有理数 基础知识详解+基本典型例题解析(60页）

有理数目录一、有理数的意义二、数轴与相反数三、绝对值四、有理数的加减法五、有理数的乘除六、有理数的乘方及混合运算七、科学记数法与近似数八、《有理数》全章复习与巩固一、有理数的意义要点梳理+基本典型例题解析【学习目标】1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；3.掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．【要点梳理】要点一、正数与负数像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．要点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：　　　　　　要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．【典型基础例题】,类型一、正数与负数1．（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（　　）A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【答案】C【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．故选：C．【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．举一反三：【变式1】（2015•太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（　　）A．50.0千克B．50.3千克C．49.7千克D．49.1千克【答案】D．解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________表示，0元表示__________.　(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出.(2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）．　　A．－20m　　　B．－40m　　　C．20m　　　D．40m【答案】B2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0（1）这8名男生有百分之几达到标准？（2）他们共做了多少引体向上？【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：；答：这8名男生有62.5%达到标准.（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）答：他们共做了引体向上56个.,【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.类型二、有理数的分类3．下面说法中正确的是()．A．非负数一定是正数．B．有最小的正整数，有最小的正有理数．C．一定是负数．D．正整数和正分数统称正有理数．【答案】D【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B)最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当为负数或0时，则为正数或0，而不是负数；(D)对【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（）（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（）（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）【答案】√，，，【变式2】下列四种说法，正确的是().　　(A)所有的正数都是整数　　　　　　(B)不是正数的数一定是负数　　(C)正有理数包括整数和分数　　　　(D)0不是最小的有理数【答案】D4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.　　　　　　1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,，.　　　　　　正整数集合:{　　　　　…}，负整数集合:{　　　　　…}，　　　　　　整数集合:{　　　　　…}，正分数集合:{　　　　…}，负分数集合:{　　　　　　…}，分数集合:{　　　　　…}，非负数集合：{　　　　　　…}，非正数集合：{　　　　　…}.【答案】正整数：1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；　　负分数：-3.88，；,分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，；非负数：1,0.0708，3.14159265，0，；非正数：-700,-3.88,0,【解析】【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.举一反三：【变式】（2014秋•惠安县期末）在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有　　个．【答案】2.类型三、探索规律5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是粒.【答案】()【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：，，，，，按此规律，第n组应该有种子数（）粒.【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.举一反三：【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，，根据这个规律，那么第2010个数是：【答案】-3【变式2】观察下列有规律的数：根据其规律可知第9个数是：【答案】,二、数轴与相反数要点梳理+基本典型例题解析【学习目标】1．理解数轴的概念及三要素；2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；3．会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；4.掌握多重符号的化简.【要点梳理】要点一、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点诠释：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．2.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如.要点诠释：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.要点二、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）互为相反数的两数和为0.要点三、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4.要点诠释：　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.一、【典型基础例题】（1）类型一、数轴的概念,1．如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是()A．(1)(2)(3)B．(2)(3)(4)C．只有(2)D．(1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头.【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．类型二、相反数的概念2．（2015•宜宾）﹣的相反数是（　　）A．5B．C．﹣D.-5【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.【答案】B【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变.举一反三：【变式1】填空：(1)－(－2.5)的相反数是；(2)是-100的相反数；(3)是的相反数；(4)的相反数是-1.1；(5)8.2和互为相反数.（6）a和互为相反数.（7）______的相反数比它本身大，______的相反数等于它本身．【答案】（1）－2.5；（2）100；（3）；（4）1.1；（5）-8.2；（6）-a；（7）负数，0.【变式2】下列说法中正确的有()①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等．A.0个B.1个C.2个D.3个或更多【答案】B3．（2016•泰安模拟）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是（　　）A．点AB．点BC．点CD．点D,【思路点拨】考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据定义，结合数轴进行分析．【答案】A【解析】解：∵表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2分别位于原点的左右两侧，∴在A，B，C，D这四个点中满足以上条件的是A．故选A．【总结升华】本题考查了互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离相等．类型三、多重符号的化简4.化简下列各数中的符号．（1）（2）-(+5)（3）-(-0.25)（4）（5）-[-(+1)]（6）-(-a)【答案】(1)（2）-(+5)＝-5（3）-(-0.25)＝0.25（4）（5）-[-(+1)]＝-(-1)＝1(6)-(-a)＝a【解析】(1)表示的相反数，而的相反数是，所以；（2）-(+5)表示+5的相反数，即-5，所以-(+5)=-5；（3）-(-0.25)表示-0.25的相反数，而-0.25的相反数是0.25，所以-(-0.25)＝0.25；（4）负数前面的“+”号可以省略，所以；（5）先看中括号内-(+1)表示1的相反数，即-1，因此-[-(+1)]＝-(-1)而-(-1)表示-1的相反数，即1，所以-[-(+1)]＝-(-1)=1；(6)-(-a)表示-a的相反数，即a．所以-(-a)=a【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．类型四、利用数轴比较大小5．在数轴上表示2.5，0，，-1，-2.5，,，3有理数，并用“＜”把它连接起来．【答案与解析】如图所示，点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5，0，，-1，-2.5，，3．由上图可得：∴【总结升华】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小．举一反三：【变式1】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（　　）A．b﹣a＞0B．﹣b＜0C．﹣a＞﹣bD．﹣ab＜0【答案】D【变式2】填空：大于且小于的整数有______个；比小的非负整数是____________．【答案】11；0，1，2，3类型五、数轴与相反数的综合应用（数形结合的应用）6．已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a，b(a＜b)并且A、B两点间的距离是，求a、b两数．【思路点拨】因为a、b两数互为相反数(a＜b)，所以表示a，b的两点A、B离原点的距离相等，而A、B两点间的距离是，所以A、B两点到原点的距离就是．【答案与解析】解：由题意A、B两点到原点的距离都是：而a＜b，所以，．【总结升华】(1)理解相反数的几何意义．(2)从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数关于原点对称．举一反三：,【变式】填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有________个．【答案】（1）±5，提示：要注意两种情况，原点左右各一个点；（2）5，提示：画出数轴，容易看出-3和3之间的整数是-2，-1，0，1，2共5个．二、【典型基础例题】（2）类型一、数轴的概念1.小明的家与他上学的学校、书店依次坐落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边100米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着又向西走了100米到达超市，试用数轴表示出小明的家、学校、书店、超市的位置．【思路点拨】我们把小明行走的过程想象为点在数轴上移动的过程，使问题化难为易.用数轴表示数时，要根据实际需要，每个单位表示的数可大可小，但整体要保持统一.【答案与解析】以学校作为数轴的原点，向东的方向即学校的东边为正方向，把20米作为单位长度，所以学校、家、书店和超市的位置如图所示．【总结升华】原点，正方向，单位长度三者缺一不可.举一反三：【变式】如图为北京地铁的部分线路．假设各站之间的距离相等且都表示为一个单位长．现以万寿路站为原点，向右的方向为正，那么木樨地站表示的数为________，古城站表示的数为________；如果改以古城站为原点，那么木樨地站表示的数变为________．【答案】3，-5，8类型二、相反数的概念2．（2016•哈尔滨模拟）在数轴上到表示3的点距离为5个单位长度的正数是（　　）A．﹣2B．8C．﹣2或8D．5【思路点拨】因为在数轴上与某一点距离相等的点有两个，分别在该点的两侧，本题正确选项必须符合两个条件，所以借助数轴分析即可求解.【答案】B【解析】解：因为在数轴上到表示3的点距离为5个单位长度的点有两个:A和B，如下图所示：而点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，又因为8为正数，,故正确答案选:B.【总结升华】本题考查了正负数的概念以及数轴上的点与有理数的对应关系，借助数轴分析求解比较好．举一反三：【变式1】(1)如果a＝－13，那么－a＝______；(2)如果－a＝－5.4，那么a＝______；(3)如果－x＝－6，那么x＝______；(4)－x＝9，那么x＝______.【答案】（1）13；（2）；（3）6；（4）-9【变式2】－4的倒数的相反数是（）A．－4B．4C．－D．【答案】D【变式3】填空：(1)－(－2.5)的相反数是；(2)是-100的相反数；(3)是的相反数；(4)的相反数是-1.1；(5)8.2和互为相反数；（6）a和互为相反数.（7）______的相反数比它本身大，______的相反数等于它本身．【答案】(－2.5)；100；；1.1；-8.2；-a；负数；03．已知互为相反数，则．【答案】2【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知，代入上式可得：.【总结升华】若互为相反数，则或.举一反三：【变式】已知与互为相反数，求的值.【答案】因为互为相反数的两个数的和为0，所以，解得：.类型三、多重符号的化简,4．化简：（1）﹣{+[﹣（+3）]}；（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}．【解析】解：（1）原式=﹣{+[﹣3]}=﹣{﹣3}=3；（2）原式=﹣{﹣[﹣（﹣3）]}=﹣{﹣[+3]}=﹣{﹣3}=3．【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．举一反三：【变式】当+6前面有2011个正号时，化简结果为：；当+6前面有2011个负号时，化简结果为：；当+6前面有2012个负号时，化简结果为：.【答案】6；-6；6类型四：利用数轴比较大小5．若p，q两数在数轴上的位置如下图所示，请用“＜”或“＞”填空．①p______q；②－p______0；③－p______－q；④－p______q；【答案】>;<;<;>【解析】根据相反数的几何意义，将p，q，-p,-q均表示在数轴上，如下图：然后再根据数轴上右边的数比左边的数大，及原点右边的点表示大于0的正数，而原点左边的点表示小于0的负数，可得上述答案.【总结升华】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数.举一反三：【变式】（2015•东城区二模）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（　　）A.点B与点DB.点A与点CC.点A与点DD.点B与点C【答案】C.类型五、数形结合的应用6．点A在数轴上，若将A向左移动4个单位长度，再向右移动2个单位长度，此时A点所表示的数是原来A点所表示的数的相反数，原来A点表示的是什么数?把你的研究过程在数轴上表示出来．【思路点拨】根据数轴是以向右为正方向，故数的大小变化和平移变化之间的规律：左减右加．,【答案与解析】解：如图所示，B点表示A点移动后的位置．则AB＝2．因为A、B表示一对相反数．所以原点O是AB的中点，AO＝OB，所以A点表示1．【总结升华】先画出数轴，根据数轴理解题目中的数量关系，将有利于问题的解决.三、绝对值要点梳理+基本典型例题解析【学习目标】1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4.理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数－数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3.作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．,4.求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．5.倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.一、【典型基础例题】（1）类型一、绝对值的概念1．求下列各数的绝对值．，-0.3，0，【思路点拨】，-0.3，0，在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．【答案与解析】解法一：因为到原点距离是个单位长度，所以．因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．因为到原点的距离是个单位长度，所以．解法二：因为，所以．因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0．因为，所以．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．2．（2015•毕节市）下列说法正确的是（　　）A.一个数的绝对值一定比0大B.一个数的相反数一定比它本身小C.绝对值等于它本身的数一定是正数D.最小的正整数是1【答案】D．【解析】A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；,B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；D、最小的正整数是1，正确．【总结升华】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义，正确掌握它们的区别是解题关键．举一反三：【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3．【变式2】（2015•镇江）已知一个数的绝对值是4，则这个数是　　．【答案】±4.【变式3】数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．【答案】6或-6类型二、比较大小3．（2016春•上海校级月考）比较大小：　　﹣（﹣1.8）（填“＞”、“＜”或“=”）．【思路点拨】先化简，再比较大小，即可解答．【答案】＜．【解析】解：|﹣1|=1=1.75，﹣（﹣1.8）=1.8，∵1.75＜1.8，∴|﹣1|＜﹣（﹣1.8），故答案为：＜．【总结升华】本题考查了有理数大小比较，解决本题的关键是掌握绝对值的化简以及多重复号的化简方法．举一反三：【变式1】比大小：______；-|-3.2|______-(+3.2)；0.0001______－1000；______－1.384；－π______－3.14．【答案】＞；=；＞；＞；＜【变式2】下列各数中，比－1小的数是（）A．0B．1C．－2D．2【答案】C【变式3】数a在数轴上对应点的位置如图所示，则a，-a，-1的大小关系是()．,A．-a＜a＜-1B．-1＜-a＜aC．a＜-1＜-aD．a＜-a＜-1【答案】C类型三、绝对值非负性的应用4.已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0且|2-m|≥0，|n-3|≥0所以|2-m|＝0，|n-3|＝0即2-m＝0，n-3＝0所以m＝2，n＝3故m-2n＝2-2×3＝-4．【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．类型四、绝对值的实际应用5．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．【点评】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：+0.0018-0.0023+0.0025-0.0015+0.0012+0.0010请用绝对值知识说明：(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶．(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】小虫爬行的总路程为：,|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)．小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)．二、【典型基础例题】（2）类型一、绝对值的概念1．计算：（1）（2）|-4|+|3|+|0|（3）-|+(-8)|【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.解：(1)，(2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，(3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．2．（2015•娄底）若|a﹣1|=a﹣1，则a的取值范围是（　　）A.a≥1B.a≤1C.a＜1D.a＞1【思路点拨】根据|a|=a时，a≥0，因此|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，即可求得a的取值范围．【答案】A【解析】解：因为|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，解得：a≥1，【总结升华】此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．举一反三：【变式1】（2015•重庆校级模拟）若a＞3，则|6﹣2a|=　　（用含a的代数式表示）．【答案】2a-6【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．如果｜x－2｜＝1，那么x＝；如果｜x｜＞3，那么x的范围是．【答案】6或-6；1或3；或【变式3】已知|a|＝3，|b|＝4，若a，b同号，则|a+b|＝_________；若a，b异号，则|a+b|＝________．据此讨论|a+b|与|a|+|b|的大小关系．【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，由此可得：|a+b|≤|a|+|b|.,类型二、比大小3．比较下列每组数的大小：(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)与；(4)与．【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．【答案与解析】解：(1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．(3)化简得：．这是两个负数比较大小，因为，，且．所以．(4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为|-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．举一反三：【变式1】比大小：（1）－0.3（2）．【答案】＞；＞【变式2】比大小：（1）______－1.384；（2）－π___－3.14．【答案】＞；＜【变式3】若m＞0，n＜0，且|m|＞|n|，用“＞”把m，-m，n，-n连接起来．【答案】解法一：∵m＞0，n＜0，∴m为正数，-m为负数，n为负数，-n为正数．又∵正数大于一切负数，且|m|＞|n|，∴m＞-n＞n＞-m．解法二：因为m＞0，n＜0且|m|＞|n|，把m，n，-m，-n表示在数轴上，如图所示．∵数轴上的数右边的数总比左边的数大，,∴m＞-n＞n＞-m．类型三、含有字母的绝对值的化简4.（2016春•都匀市校级月考）若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|=　．【思路点拨】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．【答案】2x﹣3．【解析】解：原式=x+1﹣（﹣x+4），=x+1+x﹣4，=2x﹣3.【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x﹣4的正负性．举一反三：【变式1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：　　　　　　　化简：.【答案】解：由图所示，可得．　　∴，，，　　∵　　　　　．　　∴原式．【变式2】求的最小值．【答案】解法一：当时，则当时，则当时，则综上：当时，取得最小值为：5.解法二：借助数轴分类讨论：①；②；③.,　　　　的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和．　　　　　　　　　　　　由图明显看出时取最小值．所以，时，取最小值5.类型四、绝对值非负性的应用5.已知a、b为有理数，且满足：，则a=_______，b=________．【答案与解析】由，，，可得∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．举一反三：【变式1】已知，则x的取值范围是________．【答案】；提示：将看成整体，即，则，故，．【变式2】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．【答案】解：由题意得∴所以，类型五、绝对值的实际应用6．,正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案与解析】解：因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【总结升华】绝对值越小，越接近标准.四、有理数的加减法要点梳理+基本典型例题解析【学习目标】1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号．要点二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．要点诠释：,将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.【典型基础例题】（1）类型一、有理数的加法运算1．计算：(1)(+20)+(+12)；(2)；(3)(+2)+(-11)；(4)(-3.4)+(+4.3)；(5)(-2.9)+(+2.9)；(6)(-5)+0．【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；(2)(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9(4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9(5)(-2.9)+(+2.9)＝0；(6)(-5)+0＝-5．【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．举一反三：【变式1】计算：【答案】【变式2】计算：（1）(+10)+(-11)；（2）【答案】（1）(+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1；（2）,类型二、有理数的减法运算2．计算：(1)(-32)-(+5)；(2)(+2)-(-25)．【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．【答案与解析】法一：法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.举一反三：【变式】（2015•泰安）若（　　）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（　　）　A．﹣1B．1C．5D．﹣5【答案】B．根据题意得：3+（﹣2）=1，则1﹣（﹣2）=3.类型三、有理数的加减混合运算3．（2016春•浦东新区期中）计算：3.8+4﹣（+6）+（﹣8）【思路点拨】根据有理数的加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法，求解即可．【答案与解析】解：原式=（3.8﹣6.8）+（4﹣8）=﹣3﹣4=﹣7，【总结升华】本题考查了有理数的加减混合运算的知识，如果在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．举一反三：【变式】用简便方法计算：(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7)(2)2,【答案】(1)原式=[(-3.8)+(-4.2)]+[(-2.4)+(-0.7)+(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2(2)原式=（2-1-4）+（--+-）=-3+[-++(--)]=-3-1=-4类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用4.邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km到达A村，继续向南骑行3km到达B村，然后向北骑行9km到C村，最后回到邮局．（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1cm表示1km，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；（2）C村离A村有多远？（3）邮递员一共骑了多少千米？【思路点拨】（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向用1cm表示1km，按此画出数轴即可；（2）可直接算出来，也可从数轴上找出这段距离；（3）邮递员一共骑了多少千米？即数轴上这些点的绝对值之和．【答案与解析】解：（1）依题意得，数轴为：；（2）依题意得：C点与A点的距离为：2+4=6（千米）；（3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18（千米）．【总结升华】本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力，只要掌握数轴的基本知识即可．举一反三：【变式1】华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束后各组的得分如下表：第1组第2组第3组第4组第5组100150350-400-100(1)第一名超过第二名多少分?(2)第一名超过第五名多少分?【答案】由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名-400分．(1)350-150＝200(分)(2)350-(-400)＝350+400＝750(分)答：第一名超过第二名200分；第一名超过第五名750分．【变式2】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克),答：出售的粮食共1594千克．【典型基础例题】（2）类型一、有理数的加法运算1．（2015秋•江都市月考）阅读下题的计算方法．计算．解：原式===0+（﹣）=﹣上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：．【思路点拨】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．【答案与解析】解：原式=[（﹣2011）+（﹣）]+[（﹣2010）+（﹣）]+[4022+]+[（﹣1）+（﹣）]=[（﹣2011）+（﹣2010）+4022+（﹣1）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]=0+（﹣）=﹣．【总结升华】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．举一反三：【变式1】计算：(1)-7+10；(2)(-)+(-7.3)；(3)1+(-2)；(4)7+(-3.8)+(-7.2)【答案】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=；（4）原式=【变式2】计算：,【答案】【变式3】计算：．【答案】解法一：→同号的数一起先加．解法二：→同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加．类型二、有理数的减法运算2．(1)2-(-3)；(2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)；(3)．【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．(1)2-(-3)＝2+3＝5(2)原式＝0+3.72+(-2.72)+4＝(0+4)+(3.72-2.72)＝4+1＝5（3）原式=【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.类型三、有理数的加减混合运算3．计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；（2）11-12+13-15+16-18+17；（3）,（4）（5）；（6）【答案与解析】（1）观察各个加数，可以发现-3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；4.18、-2.93与-1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便．解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72＝(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23＝0+0-1.23＝-1.23（2）把正数和负数分别分为一组．解：11-12+13-15+16-18+17＝(11+13+16+17)+(-12-15-18)＝57+(-45)＝12（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．解：（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；-3.87与3.37的和为-0.5，把它们分为一组；与易于通分，把它们分为一组；与同分母，把它们分为一组．解：（5）先把整数分离后再分组．解：注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如．（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．,解：【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.举一反三：【变式】5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）]．【答案】解：原式=5.6+0.9+4.4+8.1=19．类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用4.“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15；（2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．【答案与解析】解：（1）15÷3=5，∴最中间的数是5，其它空格填写如图1；（2）如图2所示．【总结升华】本题考查了有理数加法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键．举一反三：【变式】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克),答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．五、有理数的乘除要点梳理+基本典型例题解析【学习目标】1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；2.理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；3.巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；4.培养观察、分析、归纳及运算能力.【要点梳理】要点一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点诠释：(1)不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2.有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3.有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．要点二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；,(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2.有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．【典型基础例题】（1）类型一、有理数的乘法运算1．（2015•台湾）算式（﹣1）×（﹣3）×之值为何？（　　）　A．B．C．D．【思路点拨】根据有理数的乘法法则，先确定符号，然后把绝对值相乘即可【答案】D．【解析】解：原式=××=.【总结升华】本题考查的是有理数的乘法，掌握乘法法则是解题的关键，计算时，先确定符号，然后把绝对值相乘．2.(1)；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．,(1)；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．3.运用简便方法计算：(1)(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4(3)【思路点拨】(1)根据题目特点，可以把折成，再运用乘法分配律进行计算．(2)运用乘法结合律，把第1、4个因式结合在一起．(3)逆用乘法分配律：ab+ac＝a(b+c)．【答案与解析】解：(1)（分配律）(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4＝（-4×0.25）×[0.5×(-100)]（交换律）＝-1×(-50)＝50（结合律）(3)（逆用乘法的分配律）【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合．举一反三：【变式1】计算16.8×+7.6×的结果是　　．【答案】7．,解：原式=8.4×=（8.4+7.6）×=16×=7．【变式2】；【答案】（类型二、有理数的除法运算4．计算：(1)(-32)÷(-8)（2）【答案与解析】(1)(-32)÷(-8)＝+(32÷8)=4……用法则二进行计算．(2)……用法则一进行计算．【总结升华】(1)乘法、除法的符号法则是一致的，两数相乘除，同号得正，异号得负；(2)除法的两个法则是一致的，应学会灵活选择．举一反三：【变式】计算：（1）【答案】原式类型三：有理数的乘除混合运算5.（2015秋•德惠市校级期中）计算：（﹣2）×．【思路点拨】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．【答案与解析】解：原式=2××3×3=9．【总结升华】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．举一反三：【变式1】计算：(-9)÷(-4)÷(-2),【答案】(-9)÷(-4)÷(-2)＝-9÷4÷2＝【变式2】计算：(1)(2)【答案】(1)(2)类型四、有理数的加减乘除混合运算6.计算（1）；（2）【答案与解析】（1）=6-2+9-5=8（2）法1：原式=法2：由（1）知：，所以【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决．举一反三：【变式】【答案】原式,类型五：利用有理数的加减乘除，解决实际问题7.气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低6℃．如果现在地面的气温是27℃，那么8000米的高空的气温大约是多少?【思路点拨】解决此题的关键是明确高度变化与气温变化的关系．由于“高度每增加1000米，气温就降低6℃”，8000米的高空比地面高度增加8000米，因此气温降低6×8＝48℃，由此便可求出高空的气温．【答案与解析】解：(℃)因此8000米的高空的气温大约是-21℃．【总结升华】本题是生活实际中的问题，关键是读懂题意，弄清各数量之间的关系，再列出正确的算式．【典型基础例题】（2）类型一、有理数的乘法运算1．计算：(1)；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．(1)；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号.2.（2015秋•碑林区期中）简便计算：（1）（﹣48）×0.125+48×（2）（）×（﹣36）【思路点拨】（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案；（2）运用乘法分配律进行计算即．,【答案与解析】解：（1）（﹣48）×0.125+48×=48×（﹣+﹣）=48×0=0；（2）（）×（﹣36）=﹣20+27﹣2=5．【总结升华】此题考查了有理数的乘法，用到的知识点是乘法的分配律，解题的关键是运用乘法分配律进行计算．举一反三：【变式】用简便方法计算：(1)；(2)．【答案】（1）原式．(2)＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2＝-3.14×(35.2+46.6+18.2)＝-3.14×100＝-314．类型二、有理数的除法运算3．计算：【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．【答案与解析】,解：【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果．举一反三：【变式】计算：【答案】原式类型三、有理数的乘除混合运算4.计算：【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，再应按从左到右的顺序进行．举一反三：【变式】计算：【答案】类型四、有理数的加减乘除混合运算5.计算：【答案与解析】方法1：方法2：所以,【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决，如果按a÷(b+c)＝a÷b+a÷c进行分配就错了．举一反三：【变式】观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，那么计算：=　　．【答案】解：==．类型五、含绝对值的化简6.已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出的值吗?【思路点拨】先分别确定a、b、c的取值，再代入求值．【答案与解析】解：分四种情况：(1)当a、b、c三个数都为正数时，；(2)当a、b、c三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a为负数，b、c为正数，；(3)当a、b、c三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a为正数，b、c为负数，；(4)当a、b、c三个数都为负数时，综上，的值为：【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论.举一反三：,【变式】计算的取值.【答案】(1)当a＞0、b＞0时，；(2)当a＜0、b＜0时，；(3)当a＞0，b＜0时，；(4)当a＜0，b＞0时，．综上，的值为：六、有理数的乘方及混合运算要点梳理+基本典型例题解析【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3.进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：.在中，叫做底数，n叫做指数.要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．,要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．【典型基础例题】（1）类型一、有理数乘方1.把下列各式写成幂的形式：(1)；(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5；(3)．【答案与解析】(1)；(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5＝(-3.7)4×52；(3)【总结升华】乘方时，当底数是分数、负数时，应加上括号.2．计算：（1）（2）（3）（4）（5）　（6）（7）（8）【答案与解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；,（6）；（7）；（8）【总结升华】与不同，，而表示的n次幂的相反数．举一反三：【变式1】计算：(1)(-4)4(2)23(3)(4)(-1.5)2【答案】(1)(-4)4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256；(2)23＝2×2×2=8；(3)(4)(-1.5)2=(-1.5)×(-1.5)=2.25【变式2】（2015•长沙模拟）比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　）　A．它们底数相同，指数也相同　B．它们底数相同，但指数不相同　C．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同　D．虽然它们底数不同，但运算结果相同【答案】D．解：比较（﹣4）3=（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）=﹣64，﹣43=﹣4×4×4=﹣64，底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同.类型二、乘方的符号法则3．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，，-(-2)2010【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．【总结升华】,“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．举一反三：【变式】计算：(-1)2009的结果是()．A．-lB．1C．-2009D．2009【答案】A类型三、有理数的混合运算4.（2016春•滨海县校级月考）计算：（1）4×（﹣）×3﹣|﹣6|；（2）（﹣1）3×（﹣12）÷[（﹣4）2+2×（﹣5）]．【思路点拨】（1）原式先计算乘法及绝对值运算，再计算加减运算即可得到结果；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．【答案与解析】解：（1）原式=12×（﹣）﹣6=﹣6﹣9+30﹣6=9；（2）原式=﹣1×（－12）÷（16－10）=12÷6=2．【总结升华】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．举一反三：【变式1】计算：【答案】原式【变式2】计算：【答案】原式5.（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】逆用分配律可得：,，所以答案为：C【总结升华】当几项均为幂的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的幂的形式.举一反三：【变式】计算：【答案】类型四、探索规律6.（2014秋•埇桥区校级期中）你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到根面条，第5次捏合抻拉得到根面条，第次捏合抻拉得到根面条，要想得到64根细面条，需次捏合抻拉.第1次第2次第3次【答案】8;32;;6【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：第1次：；第2次：；第3次：；…；第次：.第3次捏合抻拉得到面条根数：，即8根；第5次得到：，即32根；第次捏合抻拉得到；因为，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．举一反三：【变式】已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面的规律，试猜想22008的末位数字是________．【答案】6.【典型基础例题】（2）类型一、有理数的乘方,1.（2016•虞城县一模）下列各数：①﹣12；②﹣（﹣1）2；③﹣13；④（﹣1）2，其中结果等于﹣1的是（　　）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【思路点拨】原式各项计算得到结果，即可作出判断．【答案】A．【解析】解：①﹣12=﹣1，符合题意；②﹣（﹣1）2=﹣1，符合题意；③﹣13=﹣1，符合题意；④（﹣1）2=1，不符合题意．故选A．【总结升华】注意与的意义的区别．（n为正整数），（n为正整数）．举一反三：【变式1】比较(-5)3与-53的异同．【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；不同点：(-5)3表示-5的3次方，即(-5)×(-5)×(-5)＝-125，而-53表示5的3次方的相反数，即-53＝-(5×5×5)．因此，它们的底数不同，表示的意义不同．【变式2】（2015•杭州模拟）若n为正整数，（﹣1）2n=（　　）　A．1B．﹣1C．2nD．不确定【答案】A．因为n为正整数，2n一定是偶数，所以（﹣1）2n=1.类型二、乘方运算的符号法则2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，，-(-2)2010【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．举一反三：【变式】当n为奇数时，．【答案】0类型三、有理数的混合运算,3.计算：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)（3）；（4）【答案与解析】（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]＝-9+(-8)÷(-3+5)＝-9+(-8)÷2＝-9+(-4)＝-13（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24)＝[72×(7-6)-1]÷(-24)＝(49-1)÷(-24)＝-2（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.原式（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．举一反三：【变式】计算：（1）（2）,（3）（4）【答案】（1）原式或原式=（1-1+）（2-9）（2）原式(3)原式=-32-3+66-9=22(4)原式4.计算：【答案与解析】逆用分配律可得：【总结升华】灵活运用运算律，简化运算.另外有举一反三：【变式1】计算：【答案】原式=【变式2】计算：【答案】,类型四、探索规律5.（2015•滕州市校级二模）求1+2+22+23+…+22013的值，可令S=1+2+22+23+…+22013，则2S=2+22+23+…+22014，因此2S﹣S=22014﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52014=　　．【答案】解：设S=1+5+52+53+…+52014，则5S=5+52+53+…+52015，5S﹣S=（5+52+53+…+52015）﹣（1+5+52+53+…+52014）=52015﹣1，所以，S=．【总结升华】根据题目信息，设S=1+5+52+53+…+52014，表示出5S=5+52+53+…+52015，然后相减求出S即可．举一反三：【变式】观察下面三行数：①-3，9，-27，81，-243，729，…②0，12，-24，84，-240，732，…③-1，3，-9，27，-81，243，…(1)第①行数按什么规律排列?(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和．【答案】(1)第①行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…；(2)第②行数是第①行数相应的数加3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，…；第③行数是第①行数相应的数的，即，，，，…；(3)每行数中的第10个数的和是：59049+59052+19683＝137784．七、科学记数法与近似数要点梳理+基本典型例题解析【学习目标】1.理解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示一个较大的数；2.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度；3.体会近似数在生活中的实际应用.【要点梳理】要点一、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤|,|＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.要点诠释：（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.要点二、近似数及精确度1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.2.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米.【典型基础例题】类型一、科学记数法1.（2016•山西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（　　）A．5.5×106千米B．5.5×107千米C．55×106千米D．0.55×108千米【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【答案】B．【解析】解：5500万=5.5×107．故选：B．【总结升华】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．举一反三：【变式】（2015•酒泉）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（　　）　A．0.675×105B．6.75×104C．67.5×103D．675×102【答案】B．,2.把下列用科学记数法表示的数转化成原数.（1）；（2）；（3）千米【答案与解析】此题是对科学记数法的逆用解：（1）；（2）；（3）千米=千米【总结升华】将科学记数法表示的数转化为原数，方法简单：是几就将中的小数点向右移动几位.类型二、近似数及精确度3．（2015•深圳模拟）由四舍五入法得到的近似数6.8×103，下列说法中正确的是（　　）　A．精确到十分位，有2个有效数字　B．精确到个位，有2个有效数字　C．精确到百位，有2个有效数字　D．精确到千位，有4个有效数字【思路点拨】103代表1千，那是乘号前面个位的单位，那么小数点后一位是百．有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字，用科学记数法表示的数a×10n的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．【答案】C．【解析】解：个位代表千，那么十分位就代表百，乘号前面从左面第一个不是0的数字有2个数字，那么有效数字就是2个．【总结升华】本题考查了近似数与有效数字，较大的数用a×10n表示，看精确到哪一位，需看个位代表什么；有效数字需看乘号前面的有效数字．举一反三：【变式】用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数（1）万（精确到千位）；（2）12341000（精确到万位）.【答案】解：（1）万=或表示为万；（2）12341000=.,4.下列由四舍五入得到的近似数，它们精确到哪一位.（1）（2）亿；（3）【答案与解析】解：(1)精确到百分位；（2）亿精确到百万位；（3）精确到千位.【总结升华】一般的近似数，四舍五入到哪一位就说它精确到哪一位，例：精确到百分位，则百分位就是精确度；若是汉字单位“万、千、百”类近似数，精确度是由其最后一位数所在的数位确定的，但必须先把该数写成单位为“个”位的数再确定其精确度；用形如的数，其精确度看中最后一位数在原数中的数位.类型三、近似数与精确数5．测得某同学的身高约是1.66米，那么意味着他身高的精确值x所在范围是___________________．【答案】【解析】1.66是由四舍五入得到的数，若通过“入”得到1.66，则最小数应是1.655，若通过“舍”得到1.66，则最大数不存在，但能判断小于1.665，所以.【总结升华】本类型题目的答案一般形式为：，“精确度”是用来说明结果与实际数误差大小的，如精确到表示结果与实际数字相差不大于.举一反三：【变式】近似数的准确数的取值范围是_________________.【答案】.八、《有理数》全章复习与巩固【学习目标】1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4.理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用；5.体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】,【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．,要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．要点二、有理数的运算1．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．　(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：，．2．运算律：（1）交换律:①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；（2）结合律:①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法、近似数及精确度,1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.【典型基础例题】（1）类型一、有理数相关概念1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．【答案】（1）0；(2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全.【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.举一反三：【变式】(1)的倒数是　；的相反数是　　；的绝对值是　　.-（-8）的相反数是；的相反数的倒数是_____.(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义是_；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是.(3)上海浦东磁悬浮铁路全长30km，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为m／min.(4)若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则____.(5)近似数0.4062精确到位，近似数5.47×105精确到位，近似数3.5万精确到位，3.4030×105精确到千位是.【答案】（1）；；；-8；2（2）降价5.8元，70.2元；（3）；（4）3；（5）万分；千；千；3.40×105,2．（2015春•射洪县月考）如果|x+3|+|y﹣4|=0，求x+2y的值．【思路点拨】根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后将x、y的值代入代数式化简计算即可．【答案与解析】解：∵|x+3|+|y﹣4|=0，∴x+3=0，y﹣4=0，解得，x=﹣3，y=4，x+2y=﹣3+4×2=5．【总结升华】本题考查了绝对值的性质和非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．3．在下列两数之间填上适当的不等号：________．【思路点拨】根据“a-b＞0，a-b＝0，a-b＜0分别得到a＞b，a＝b，a＜b”来比较两数的大小．【答案】＜【解析】法一：作差法由于，所以法二：倒数比较法：因为所以【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．举一反三：【变式】比较大小：(1)________0.001；(2)________-0.68【答案】（1）＜（2）＞类型二、有理数的运算4．（2016•厦门）计算：．【思路点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．【答案与解析】,解：原式=10+8×﹣2×5=10+2﹣10=2．【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．举一反三：【变式】（2014秋•埇桥区校级期中）﹣33×（﹣5）+16÷（﹣2）3﹣|﹣4×5|+（﹣0.625）2．【答案】解：原式=﹣27×（﹣5）+16÷（﹣8）﹣|﹣20|+02=135﹣2﹣20+0=113．类型三、数学思想在本章中的应用　5．（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系．A．-a＜a＜1B．1＜-a＜aC．1＜-a＜aD．a＜1＜-a　　（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．　　（3）转化思想：计算：【答案与解析】解：（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a．所以正确选项为：D．（2）因为|x|＝5，所以x为-5或5因为|y|＝3，所以y为3或-3．当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2故（x-y）的值为±2或±8（3）原式=,【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．举一反三：【变式】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么?【答案】解：当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0；　　当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0；　　当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．　　所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．类型四、规律探索6．将1，，，，，，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．【典型基础例题】（2）类型一、有理数相关概念,1．已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y|+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．【思路点拨】(1)若有理数x与y互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立．(2)若有理数m与n互为倒数，则mn＝1，反过来也成立．【答案与解析】解：因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）2≥0，所以x+y＝0，mn＝1，a＝1，所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010＝a2-a+1．∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.举一反三：【变式1】选择题（1）已知四种说法：①|a|=a时，a>0；|a|=-a时，a<0.②|a|就是a与-a中较大的数.③|a|就是数轴上a到原点的距离.④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|.其中说法正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4（2）有四个说法：①有最小的有理数②有绝对值最小的有理数③有最小的正有理数④没有最大的负有理数上述说法正确的是（）A．①②B．③④C．②④D．①②（3）已知(-ab)3>0，则（）A．ab<0B．ab>0C．a>0且b<0D．a<0且b<0（4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（）A．120B．-15C．0D．-120（5）下列各对算式中，结果相等的是（）A．-a6与(-a)6B．-a3与|-a|3C．[(-a)2]3与(-a3)2D．(ab)3与ab3【答案】（1）C；（2）C；（3）A；（4）D；(5)C【变式2】（2015•呼伦贝尔）中国的陆地面积约为9600000km2，把9600000用科学记数法表示为　　．【答案】9.6×106．2.（2016•江西校级模拟）如果m，n互为相反数，那么|m+n﹣2016|=________．【思路点拨】先用相反数的意义确定出m+n=0，从而求出|m+n﹣2016|.【答案】2016.,【解析】解：∵m，n互为相反数，∴m+n=0，∴|m+n﹣2016|=|﹣2016|=2016；故答案为2016．【总结升华】此题是绝对值题，主要考查了绝对值的意义，相反数的性质，熟知相反数的意义是解本题的关键．类型二、有理数的运算3．(1)(2)(4)(5)【答案与解析】解：（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式（5）【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac；逆向应用分配律：ab+ac＝a(b+c)等.举一反三：,【变式】（1）（2）【答案】解：（1）（2）4.先观察下列各式：；；；…；，根据以上观察，计算：,…的值．【答案与解析】解：原式【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成的形式，然后再进行计算．举一反三：【变式】用简单方法计算：【答案】解：原式=类型三、数学思想在本章中的应用5．（2014•香洲区校级二模）（1）阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是　　，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　　，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　　；,②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是　　，如果|AB|=2，那么x为　　；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　　．④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．【答案与解析】解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4．②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3．③当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时，∴x+1≥0，x﹣2≤0，∴﹣1≤x≤2．④当x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2=5，解得x=﹣2；当﹣1＜x≤2时，3≠5，不成立；当x＞2时，x+1+x﹣2=5，解得x=3．故答案为：3，3，4，|x+1|，1或﹣3，﹣1≤x≤2．【总结升华】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合的优点．类型四、规律探索6.下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是()．A．495B．497C．501D．503【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和．【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为362486248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来．,举一反三：【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（）．A．B．C．D．【答案】B提示：观察发现：分子总是1，第n行的第一个数的分母就是n，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的倍．根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是．