勾股定理可知:CG=,在Rt△AGD中,由勾股定理可知:GD=,∵CG+GD=CD=15,∴,解得:,AD;(2)由(1)知:CG=3,GD=12,设HF,∵△AHF是由△ADF翻折得到的,∴HF=DF,∵,即,∴,解得:,即DF,∴FG=CD-CG-DF=15-3-4.5=7.5.本题考查了矩形的性质,翻折变换,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.19.(1)见解析;(2)见解析;(3)①斜边上的中线;②见解析;(4)22°或38°【解析】(1)作CD将∠ACB分成∠ACD=33°,∠DCB=48°,然后理由三角形内角和定理可知∠B=∠CDB=66°,正好是等腰三角形;(2)理由顶角为36°的等腰三角形,底角是72°正好是顶角的2倍这一特点即可作出图形;(3)①根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半,即可得出结论;②作Rt△ABC斜边的垂直平分线,可将它分成一个等腰三角形和一个直角三角形,再结合①中的结论,作直角三角形斜边上的中线即可;(4)分AD=DE时和AD=AE时两种情况,借助等腰三角形的性质和三角形内角和,外角的性质即可求得∠B.解:如图所示:如图所示:直角三角形的斜边上的中线就是它的“二分等腰线";作的垂直平分线,得等腰;作边上的中线,得等腰和.如图所示:,(4)如图,当AD=DE时,∵AD=CD,∠C=33°,∴∠DAC=∠C=33°,∵DE=BE,∴∠EDB=∠B,∵AD=DE,∴∠DAE=∠AED=∠EDB+∠B=2∠B,∵∠C+∠CAD+∠B=180°,∴∠C+∠C+2∠B+∠B=180°,即66°+3∠B=180°,即∠B=38°;当AD=AE时,,∵AD=CD,∠C=33°,∴∠DAC=∠C=33°,∴∠ADB=∠DAC+∠C=66°,∵DE=BE,∴∠EDB=∠B,∠AED=∠EDB+∠B=2∠B,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED,∴∠ADB=∠ADE+∠EDB=3∠B=66°,即∠B=22°,综上所述,∠B=22°或38°.本题考查等腰三角形的性质和判定,三角形外角的性质和三角形内角和定理,直角三角形斜边上的中线等.熟练掌握相关定理,能借助图形得出角度之间的关系是解题关键,(4)中注意分类讨论.20.(1)32cm2;(2)①四边形的面积为S=12t+16(cm2);②当t=或时,S△BAP=S△CQB.【解析】(1)由|8-a|+(b-4)2=0.可求,可求长方形ABCD的面积=AD•AB=32(cm2);(2)①当P在线段AD上运动时,如图,DP=8-2t,DQ=4t,连BD,可求S四边形BPDQ=S△BDP+S△BDQ=12t+16(cm2);②由S△BAP=S△CQB,可列方程×2t×4=×|4t-4|×8,化去绝对值分类解方程即可.解:(1)a、b满足|8-a|+(b-4)2=0.∵,∴,∴,∴AD=8cm,AB=4cm,∴长方形ABCD的面积=AD•AB=32(cm2);(2)①当P在线段AD上运动时,如图,DP=8-2t,DQ=4t,连BD,,S四边形BPDQ=S△BDP+S△BDQ,=(8-2t)×4+×4t×8,=12t+16(cm2);②由S△BAP=S△CQB,得:×2t×4=×|4t-4|×8,即|4t-4|=t,,或,解得:t=或,当t=或时,S△BAP=S△CQB.本题考查非负数和的性质,矩形面积,四边形面积,一元一次方程,掌握非负数的性质,利用非负数求出AD,AB,会求矩形面积,以及四边形面积,会利用三角形面积列方程解决问题是解题关键.21.(1)动点D运动2秒时,△ABD≌△ACE;理由见解析;(2);(3)动点D运动1秒时,△ABD与△ACE的面积比为4:1.【解析】(1)设动点D运动t秒时△ABD≌△ACE,先根据等腰直角三角形得:∠ACE=∠B,再加上AB=AC所以只要满足BD=CE,△ABD≌△ACE列式可求得t的值;(2)作高线AF,根据等腰直角三角形三线合一可知:AF是斜边的中线,再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得AF=6,代入面积公式可求出代数式;(3)作高线AG,先证明四边形AFCG是矩形,求出AG=6,由△ABD与△ACE的面积比为4:1列式可得出结论.(1)如图1,设动点D运动t秒时,△ABD≌△ACE,由题意得:CD=4t,CE=2t,则BD=12-4t,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∵CM⊥BC,∴∠BCM=90°,∴∠ACE=90°-45°=45°,∴∠ACE=∠B,∴当BD=CE时,△ABD≌△ACE,即12-4t=2t,t=2,动点D运动2秒时,△ABD≌△ACE;(2)如图2,过A作AF⊥BC于F,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴AF是等腰直角三角形的中线,∴AF=6,由题意得:CD=4x,则BD=12-4x,;(3)设动点D运动x秒时,△ABD与△ACE的面积比为4:1如图2,再过A作AG⊥CM于G,∵∠AFC=∠BCM=∠AGC=90°,∴四边形AFCG为矩形,,∴AG=CF=6,∵△ABD与△ACE的面积比为4:1,∴∴BD=4CE,即12-4x=8x,x=1.答:动点D运动1秒时,△ABD与△ACE的面积比为4:1.本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定及性质以及动点问题,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键;在动点问题中,明确路程=时间´速度,根据时间准确表示动点D和E的路程BD、CE的代数式,根据题中的等量关系列等式即可.22.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).【解析】(1)由正方形的性质可得AB=BC,∠ABE=∠BCF,然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等;(2)由全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠CBF,然后求出∠BAE+∠ABF=∠ABC=90°,判断出AE⊥BF;(3)由30度角所对的直角边是斜边的一半,可得AE=2BE=4,同理可得OE=1,即可求得AO的长.(1)证明:∵是正方形,∴,且,∵,∴(SAS);(2)证明:由(1)知∠BAE=∠CBF,∵,∴,∴∠AOB=90,∴;(3)∵,,∴,由(1)知,,且,∴,∴,∴.本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,证明△ABE≌△BCF是解题的关键.23.(1)答案见解析;(2)证明见解析;(3)45°.【解析】(1)根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC,对角线互相平分可得OA=OC,再根据两直线平行,内错角相等求出∠FAO=∠ECO,然后利用“角边角”证明△AOF和△COE全等,根据全等三角形对应边相等即可得到AF=CE;(2)根据垂直的定义可得∠BAO=90°,然后求出∠BAO=∠AOF,再根据内错角相等,两直线平行可得AB∥EF,然后根据平行四边形的对边平行求出AF∥BE,再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明;(3)根据(1)的结论可得AF=CE,再求出DF∥BE,DF=BE,然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形BEDF平行四边形,再求出对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得EF⊥BD时,四边形BEDF是菱形;根据勾股定理列式求出AC=2,再根据平行四边形的对角线互相平分求出AO=1,然后求出∠AOB=45°,再根据旋转的定义求出旋转角即可.解:(1)如图一∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,AD∥BC,,∴∠FAO=∠ECO,又∵∠AOF=∠COE,∴△AOF≌△COE(ASA),∴AF=EC,∴在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等.(2)如备用图一:证明:∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°.∵∠AOF=90°,∴∠BAC=∠AOF,∴AB∥EF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴四边形ABEF是平行四边形.(3)如备用图二:在Rt△ABC中,AC==2.∵AO=OC,∴AO=1=AB.∵∠BAO=90°,∴∠AOB=45°∵EF⊥BD,,∴∠BOF=90°,∴∠AOF=45°,即AC绕点O顺时针旋转45°.本题考查了平行四边形的性质和判定,菱形的性质和判定,旋转的性质,勾股定理的应用,能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.24.(1)见解析;(2)∠DEF=45°;(3)≤EF≤4【解析】(1)连结BD,由等腰直角三角形,结合D为AC中点可得AD=BD=CD,BD⊥AC,可求∠A=∠DBF=45º,由DE⊥DF,可得∠ADE=∠BDF,再证△ADE≌△BDF(ASA)即可;(2)由△ADE≌△BDF得DE=DF,由DE⊥DF,可证△DEF是等腰直角三角形即可;(3)由AC=,利用勾股定理AB=BC,当点E与点A重合时EF最大=4,当DE⊥AB时,由∠DEB=∠B=∠EDF=90º,DE=DF,可证四边形EBFD正方形,可得EF最小=BD=,即可求出EF的取值范围为≤EF≤4.解:(1)证明:连结BD,∵在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,∴∠A=∠C=45º,∵D是AC的中点,∴AD=BD=CD,BD⊥AC,∴∠DBC=∠DBA=45º,∴∠A=∠DBF=45º,∵DE⊥DF,∴∠ADE+∠EDB=90°,∠EDB+∠BDF=90°,∴∠ADE=∠BDF,∴△ADE≌△BDF(ASA),∴AE=BF,,(2)∵△ADE≌△BDF,∴DE=DF,∵DE⊥DF,∴△DEF是等腰直角三角形,∴∠DEF=∠DFE=45°;(3)若AC=,在Rt△ABC中,由勾股定理AB=BC=,当点E与点A重合时EF最大=4,当DE⊥AB时,∵∠DEB=∠B=∠EDF=90º,DE=DF,四边形EBFD正方形,EF最小=BD=,EF的取值范围为≤EF≤4.本题考查等腰直角三角形的性质与判定,三角形全等判定与性质,正方形的判定与性质,勾股定理,掌握等腰直角三角形的性质与判定方法,三角形全等判定的方法与性质,正方形的判定方法与性质,勾股定理的应用是解题关键.25.(1)见解析;(2)【解析】(1)延长EB至点G,使BG=DF,连接AG,根据题意易证△ADF≌△ABG(SAS),即可得到AG=AF,∠GAB=∠FAD.即可证明△GAE≌△FAE(SAS),即得到EF=BE+DF.(2)作AM⊥BC点M,连接BE,易证四边形AMCD是正方形,即可得到AD=CD=MC=10,,MB=4.再由(1)的结论得BE=MB+DE,设DE=,则EC=,BE=.在Rt△BCE中,结合勾股定理即可列出关于x的方程,求出x即可.(1)如图,延长EB至点G,使BG=DF,连接AG.在△ADF和△ABG中,,∴△ADF≌△ABG(SAS).∴AG=AF,∠GAB=∠FAD,∵,∴,∴,即.在△GAE和△FAE中,,∴△GAE≌△FAE(SAS),∴EG=EF,即EF=BE+BG=BE+DF.(2)如图,作AM⊥BC点M,连接BE,由题意可知四边形AMCD是正方形,∴AD=CD=MC=10,MB=4.由(1)知BE=MB+DE.设DE=,则EC=,BE=.在Rt△BCE中,,即,解得:,即DE=,本题考查三角形全等的判定和性质,正方形的判定和性质以及勾股定理.作出常用的辅助线是解答本题的关键.26.或【解析】首先根据题意作图,注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上,然后由菱形的性质可得AD∥BC,则可证得△MAE∽△MCB,根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案.解:∵菱形ABCD的边长是3,∴AD=BC=3,AD∥BC,如图①:当E在线段AD上时,∴AE=AD-DE=3-1=2,∴△MAE∽△MCB,∴;如图②,当E在AD的延长线上时,∴AE=AD+DE=3+1=4,∴△MAE∽△MCB,∴.∴的值是或.故答案为或.,此题考查了菱形的性质,相似三角形的判定与性质等知识.解题的关键是注意此题分为E在线段AD上与E在AD的延长线上两种情况,小心不要漏解.27.≤AE≤【解析】取BC中点O,利用勾股定理以及直角三角形的性质分别求得AO和OE,再利用三角形三边关系即可求解.解:取BC中点O,连接OA、OE,∵△ABC正三角形,且AB=6,∴AO⊥BC,BO=OC=BC=AB=3,∴AO=,在△OAE中,OA-OE

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所属: 初中 - 数学
发布时间:2021-09-04 20:58:42 页数:47
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文章作者:likeziyuan

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