首页

有理数 基础知识详解+基本典型例题解析(60页)

资源预览文档简介为自动调取,内容显示的完整度及准确度或有误差,请您下载后查看完整的文档内容。

1/60

2/60

剩余58页未读,查看更多内容需下载

有理数目录一、有理数的意义二、数轴与相反数三、绝对值四、有理数的加减法五、有理数的乘除六、有理数的乘方及混合运算七、科学记数法与近似数八、《有理数》全章复习与巩固一、有理数的意义要点梳理+基本典型例题解析【学习目标】1.掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量;2.理解正数、负数、有理数的概念;3.掌握有理数的分类方法,初步建立分类讨论的思想.【要点梳理】要点一、正数与负数像+3、+1.5、、+584等大于0的数,叫做正数;像-3、-1.5、、-584等在正数前面加“-”号的数,叫做负数.要点诠释:(1)一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号,“+”常省略,但“-”不能省略.(2)用正数和负数表示具有相反意义的量时,哪种为正可任意选择,但习惯把“前进、上升”等规定为正,而把“后退、下降”等规定为负.(3)0既不是正数也不是负数,它是正数和负数的分界线.要点二、有理数的分类(1)按整数、分数的关系分类:(2)按正数、负数与0的关系分类:      要点诠释:(1)有理数都可以写成分数的形式,整数也可以看作是分母为1的数.(2)分数与有限小数、无限循环小数可以互化,所以有限小数和无限循环小数可看作分数,但无限不循环小数不是分数,例如.(3)正数和零统称为非负数;负数和零统称为非正数;正整数、0、负整数统称整数.【典型基础例题】,类型一、正数与负数1.(2016•广州)中国人很早开始使用负数,中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章,在世界数学史上首次正式引入负数.如果收入100元记作+100元.那么﹣80元表示(  )A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元【思路点拨】在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.【答案】C【解析】解:根据题意,收入100元记作+100元,则﹣80表示支出80元.故选:C.【总结升华】本题考查了正数和负数,解题关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.举一反三:【变式1】(2015•太仓市模拟)一种大米的质量标识为“(50±0.5)千克”,则下列各袋大米中质量不合格的是(  )A.50.0千克B.50.3千克C.49.7千克D.49.1千克【答案】D.解:“50±0.5千克”表示最多为50.5千克,最少为49.5千克.【变式2】(1)如果收入300元记作+300元,那么支出500元用___________表示,0元表示__________. (2)若购进50本书,用-50本表示,则盈利30元如何表示?【答案】(1)-500元;既没有收入也没有支出.(2)不是一对具有相反意义的量,不能表示.【变式3】如果60m表示“向北走60m”,那么“向南走40m”可以表示为().  A.-20m   B.-40m   C.20m   D.40m【答案】B2.体育课上,华英学校对九年级男生进行了引体向上测试,以能做7个为标准,超过的次数记为正数,不足的次数记为负数,其中8名男生的成绩如下:2,-1,0,3,-2,-3,1,0(1)这8名男生有百分之几达到标准?(2)他们共做了多少引体向上?【答案与解析】(1)由题意可知:正数或0表示达标,而正数或0的个数共有5个,所以百分率为:;答:这8名男生有62.5%达到标准.(2)(7+2)+(7-1)+7+(7+3)+(7-2)+(7-3)+(7+1)+7=56(个)答:他们共做了引体向上56个.,【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.类型二、有理数的分类3.下面说法中正确的是().A.非负数一定是正数.B.有最小的正整数,有最小的正有理数.C.一定是负数.D.正整数和正分数统称正有理数.【答案】D【解析】(A)不对,因为非负数还包括0;(B)最小的正整数为1,但没有最小的正有理数;(C)不对,当为负数或0时,则为正数或0,而不是负数;(D)对【总结升华】一个有理数既有性质符号,又有除性质符号外的数值部分,两者合在一起才表示这个有理数.举一反三:【变式1】判断题:(1)0是自然数,也是偶数.()(2)0既可以看作是正数,也可以看成是负数.()(3)整数又叫自然数.()(4)非负数就是正数,非正数就是负数.()【答案】√,,,【变式2】下列四种说法,正确的是().  (A)所有的正数都是整数      (B)不是正数的数一定是负数  (C)正有理数包括整数和分数    (D)0不是最小的有理数【答案】D4.请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.      1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,,.      正整数集合:{     …},负整数集合:{     …},      整数集合:{     …},正分数集合:{    …},负分数集合:{      …},分数集合:{     …},非负数集合:{      …},非正数集合:{     …}.【答案】正整数:1;负整数:-700;整数:1,0,-700;正分数:0.0708,3.14159265,;  负分数:-3.88,;,分数:0.0708,3.14159265,,-3.88,;非负数:1,0.0708,3.14159265,0,;非正数:-700,-3.88,0,【解析】【总结升华】填数的方法有两种:一种是逐个考察,一一进行填写;二是逐个填写相关的集合,从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念:非负数包括0和正数;非正数包括0和负数.举一反三:【变式】(2014秋•惠安县期末)在有理数、﹣5、3.14中,属于分数的个数共有  个.【答案】2.类型三、探索规律5.某校生物教师李老师在生物实验室做实验时,将水稻种子分组进行发芽试验:第1组取3粒,第2组取5粒,第3组取7粒,第4组取9粒,.按此规律,那么请你推测第n组应该有种子是粒.【答案】()【解析】第1组取3粒,第2组取5粒,第3组取7粒,第4组取9粒,,由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系:,,,,,按此规律,第n组应该有种子数()粒.【总结升华】研究一列数的排列规律时,其中的数与符号往往都与序数有关.举一反三:【变式1】有一组数列:2,-3,2,-3,2,-3,,根据这个规律,那么第2010个数是:【答案】-3【变式2】观察下列有规律的数:根据其规律可知第9个数是:【答案】,二、数轴与相反数要点梳理+基本典型例题解析【学习目标】1.理解数轴的概念及三要素;2.理解有理数与数轴上的点的关系,并会借助数轴比较两个数的大小;3.会求一个数的相反数,并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义;4.掌握多重符号的化简.【要点梳理】要点一、数轴1.定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点诠释:(1)原点、正方向和单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可.(2)长度单位与单位长度是不同的,单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段,而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位.有km、m、dm、cm等.(3)原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定,但一经选定就不能改动.2.数轴与有理数的关系:任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点不都表示有理数,还可以表示其他数,比如.要点诠释:(1)一般地,数轴上原点右边的点表示正数,左边的点表示负数;反过来也对,即正数用数轴上原点右边的点表示,负数用原点左边的点表示,零用原点表示.(2)在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.要点二、相反数1.定义:只有符号不同的两个数互为相反数;0的相反数是0.要点诠释:(1)“只”字是说仅仅是符号不同,其它部分完全相同.(2)“0的相反数是0”是相反数定义的一部分,不能漏掉.(3)相反数是成对出现的,单独一个数不能说是相反数.(4)求一个数的相反数,只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质:(1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁,且与原点的距离相等(这两个点关于原点对称).(2)互为相反数的两数和为0.要点三、多重符号的化简多重符号的化简,由数字前面“-”号的个数来确定,若有偶数个时,化简结果为正,如-{-[-(-4)]}=4;若有奇数个时,化简结果为负,如-{+[-(-4)]}=-4.要点诠释: (1)在一个数的前面添上一个“+”,仍然与原数相同,如+5=5,+(-5)=-5. (2)在一个数的前面添上一个“-”,就成为原数的相反数.如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3)=3.一、【典型基础例题】(1)类型一、数轴的概念,1.如图所示是几位同学所画的数轴,其中正确的是()A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.只有(2)D.(1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】对数轴的三要素掌握不清.(1)中忽略了单位长度,相邻两整点之间的距离不一致;(3)中负有理数的标记有错误;(4)图中漏画了表示方向的箭头.【总结升华】数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;数轴的三要素:原点、正方向、单位长度缺一不可.类型二、相反数的概念2.(2015•宜宾)﹣的相反数是(  )A.5B.C.﹣D.-5【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”,所以只要将原数的符号变为相反的符号,即可求出其相反数.【答案】B【总结升华】求一个数的相反数,只改变这个数的符号,其他部分都不变.举一反三:【变式1】填空:(1)-(-2.5)的相反数是;(2)是-100的相反数;(3)是的相反数;(4)的相反数是-1.1;(5)8.2和互为相反数.(6)a和互为相反数.(7)______的相反数比它本身大,______的相反数等于它本身.【答案】(1)-2.5;(2)100;(3);(4)1.1;(5)-8.2;(6)-a;(7)负数,0.【变式2】下列说法中正确的有()①-3和+3互为相反数;②符号不同的两个数互为相反数;③互为相反数的两个数必定一个是正数,一个是负数;④的相反数是-3.14;⑤一个数和它的相反数不可能相等.A.0个B.1个C.2个D.3个或更多【答案】B3.(2016•泰安模拟)如图,数轴上有A,B,C,D四个点,其中表示2的相反数的点是(  )A.点AB.点BC.点CD.点D,【思路点拨】考查相反数的定义:只有符号不同的两个数互为相反数.根据定义,结合数轴进行分析.【答案】A【解析】解:∵表示2的相反数的点,到原点的距离与2这点到原点的距离相等,并且与2分别位于原点的左右两侧,∴在A,B,C,D这四个点中满足以上条件的是A.故选A.【总结升华】本题考查了互为相反数的两个数在数轴上的位置特点:分别位于原点的左右两侧,并且到原点的距离相等.类型三、多重符号的化简4.化简下列各数中的符号.(1)(2)-(+5)(3)-(-0.25)(4)(5)-[-(+1)](6)-(-a)【答案】(1)(2)-(+5)=-5(3)-(-0.25)=0.25(4)(5)-[-(+1)]=-(-1)=1(6)-(-a)=a【解析】(1)表示的相反数,而的相反数是,所以;(2)-(+5)表示+5的相反数,即-5,所以-(+5)=-5;(3)-(-0.25)表示-0.25的相反数,而-0.25的相反数是0.25,所以-(-0.25)=0.25;(4)负数前面的“+”号可以省略,所以;(5)先看中括号内-(+1)表示1的相反数,即-1,因此-[-(+1)]=-(-1)而-(-1)表示-1的相反数,即1,所以-[-(+1)]=-(-1)=1;(6)-(-a)表示-a的相反数,即a.所以-(-a)=a【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单.即数一下数字前面有多少个负号.若有偶数个,则结果为正;若有奇数个,则结果为负.类型四、利用数轴比较大小5.在数轴上表示2.5,0,,-1,-2.5,,,3有理数,并用“<”把它连接起来.【答案与解析】如图所示,点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5,0,,-1,-2.5,,3.由上图可得:∴【总结升华】根据数轴的三要素先画好数轴,表示数的字母要依次对应有理数,然后根据在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大,比较大小.举一反三:【变式1】有理数a、b在数轴上的位置如图所示,下列各式不成立的是(  )A.b﹣a>0B.﹣b<0C.﹣a>﹣bD.﹣ab<0【答案】D【变式2】填空:大于且小于的整数有______个;比小的非负整数是____________.【答案】11;0,1,2,3类型五、数轴与相反数的综合应用(数形结合的应用)6.已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a,b(a<b)并且A、B两点间的距离是,求a、b两数.【思路点拨】因为a、b两数互为相反数(a<b),所以表示a,b的两点A、B离原点的距离相等,而A、B两点间的距离是,所以A、B两点到原点的距离就是.【答案与解析】解:由题意A、B两点到原点的距离都是:而a<b,所以,.【总结升华】(1)理解相反数的几何意义.(2)从相反数的意义入手,明确互为相反数的两数关于原点对称.举一反三:,【变式】填空:(1)数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________;(2)从数轴上观察,-3与3之间的整数有________个.【答案】(1)±5,提示:要注意两种情况,原点左右各一个点;(2)5,提示:画出数轴,容易看出-3和3之间的整数是-2,-1,0,1,2共5个.二、【典型基础例题】(2)类型一、数轴的概念1.小明的家与他上学的学校、书店依次坐落在一条东西走向的大街上,小明家位于学校西边30米处,书店位于学校东边100米处,小明从学校沿这条大街向东走了40米,接着又向西走了100米到达超市,试用数轴表示出小明的家、学校、书店、超市的位置.【思路点拨】我们把小明行走的过程想象为点在数轴上移动的过程,使问题化难为易.用数轴表示数时,要根据实际需要,每个单位表示的数可大可小,但整体要保持统一.【答案与解析】以学校作为数轴的原点,向东的方向即学校的东边为正方向,把20米作为单位长度,所以学校、家、书店和超市的位置如图所示.【总结升华】原点,正方向,单位长度三者缺一不可.举一反三:【变式】如图为北京地铁的部分线路.假设各站之间的距离相等且都表示为一个单位长.现以万寿路站为原点,向右的方向为正,那么木樨地站表示的数为________,古城站表示的数为________;如果改以古城站为原点,那么木樨地站表示的数变为________.【答案】3,-5,8类型二、相反数的概念2.(2016•哈尔滨模拟)在数轴上到表示3的点距离为5个单位长度的正数是(  )A.﹣2B.8C.﹣2或8D.5【思路点拨】因为在数轴上与某一点距离相等的点有两个,分别在该点的两侧,本题正确选项必须符合两个条件,所以借助数轴分析即可求解.【答案】B【解析】解:因为在数轴上到表示3的点距离为5个单位长度的点有两个:A和B,如下图所示:而点A表示的数为﹣2,点B表示的数为8,又因为8为正数,,故正确答案选:B.【总结升华】本题考查了正负数的概念以及数轴上的点与有理数的对应关系,借助数轴分析求解比较好.举一反三:【变式1】(1)如果a=-13,那么-a=______;(2)如果-a=-5.4,那么a=______;(3)如果-x=-6,那么x=______;(4)-x=9,那么x=______.【答案】(1)13;(2);(3)6;(4)-9【变式2】-4的倒数的相反数是()A.-4B.4C.-D.【答案】D【变式3】填空:(1)-(-2.5)的相反数是;(2)是-100的相反数;(3)是的相反数;(4)的相反数是-1.1;(5)8.2和互为相反数;(6)a和互为相反数.(7)______的相反数比它本身大,______的相反数等于它本身.【答案】(-2.5);100;;1.1;-8.2;-a;负数;03.已知互为相反数,则.【答案】2【解析】根据互为相反数的两个数的性质,可知,代入上式可得:.【总结升华】若互为相反数,则或.举一反三:【变式】已知与互为相反数,求的值.【答案】因为互为相反数的两个数的和为0,所以,解得:.类型三、多重符号的化简,4.化简:(1)﹣{+[﹣(+3)]};(2)﹣{﹣[﹣(﹣|﹣3|)}.【解析】解:(1)原式=﹣{+[﹣3]}=﹣{﹣3}=3;(2)原式=﹣{﹣[﹣(﹣3)]}=﹣{﹣[+3]}=﹣{﹣3}=3.【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单.即数一下数字前面有多少个负号.若有偶数个,则结果为正;若有奇数个,则结果为负.举一反三:【变式】当+6前面有2011个正号时,化简结果为:;当+6前面有2011个负号时,化简结果为:;当+6前面有2012个负号时,化简结果为:.【答案】6;-6;6类型四:利用数轴比较大小5.若p,q两数在数轴上的位置如下图所示,请用“<”或“>”填空.①p______q;②-p______0;③-p______-q;④-p______q;【答案】>;<;<;>【解析】根据相反数的几何意义,将p,q,-p,-q均表示在数轴上,如下图:然后再根据数轴上右边的数比左边的数大,及原点右边的点表示大于0的正数,而原点左边的点表示小于0的负数,可得上述答案.【总结升华】在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数.举一反三:【变式】(2015•东城区二模)如图,数轴上有A,B,C,D四个点,其中到原点距离相等的两个点是(  )A.点B与点DB.点A与点CC.点A与点DD.点B与点C【答案】C.类型五、数形结合的应用6.点A在数轴上,若将A向左移动4个单位长度,再向右移动2个单位长度,此时A点所表示的数是原来A点所表示的数的相反数,原来A点表示的是什么数?把你的研究过程在数轴上表示出来.【思路点拨】根据数轴是以向右为正方向,故数的大小变化和平移变化之间的规律:左减右加.,【答案与解析】解:如图所示,B点表示A点移动后的位置.则AB=2.因为A、B表示一对相反数.所以原点O是AB的中点,AO=OB,所以A点表示1.【总结升华】先画出数轴,根据数轴理解题目中的数量关系,将有利于问题的解决.三、绝对值要点梳理+基本典型例题解析【学习目标】1.掌握一个数的绝对值的求法和性质;2.进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义;3.会求一个数的绝对值,并会用绝对值比较两个负有理数的大小;4.理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1.定义:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|.要点诠释:(1)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即对于任何有理数a都有:(2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大;离原点的距离越近,绝对值越小.(3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.2.性质:绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或0.要点二、有理数的大小比较1.数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小.如:a与b在数轴上的位置如图所示,则a<b.2.法则比较法:两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下:两数同号同为正号:绝对值大的数大同为负号:绝对值大的反而小两数异号正数大于负数-数为0正数与0:正数大于0负数与0:负数小于0要点诠释:利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:(1)分别计算两数的绝对值;(2)比较绝对值的大小;(3)判定两数的大小.3.作差法:设a、b为任意数,若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,a<b;反之成立.,4.求商法:设a、b为任意正数,若,则;若,则;若,则;反之也成立.若a、b为任意负数,则与上述结论相反.5.倒数比较法:如果两个数都大于0,那么倒数大的反而小.一、【典型基础例题】(1)类型一、绝对值的概念1.求下列各数的绝对值.,-0.3,0,【思路点拨】,-0.3,0,在数轴上位置距原点有多少个单位长度,这个数字就是各数的绝对值.还可以用绝对值法则来求解.【答案与解析】解法一:因为到原点距离是个单位长度,所以.因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度,所以|-0.3|=0.3.因为0到原点距离为0个单位长度,所以|0|=0.因为到原点的距离是个单位长度,所以.解法二:因为,所以.因为-0.3<0,所以|-0.3|=-(-0.3)=0.3.因为0的绝对值是它本身,所以|0|=0.因为,所以.【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法:一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1),一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2),后种方法的具体做法:首先判断这个数是正数、负数还是0.再根据绝对值的意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相反数,还是0.从而求出该数的绝对值.2.(2015•毕节市)下列说法正确的是(  )A.一个数的绝对值一定比0大B.一个数的相反数一定比它本身小C.绝对值等于它本身的数一定是正数D.最小的正整数是1【答案】D.【解析】A、一个数的绝对值一定比0大,有可能等于0,故此选项错误;,B、一个数的相反数一定比它本身小,负数的相反数,比它本身大,故此选项错误;C、绝对值等于它本身的数一定是正数,0的绝对值也等于其本身,故此选项错误;D、最小的正整数是1,正确.【总结升华】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义,正确掌握它们的区别是解题关键.举一反三:【变式1】求绝对值不大于3的所有整数.【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3.【变式2】(2015•镇江)已知一个数的绝对值是4,则这个数是  .【答案】±4.【变式3】数轴上的点A到原点的距离是6,则点A表示的数为.【答案】6或-6类型二、比较大小3.(2016春•上海校级月考)比较大小:  ﹣(﹣1.8)(填“>”、“<”或“=”).【思路点拨】先化简,再比较大小,即可解答.【答案】<.【解析】解:|﹣1|=1=1.75,﹣(﹣1.8)=1.8,∵1.75<1.8,∴|﹣1|<﹣(﹣1.8),故答案为:<.【总结升华】本题考查了有理数大小比较,解决本题的关键是掌握绝对值的化简以及多重复号的化简方法.举一反三:【变式1】比大小:______;-|-3.2|______-(+3.2);0.0001______-1000;______-1.384;-π______-3.14.【答案】>;=;>;>;<【变式2】下列各数中,比-1小的数是()A.0B.1C.-2D.2【答案】C【变式3】数a在数轴上对应点的位置如图所示,则a,-a,-1的大小关系是().,A.-a<a<-1B.-1<-a<aC.a<-1<-aD.a<-a<-1【答案】C类型三、绝对值非负性的应用4.已知|2-m|+|n-3|=0,试求m-2n的值.【思路点拨】由|a|≥0即绝对值的非负性可知,|2-m|≥0,|n-3|≥0,而它们的和为0.所以|2-m|=0,|n-3|=0.因此,2-m=0,n-3=0,所以m=2,n=3.【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|=0且|2-m|≥0,|n-3|≥0所以|2-m|=0,|n-3|=0即2-m=0,n-3=0所以m=2,n=3故m-2n=2-2×3=-4.【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0,即|a|+|b|+…+|m|=0时,则a=b=…=m=0.类型四、绝对值的实际应用5.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定,下面是6个足球的质量检测结果,用正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数.检测结果(单位:克):-25,+10,-20,+30,+15,-40.裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由.【答案】因为|+10|<|+15|<|-20|<|-25|<|+30|<|-40|,所以检测结果为+10的足球的质量好一些.所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.【解析】根据实际问题可知,哪个足球的质量偏离规定质量越小,则足球的质量越好.这个偏差可以用绝对值表示,即绝对值越小偏差也就越小,反之绝对值越大偏差也就越大.【点评】绝对值越小,越接近标准.举一反三:【变式1】某企业生产瓶装食用调和油,根据质量要求,净含量(不含包装)可以有0.002L的误差.现抽查6瓶食用调和油,超过规定净含量的升数记作正数,不足规定净含量的升数记作负数.检查结果如下表:+0.0018-0.0023+0.0025-0.0015+0.0012+0.0010请用绝对值知识说明:(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量?【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶,分别是检查结果为+0.0018,-0.0015,+0.0012,+0.0010的这四瓶.(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少,最接近规定的净含量.【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程记为负数,小虫爬行的各段路程(单位:cm)依次记为:+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10,在爬行过程中,如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻,那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】小虫爬行的总路程为:,|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|=5+3+10+8+6+12+10=54(cm).小虫得到的芝麻数为54×2=108(粒).二、【典型基础例题】(2)类型一、绝对值的概念1.计算:(1)(2)|-4|+|3|+|0|(3)-|+(-8)|【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.解:(1),(2)|-4|+|3|+|0|=4+3+0=7,(3)-|+(-8)|=-[-(-8)]=-8.【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法:一种是利用绝对值的几何意义求解,一种是利用绝对值的代数意义求解,后种方法的具体做法:首先判断这个数是正数、负数还是0.再根据绝对值的代数意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相反数,还是0.从而求出该数的绝对值.2.(2015•娄底)若|a﹣1|=a﹣1,则a的取值范围是(  )A.a≥1B.a≤1C.a<1D.a>1【思路点拨】根据|a|=a时,a≥0,因此|a﹣1|=a﹣1,则a﹣1≥0,即可求得a的取值范围.【答案】A【解析】解:因为|a﹣1|=a﹣1,则a﹣1≥0,解得:a≥1,【总结升华】此题考查绝对值,只要熟知绝对值的性质即可解答.一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.举一反三:【变式1】(2015•重庆校级模拟)若a>3,则|6﹣2a|=  (用含a的代数式表示).【答案】2a-6【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6,则点A表示的数为.如果|x-2|=1,那么x=;如果|x|>3,那么x的范围是.【答案】6或-6;1或3;或【变式3】已知|a|=3,|b|=4,若a,b同号,则|a+b|=_________;若a,b异号,则|a+b|=________.据此讨论|a+b|与|a|+|b|的大小关系.【答案】7,1;若a,b同号或至少有一个为零,则|a+b|=|a|+|b|;若a,b异号,则|a+b|<|a|+|b|,由此可得:|a+b|≤|a|+|b|.,类型二、比大小3.比较下列每组数的大小:(1)-(-5)与-|-5|;(2)-(+3)与0;(3)与;(4)与.【思路点拨】先化简符号,去掉绝对值号再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两个正数还是两个负数”,然后比较.【答案与解析】解:(1)化简得:-(-5)=5,-|-5|=-5.因为正数大于一切负数,所以-(-5)>-|-5|.(2)化简得:-(+3)=-3.因为负数小于零,所以-(+3)<0.(3)化简得:.这是两个负数比较大小,因为,,且.所以.(4)化简得:-|-3.14|=-3.14,这是两个负数比较大小,因为|-π|=π,|-3.14|=3.14,而π>3.14,所以-π<-|-3.14|.【总结升华】在比较两个负数的大小时,可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值,再比较两个绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断.举一反三:【变式1】比大小:(1)-0.3(2).【答案】>;>【变式2】比大小:(1)______-1.384;(2)-π___-3.14.【答案】>;<【变式3】若m>0,n<0,且|m|>|n|,用“>”把m,-m,n,-n连接起来.【答案】解法一:∵m>0,n<0,∴m为正数,-m为负数,n为负数,-n为正数.又∵正数大于一切负数,且|m|>|n|,∴m>-n>n>-m.解法二:因为m>0,n<0且|m|>|n|,把m,n,-m,-n表示在数轴上,如图所示.∵数轴上的数右边的数总比左边的数大,,∴m>-n>n>-m.类型三、含有字母的绝对值的化简4.(2016春•都匀市校级月考)若﹣1<x<4,则|x+1|﹣|x﹣4|= .【思路点拨】根据绝对值的性质:当a是正有理数时,a的绝对值是它本身a;当a是负有理数时,a的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1,|x﹣4|=﹣x+4,然后再合并同类项即可.【答案】2x﹣3.【解析】解:原式=x+1﹣(﹣x+4),=x+1+x﹣4,=2x﹣3.【总结升华】此题主要考查了绝对值,关键是掌握绝对值的性质,正确判断出x+1,x﹣4的正负性.举一反三:【变式1】已知有理数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示:       化简:.【答案】解:由图所示,可得.  ∴,,,  ∵     .  ∴原式.【变式2】求的最小值.【答案】解法一:当时,则当时,则当时,则综上:当时,取得最小值为:5.解法二:借助数轴分类讨论:①;②;③.,    的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和.            由图明显看出时取最小值.所以,时,取最小值5.类型四、绝对值非负性的应用5.已知a、b为有理数,且满足:,则a=_______,b=________.【答案与解析】由,,,可得∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0,要使这两个数的和为0,需要这两个数都为0.几个非负数的和为0,则每一个数均为0.举一反三:【变式1】已知,则x的取值范围是________.【答案】;提示:将看成整体,即,则,故,.【变式2】已知b为正整数,且a、b满足,求的值.【答案】解:由题意得∴所以,类型五、绝对值的实际应用6.,正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定,下面是6个足球的质量检测结果,用正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数.检测结果(单位:克):-25,+10,-20,+30,+15,-40.裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由.【答案与解析】解:因为|+10|<|+15|<|-20|<|-25|<|+30|<|-40|,所以检测结果为+10的足球的质量好一些.所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.【总结升华】绝对值越小,越接近标准.四、有理数的加减法要点梳理+基本典型例题解析【学习目标】1.掌握有理数加法的意义,法则及运算律,并会使用运算律简算;2.掌握有理数减法的法则和运算技巧,认识减法与加法的内在联系;3.熟练将加减混合运算统一成加法运算,理解运算符号和性质符号的意义,运用加法运算律合理简算,并会解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、有理数的加法1.定义:把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法.2.法则:(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0;(3)一个数同0相加,仍得这个数.要点诠释:利用法则进行加法运算的步骤:(1)判断两个加数的符号是同号、异号,还是有一个加数为零,以此来选择用哪条法则.(2)确定和的符号(是“+”还是“-”).(3)求各加数的绝对值,并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减).3.运算律:有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加,交换加数的位置,和不变符号语言a+b=b+a加法结合律文字语言三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变符号语言(a+b)+c=a+(b+c)要点诠释:交换加数的位置时,不要忘记符号.要点二、有理数的减法1.定义:已知两个数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算,叫做减法,例如:(-5)+?=7,求?,减法是加法的逆运算.要点诠释:(1)任意两个数都可以进行减法运算.(2)几个有理数相减,差仍为有理数,差由两部分组成:①性质符号;②数字即数的绝对值.2.法则:减去一个数,等于加这个数的相反数,即有:.要点诠释:,将减法转化为加法时,注意同时进行的两变,一变是减法变加法;二变是把减数变为它的相反数”.如:要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算,适当应用加法运算律简化计算.【典型基础例题】(1)类型一、有理数的加法运算1.计算:(1)(+20)+(+12);(2);(3)(+2)+(-11);(4)(-3.4)+(+4.3);(5)(-2.9)+(+2.9);(6)(-5)+0.【答案与解析】(1)(2)属于同一类型,用的是加法法则的第一条;(3)(4)属于同一类,用的是加法法则的第二条;(5)用的是第二条:互为相反数的两个数相加得0;(6)用的是法则的第三条.(1)(+20)+(+12)=+(20+12)=+32=32;(2)(3)(+2)+(-11)=-(11-2)=-9(4)(-3.4)+(+4.3)=+(4.3-3.4)=0.9(5)(-2.9)+(+2.9)=0;(6)(-5)+0=-5.【总结升华】绝对值不等的异号两数相加,是有理数加法的难点,在应用法则时,一定要先确定符号,再计算绝对值.举一反三:【变式1】计算:【答案】【变式2】计算:(1)(+10)+(-11);(2)【答案】(1)(+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1;(2),类型二、有理数的减法运算2.计算:(1)(-32)-(+5);(2)(+2)-(-25).【思路点拨】此题是有理数的减法运算,先按照减法法则将减法转化为加法,再按照有理数的加法进行计算.【答案与解析】法一:法二:(1)原式=-32-5=-32+(-5)=-37;(2)原式=2+25=27【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算,也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.举一反三:【变式】(2015•泰安)若(  )﹣(﹣2)=3,则括号内的数是(  ) A.﹣1B.1C.5D.﹣5【答案】B.根据题意得:3+(﹣2)=1,则1﹣(﹣2)=3.类型三、有理数的加减混合运算3.(2016春•浦东新区期中)计算:3.8+4﹣(+6)+(﹣8)【思路点拨】根据有理数的加减混合运算的方法:有理数加减法统一成加法,求解即可.【答案与解析】解:原式=(3.8﹣6.8)+(4﹣8)=﹣3﹣4=﹣7,【总结升华】本题考查了有理数的加减混合运算的知识,如果在一个式子里,有加法也有减法,根据有理数减法法则,把减法都转化成加法,并写成省略括号的和的形式.举一反三:【变式】用简便方法计算:(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7)(2)2,【答案】(1)原式=[(-3.8)+(-4.2)]+[(-2.4)+(-0.7)+(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2(2)原式=(2-1-4)+(--+-)=-3+[-++(--)]=-3-1=-4类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用4.邮递员骑车从邮局出发,先向南骑行2km到达A村,继续向南骑行3km到达B村,然后向北骑行9km到C村,最后回到邮局.(1)以邮局为原点,以向北方向为正方向,用1cm表示1km,画出数轴,并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置;(2)C村离A村有多远?(3)邮递员一共骑了多少千米?【思路点拨】(1)以邮局为原点,以向北方向为正方向用1cm表示1km,按此画出数轴即可;(2)可直接算出来,也可从数轴上找出这段距离;(3)邮递员一共骑了多少千米?即数轴上这些点的绝对值之和.【答案与解析】解:(1)依题意得,数轴为:;(2)依题意得:C点与A点的距离为:2+4=6(千米);(3)依题意得邮递员骑了:2+3+9+4=18(千米).【总结升华】本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力,只要掌握数轴的基本知识即可.举一反三:【变式1】华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏,每组的基本分为100分,答对一题加50分,答错一题扣50分,游戏结束后各组的得分如下表:第1组第2组第3组第4组第5组100150350-400-100(1)第一名超过第二名多少分?(2)第一名超过第五名多少分?【答案】由表看出:第一名350分,第二名150分,第五名-400分.(1)350-150=200(分)(2)350-(-400)=350+400=750(分)答:第一名超过第二名200分;第一名超过第五名750分.【变式2】某产粮专业户出售粮食8袋,每袋重量(单位:千克)如下:197,202,197,203,200,196,201,198.计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一:以200(千克)为基准,超过的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,则这8个数的差的累计是:(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)=-6200×8+(-6)=1594(千克)答:出售的粮食共1594千克.法二:197+202+197+203+200+196+201+198=1594(千克),答:出售的粮食共1594千克.【典型基础例题】(2)类型一、有理数的加法运算1.(2015秋•江都市月考)阅读下题的计算方法.计算.解:原式===0+(﹣)=﹣上面这种解题方法叫做拆项法,按此方法计算:.【思路点拨】根据拆项法,可把整数结合在一起,分数结合在一起,再根据有理数的加法,可得答案.【答案与解析】解:原式=[(﹣2011)+(﹣)]+[(﹣2010)+(﹣)]+[4022+]+[(﹣1)+(﹣)]=[(﹣2011)+(﹣2010)+4022+(﹣1)]+[(﹣)+(﹣)++(﹣)]=0+(﹣)=﹣.【总结升华】本题考查了有理数的加法,拆项法是解题关键.举一反三:【变式1】计算:(1)-7+10;(2)(-)+(-7.3);(3)1+(-2);(4)7+(-3.8)+(-7.2)【答案】(1)原式=;(2)原式=;(3)原式=;(4)原式=【变式2】计算:,【答案】【变式3】计算:.【答案】解法一:→同号的数一起先加.解法二:→同分母,互为相反数的数,或几个数可以凑整的数分别结合相加.类型二、有理数的减法运算2.(1)2-(-3);(2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4);(3).【思路点拨】此题是有理数的减法运算,先按照减法法则将减法转化为加法,再按照有理数的加法进行计算.【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算.(1)2-(-3)=2+3=5(2)原式=0+3.72+(-2.72)+4=(0+4)+(3.72-2.72)=4+1=5(3)原式=【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算,也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.类型三、有理数的加减混合运算3.计算:(1)-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72;(2)11-12+13-15+16-18+17;(3),(4)(5);(6)【答案与解析】(1)观察各个加数,可以发现-3.72与3.72互为相反数,把它们分为一组;4.18、-2.93与-1.25的和为0,把它们分为一组可使计算简便.解:-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72=(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23=0+0-1.23=-1.23(2)把正数和负数分别分为一组.解:11-12+13-15+16-18+17=(11+13+16+17)+(-12-15-18)=57+(-45)=12(3)仔细观察各个加数,可以发现两个小数的和是-1,两个整数的和是29,三个分数通分后也不难算.故把整数、分数、小数分别分为一组.解:(4)3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组;-3.87与3.37的和为-0.5,把它们分为一组;与易于通分,把它们分为一组;与同分母,把它们分为一组.解:(5)先把整数分离后再分组.解:注:带分数中的整数与分数分离时,如果这个数是负数,那么分离得到的整数与分数都是负数,例如.(6)如果按小数、整数分组,效果似乎不是很好.可先将小数和分数统一后再考虑分组.,解:【总结升华】计算多个有理数相加时,必须先审题,分析特点,寻找规律,然后再去计算.注意在交换加数的位置时,要连同符号一起交换.举一反三:【变式】5.6+[0.9+4.4﹣(﹣8.1)].【答案】解:原式=5.6+0.9+4.4+8.1=19.类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用4.“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案,故又称“龟背图”,中国古代数学史上经常研究这一神话.(1)现有1,2,3,4,5,6,7,8,9共九个数字,请将它们分别填入图1的九个方格中,使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15;(2)通过研究问题(1),利用你发现的规律,将3,5,﹣7,1,7,﹣3,9,﹣5,﹣1这九个数字分别填入图2的九个方格中,使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等.【答案与解析】解:(1)15÷3=5,∴最中间的数是5,其它空格填写如图1;(2)如图2所示.【总结升华】本题考查了有理数加法,熟知“九宫图”的填法是解题的关键.举一反三:【变式】某产粮专业户出售粮食8袋,每袋重量(单位:千克)如下:197,202,197,203,200,196,201,198.计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一:以200(千克)为基准,超过的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,则这8个数的差的累计是:(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)=-6200×8+(-6)=1594(千克),答:出售的粮食共1594千克.法二:197+202+197+203+200+196+201+198=1594(千克)答:出售的粮食共1594千克.五、有理数的乘除要点梳理+基本典型例题解析【学习目标】1.会根据有理数的乘法法则进行乘法运算,并运用相关运算律进行简算;2.理解乘法与除法的逆运算关系,会进行有理数除法运算;3.巩固倒数的概念,能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算;4.培养观察、分析、归纳及运算能力.【要点梳理】要点一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则:(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(2)任何数同0相乘,都得0.要点诠释:(1)不为0的两数相乘,先确定符号,再把绝对值相乘.(2)当因数中有负号时,必须用括号括起来,如-2与-3的乘积,应列为(-2)×(-3),不应该写成-2×-3.2.有理数的乘法法则的推广:(1)几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时,积为负;当负因数的个数有偶数个时,积为正;(2)几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积就等于0.要点诠释:(1)在有理数的乘法中,每一个乘数都叫做一个因数.(2)几个不等于0的有理数相乘,先根据负因数的个数确定积的符号,然后把各因数的绝对值相乘.(3)几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积就等于0.反之,如果积为0,那么至少有一个因数为0.3.有理数的乘法运算律:(1)乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等,即:ab=ba.(2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等.即:abc=(ab)c=a(bc).(3)乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.即:a(b+c)=ab+ac.要点诠释:(1)在交换因数的位置时,要连同符号一起交换.(2)乘法运算律可推广为:三个以上的有理数相乘,可以任意交换因数的位置,或者把其中的几个因数相乘.如abcd=d(ac)b.一个数同几个数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加.如a(b+c+d)=ab+ac+ad.(3)运用运算律的目的是“简化运算”,有时,根据需要可以把运算律“顺用”,也可以把运算律“逆用”.要点二、有理数的除法1.倒数的意义:乘积是1的两个数互为倒数.要点诠释:(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是,-2和是互相依存的;,(2)0和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数;(3)倒数的结果必须化成最简形式,使分母中不含小数和分数;(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数).2.有理数除法法则:法则一:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数,即.法则二:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.要点诠释:(1)一般在不能整除的情况下应用法则一,在能整除时应用法则二方便些.(2)因为0没有倒数,所以0不能当除数.(3)法则二与有理数乘法法则相似,两数相除时先确定商的符号,再确定商的绝对值.要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算,应按从左往右的顺序计算,一般先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后算出结果.要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算,如无括号,则按照“先乘除,后加减”的顺序进行,如有括号,则先算括号里面的.【典型基础例题】(1)类型一、有理数的乘法运算1.(2015•台湾)算式(﹣1)×(﹣3)×之值为何?(  ) A.B.C.D.【思路点拨】根据有理数的乘法法则,先确定符号,然后把绝对值相乘即可【答案】D.【解析】解:原式=××=.【总结升华】本题考查的是有理数的乘法,掌握乘法法则是解题的关键,计算时,先确定符号,然后把绝对值相乘.2.(1);(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20);(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0.【答案与解析】几个不等于零的数相乘,首先确定积的符号,然后把绝对值相乘.因数是小数的要化为分数,是带分数的通常化为假分数,以便能约分.几个数相乘,有一个因数为零,积就为零.,(1);(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20);(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0=0.【总结升华】几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数确定,与正因数的个数无关.当因数中有一个数为0时,积为0.3.运用简便方法计算:(1)(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4(3)【思路点拨】(1)根据题目特点,可以把折成,再运用乘法分配律进行计算.(2)运用乘法结合律,把第1、4个因式结合在一起.(3)逆用乘法分配律:ab+ac=a(b+c).【答案与解析】解:(1)(分配律)(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4=(-4×0.25)×[0.5×(-100)](交换律)=-1×(-50)=50(结合律)(3)(逆用乘法的分配律)【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点.适当运用“凑整法”进行交换和结合.举一反三:【变式1】计算16.8×+7.6×的结果是  .【答案】7.,解:原式=8.4×=(8.4+7.6)×=16×=7.【变式2】;【答案】(类型二、有理数的除法运算4.计算:(1)(-32)÷(-8)(2)【答案与解析】(1)(-32)÷(-8)=+(32÷8)=4……用法则二进行计算.(2)……用法则一进行计算.【总结升华】(1)乘法、除法的符号法则是一致的,两数相乘除,同号得正,异号得负;(2)除法的两个法则是一致的,应学会灵活选择.举一反三:【变式】计算:(1)【答案】原式类型三:有理数的乘除混合运算5.(2015秋•德惠市校级期中)计算:(﹣2)×.【思路点拨】原式利用除法法则变形,约分即可得到结果.【答案与解析】解:原式=2××3×3=9.【总结升华】此题考查了有理数的乘除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.举一反三:【变式1】计算:(-9)÷(-4)÷(-2),【答案】(-9)÷(-4)÷(-2)=-9÷4÷2=【变式2】计算:(1)(2)【答案】(1)(2)类型四、有理数的加减乘除混合运算6.计算(1);(2)【答案与解析】(1)=6-2+9-5=8(2)法1:原式=法2:由(1)知:,所以【总结升华】除法没有分配律,在进行有理数的除法运算时,若除数是和的形式,一般先算括号内的,然后再进行除法运算,也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决.举一反三:【变式】【答案】原式,类型五:利用有理数的加减乘除,解决实际问题7.气象统计资料表明,高度每增加1000米,气温就降低6℃.如果现在地面的气温是27℃,那么8000米的高空的气温大约是多少?【思路点拨】解决此题的关键是明确高度变化与气温变化的关系.由于“高度每增加1000米,气温就降低6℃”,8000米的高空比地面高度增加8000米,因此气温降低6×8=48℃,由此便可求出高空的气温.【答案与解析】解:(℃)因此8000米的高空的气温大约是-21℃.【总结升华】本题是生活实际中的问题,关键是读懂题意,弄清各数量之间的关系,再列出正确的算式.【典型基础例题】(2)类型一、有理数的乘法运算1.计算:(1);(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20);(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0.【答案与解析】几个不等于零的数相乘,首先确定积的符号,然后把绝对值相乘.因数是小数的要化为分数,是带分数的通常化为假分数,以便能约分.几个数相乘,有一个因数为零,积就为零.(1);(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20);(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0=0.【总结升华】几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数确定,与正因数的个数无关.当因数中有一个数为0时,积为0.但注意第一个负因数可以不用括号,但是后面的负因子必须加括号.2.(2015秋•碑林区期中)简便计算:(1)(﹣48)×0.125+48×(2)()×(﹣36)【思路点拨】(1)利用乘法的分配律先提取48,再进行计算即可得出答案;(2)运用乘法分配律进行计算即.,【答案与解析】解:(1)(﹣48)×0.125+48×=48×(﹣+﹣)=48×0=0;(2)()×(﹣36)=﹣20+27﹣2=5.【总结升华】此题考查了有理数的乘法,用到的知识点是乘法的分配律,解题的关键是运用乘法分配律进行计算.举一反三:【变式】用简便方法计算:(1);(2).【答案】(1)原式.(2)=(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2=-3.14×(35.2+46.6+18.2)=-3.14×100=-314.类型二、有理数的除法运算3.计算:【思路点拨】对于乘除混合运算,首先由负数的个数确定结果的符号,同时应将小数化成分数,带分数化成假分数,算式化成连乘积的形式,再进行约分.但要注意除法没有分配律.【答案与解析】,解:【总结升华】进行乘除混合运算时,往往先将除法转化为乘法,再确定积的符号,最后求出结果.举一反三:【变式】计算:【答案】原式类型三、有理数的乘除混合运算4.计算:【答案与解析】在有理数的乘除运算中,应按从左到右的运算顺序进行运算.【总结升华】在有理数的乘除运算中,可先将除法运算转化为乘法运算.乘除运算是同一级运算,再应按从左到右的顺序进行.举一反三:【变式】计算:【答案】类型四、有理数的加减乘除混合运算5.计算:【答案与解析】方法1:方法2:所以,【总结升华】除法没有分配律,在进行有理数的除法运算时,若除数是和的形式,一般先算括号内的,然后再进行除法运算,也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决,如果按a÷(b+c)=a÷b+a÷c进行分配就错了.举一反三:【变式】观察下列等式(式子中的“!”是一种数学运算符号)1!=1,2!=2×1,3!=3×2×1,4!=4×3×2×1,…,那么计算:=  .【答案】解:==.类型五、含绝对值的化简6.已知a、b、c为不等于零的有理数,你能求出的值吗?【思路点拨】先分别确定a、b、c的取值,再代入求值.【答案与解析】解:分四种情况:(1)当a、b、c三个数都为正数时,;(2)当a、b、c三个数中有两个为正数,一个为负数时,不妨设a为负数,b、c为正数,;(3)当a、b、c三个数中有一个为正数,两个为负数时,不妨设a为正数,b、c为负数,;(4)当a、b、c三个数都为负数时,综上,的值为:【总结升华】在含有绝对值的式子中,当不知道绝对值里面的数的正负时,需分类讨论.举一反三:,【变式】计算的取值.【答案】(1)当a>0、b>0时,;(2)当a<0、b<0时,;(3)当a>0,b<0时,;(4)当a<0,b>0时,.综上,的值为:六、有理数的乘方及混合运算要点梳理+基本典型例题解析【学习目标】1.理解有理数乘方的定义;2.掌握有理数乘方运算的符号法则,并能熟练进行乘方运算;3.进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义:求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power).即有:.在中,叫做底数,n叫做指数.要点诠释:(1)乘方与幂不同,乘方是几个相同因数的乘法运算,幂是乘方运算的结果.(2)底数一定是相同的因数,当底数不是单纯的一个数时,要用括号括起来.(3)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如,5就是51,指数1通常省略不写.要点二、乘方运算的符号法则(1)正数的任何次幂都是正数;(2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;(3)0的任何正整数次幂都是0;(4)任何一个数的偶次幂都是非负数,即.要点诠释:(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样,首先应确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值.(2)任何数的偶次幂都是非负数.要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序:(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.,要点诠释:(1)有理数运算分三级,并且从高级到低级进行运算,加减法是第一级运算,乘除法是第二级运算,乘方和开方(以后学习)是第三级运算;(2)在含有多重括号的混合运算中,有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行.(3)在运算过程中注意运算律的运用.【典型基础例题】(1)类型一、有理数乘方1.把下列各式写成幂的形式:(1);(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5;(3).【答案与解析】(1);(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5=(-3.7)4×52;(3)【总结升华】乘方时,当底数是分数、负数时,应加上括号.2.计算:(1)(2)(3)(4)(5) (6)(7)(8)【答案与解析】(1);(2);(3);(4);(5);,(6);(7);(8)【总结升华】与不同,,而表示的n次幂的相反数.举一反三:【变式1】计算:(1)(-4)4(2)23(3)(4)(-1.5)2【答案】(1)(-4)4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256;(2)23=2×2×2=8;(3)(4)(-1.5)2=(-1.5)×(-1.5)=2.25【变式2】(2015•长沙模拟)比较(﹣4)3和﹣43,下列说法正确的是(  ) A.它们底数相同,指数也相同 B.它们底数相同,但指数不相同 C.它们所表示的意义相同,但运算结果不相同 D.虽然它们底数不同,但运算结果相同【答案】D.解:比较(﹣4)3=(﹣4)×(﹣4)×(﹣4)=﹣64,﹣43=﹣4×4×4=﹣64,底数不相同,表示的意义不同,但是结果相同.类型二、乘方的符号法则3.不做运算,判断下列各运算结果的符号.(-2)7,(-3)24,(-1.0009)2009,,-(-2)2010【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断,可得:(-2)7运算的结果是负;(-3)24运算的结果为正;(-1.0009)2009运算的结果是负;运算的结果是正;-(-2)2010运算的结果是负.【总结升华】,“一看底数,二看指数”,当底数是正数时,结果为正;当底数是0时,结果是0;当底数是负数时,再看指数,若指数为偶数,结果为正;若指数是奇数,结果为负.举一反三:【变式】计算:(-1)2009的结果是().A.-lB.1C.-2009D.2009【答案】A类型三、有理数的混合运算4.(2016春•滨海县校级月考)计算:(1)4×(﹣)×3﹣|﹣6|;(2)(﹣1)3×(﹣12)÷[(﹣4)2+2×(﹣5)].【思路点拨】(1)原式先计算乘法及绝对值运算,再计算加减运算即可得到结果;(2)原式先计算乘方运算,再计算乘除运算,最后算加减运算即可得到结果.【答案与解析】解:(1)原式=12×(﹣)﹣6=﹣6﹣9+30﹣6=9;(2)原式=﹣1×(-12)÷(16-10)=12÷6=2.【总结升华】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.举一反三:【变式1】计算:【答案】原式【变式2】计算:【答案】原式5.()(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】逆用分配律可得:,,所以答案为:C【总结升华】当几项均为幂的形式,逆用分配律提出共同的因数时,要提指数较小的幂的形式.举一反三:【变式】计算:【答案】类型四、探索规律6.(2014秋•埇桥区校级期中)你见过拉面馆的师傅拉面吗?他们用一根粗的面条,第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条,再把两头捏在一起抻拉,反复数次,就能拉出许多根细面条,如下图,第3次捏合抻拉得到根面条,第5次捏合抻拉得到根面条,第次捏合抻拉得到根面条,要想得到64根细面条,需次捏合抻拉.第1次第2次第3次【答案】8;32;;6【解析】由题意可知,每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍,所以可得到:第1次:;第2次:;第3次:;…;第次:.第3次捏合抻拉得到面条根数:,即8根;第5次得到:,即32根;第次捏合抻拉得到;因为,所以要想得到64根面条,需要6次捏合抻拉.【总结升华】解答此类问题的方法一般是:从所给的特殊情形入手,再经过猜想归纳,从看似杂乱的问题中找出内在的规律,使问题变得有章可循.举一反三:【变式】已知21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,…,观察上面的规律,试猜想22008的末位数字是________.【答案】6.【典型基础例题】(2)类型一、有理数的乘方,1.(2016•虞城县一模)下列各数:①﹣12;②﹣(﹣1)2;③﹣13;④(﹣1)2,其中结果等于﹣1的是(  )A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④【思路点拨】原式各项计算得到结果,即可作出判断.【答案】A.【解析】解:①﹣12=﹣1,符合题意;②﹣(﹣1)2=﹣1,符合题意;③﹣13=﹣1,符合题意;④(﹣1)2=1,不符合题意.故选A.【总结升华】注意与的意义的区别.(n为正整数),(n为正整数).举一反三:【变式1】比较(-5)3与-53的异同.【答案】相同点:它们的结果相同,指数相同;不同点:(-5)3表示-5的3次方,即(-5)×(-5)×(-5)=-125,而-53表示5的3次方的相反数,即-53=-(5×5×5).因此,它们的底数不同,表示的意义不同.【变式2】(2015•杭州模拟)若n为正整数,(﹣1)2n=(  ) A.1B.﹣1C.2nD.不确定【答案】A.因为n为正整数,2n一定是偶数,所以(﹣1)2n=1.类型二、乘方运算的符号法则2.不做运算,判断下列各运算结果的符号.(-2)7,(-3)24,(-1.0009)2009,,-(-2)2010【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得:(-2)7运算的结果是负;(-3)24运算的结果为正;(-1.0009)2009运算的结果是负;运算的结果是正;-(-2)2010运算的结果是负.【总结升华】“一看底数,二看指数”,当底数是正数时,结果为正;当底数是0,指数不为0时,结果是0;当底数是负数时,再看指数,若指数为偶数,结果为正;若指数是奇数,结果为负.举一反三:【变式】当n为奇数时,.【答案】0类型三、有理数的混合运算,3.计算:(1)-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)](2)[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)(3);(4)【答案与解析】(1)-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]=-9+(-8)÷(-3+5)=-9+(-8)÷2=-9+(-4)=-13(2)[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)=(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24)=[72×(7-6)-1]÷(-24)=(49-1)÷(-24)=-2(3)有绝对值的先去掉绝对值,然后再按混合运算.原式(4)将带分数化为假分数,小数化为分数后再进行运算.【总结升华】有理数的混合运算,确定运算顺序是关键,细心计算是运算正确的前提.举一反三:【变式】计算:(1)(2),(3)(4)【答案】(1)原式或原式=(1-1+)(2-9)(2)原式(3)原式=-32-3+66-9=22(4)原式4.计算:【答案与解析】逆用分配律可得:【总结升华】灵活运用运算律,简化运算.另外有举一反三:【变式1】计算:【答案】原式=【变式2】计算:【答案】,类型四、探索规律5.(2015•滕州市校级二模)求1+2+22+23+…+22013的值,可令S=1+2+22+23+…+22013,则2S=2+22+23+…+22014,因此2S﹣S=22014﹣1.仿照以上推理,计算出1+5+52+53+…+52014=  .【答案】解:设S=1+5+52+53+…+52014,则5S=5+52+53+…+52015,5S﹣S=(5+52+53+…+52015)﹣(1+5+52+53+…+52014)=52015﹣1,所以,S=.【总结升华】根据题目信息,设S=1+5+52+53+…+52014,表示出5S=5+52+53+…+52015,然后相减求出S即可.举一反三:【变式】观察下面三行数:①-3,9,-27,81,-243,729,…②0,12,-24,84,-240,732,…③-1,3,-9,27,-81,243,…(1)第①行数按什么规律排列?(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?(3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和.【答案】(1)第①行数的规律是:-3,(-3)2,(-3)3,(-3)4,…;(2)第②行数是第①行数相应的数加3,即:-3+3,(-3)2+3,(-3)3+3,(-3)4+3,…;第③行数是第①行数相应的数的,即,,,,…;(3)每行数中的第10个数的和是:59049+59052+19683=137784.七、科学记数法与近似数要点梳理+基本典型例题解析【学习目标】1.理解科学记数法的意义,并会用科学记数法表示一个较大的数;2.了解近似数的概念,能按精确度的要求取近似数,能根据近似数的不同形式确定其精确度;3.体会近似数在生活中的实际应用.【要点梳理】要点一、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式(其中是整数数位只有一位的数,l≤|,|<10,是正整数),这种记数法叫做科学记数法,如=.要点诠释:(1)负数也可以用科学记数法表示,“”照写,其它与正数一样,如=;(2)把一个数写成形式时,若这个数是大于10的数,则n比这个数的整数位数少1.要点二、近似数及精确度1.近似数:接近准确数而不等于准确数的数,叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞,这里的6300㎞就是近似数.要点诠释:一般采用四舍五入法取近似数,只要看要保留位数的下一位是舍还是入.2.精确度:一个近似数四舍五入到哪一位,就称这个数精确到哪一位,精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释:(1)精确度是指近似数与准确数的接近程度.(2)精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示,一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小,例如精确到米,说明结果与实际数相差不超过米.【典型基础例题】类型一、科学记数法1.(2016•山西)我国计划在2020年左右发射火星探测卫星,据科学研究,火星距离地球的最近距离约为5500万千米,这个数据用科学记数法可表示为(  )A.5.5×106千米B.5.5×107千米C.55×106千米D.0.55×108千米【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式.其中1≤|a|<10,n为整数,确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【答案】B.【解析】解:5500万=5.5×107.故选:B.【总结升华】此题考查科学记数法的表示方法,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.举一反三:【变式】(2015•酒泉)中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨.将数67500用科学记数法表示为(  ) A.0.675×105B.6.75×104C.67.5×103D.675×102【答案】B.,2.把下列用科学记数法表示的数转化成原数.(1);(2);(3)千米【答案与解析】此题是对科学记数法的逆用解:(1);(2);(3)千米=千米【总结升华】将科学记数法表示的数转化为原数,方法简单:是几就将中的小数点向右移动几位.类型二、近似数及精确度3.(2015•深圳模拟)由四舍五入法得到的近似数6.8×103,下列说法中正确的是(  ) A.精确到十分位,有2个有效数字 B.精确到个位,有2个有效数字 C.精确到百位,有2个有效数字 D.精确到千位,有4个有效数字【思路点拨】103代表1千,那是乘号前面个位的单位,那么小数点后一位是百.有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字,用科学记数法表示的数a×10n的有效数字只与前面的a有关,与10的多少次方无关.【答案】C.【解析】解:个位代表千,那么十分位就代表百,乘号前面从左面第一个不是0的数字有2个数字,那么有效数字就是2个.【总结升华】本题考查了近似数与有效数字,较大的数用a×10n表示,看精确到哪一位,需看个位代表什么;有效数字需看乘号前面的有效数字.举一反三:【变式】用四舍五入法,按括号中的要求把下列各数取近似数(1)万(精确到千位);(2)12341000(精确到万位).【答案】解:(1)万=或表示为万;(2)12341000=.,4.下列由四舍五入得到的近似数,它们精确到哪一位.(1)(2)亿;(3)【答案与解析】解:(1)精确到百分位;(2)亿精确到百万位;(3)精确到千位.【总结升华】一般的近似数,四舍五入到哪一位就说它精确到哪一位,例:精确到百分位,则百分位就是精确度;若是汉字单位“万、千、百”类近似数,精确度是由其最后一位数所在的数位确定的,但必须先把该数写成单位为“个”位的数再确定其精确度;用形如的数,其精确度看中最后一位数在原数中的数位.类型三、近似数与精确数5.测得某同学的身高约是1.66米,那么意味着他身高的精确值x所在范围是___________________.【答案】【解析】1.66是由四舍五入得到的数,若通过“入”得到1.66,则最小数应是1.655,若通过“舍”得到1.66,则最大数不存在,但能判断小于1.665,所以.【总结升华】本类型题目的答案一般形式为:,“精确度”是用来说明结果与实际数误差大小的,如精确到表示结果与实际数字相差不大于.举一反三:【变式】近似数的准确数的取值范围是_________________.【答案】.八、《有理数》全章复习与巩固【学习目标】1.理解正负数的意义,掌握有理数的概念.2.理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.3.学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4.理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用;5.体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】,【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1.有理数的分类:(1)按定义分类:(2)按性质分类:要点诠释:(1)用正数、负数表示相反意义的量;(2)有理数“0”的作用:作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示,没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负,是一个中性数2.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线.要点诠释:(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来,数轴上的点不都表示的是有理数,如.(2)在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.3.相反数:只有符号不同的两个数互称为相反数,0的相反数是0.,要点诠释:(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧,并且到原点的距离相等,这两点是关于原点对称的.(2)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“”号即可.(3)多重符号的化简:数字前面“”号的个数若有偶数个时,化简结果为正,若有奇数个时,化简结果为负.4.绝对值:(1)代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.数a的绝对值记作.(2)几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.要点二、有理数的运算1.法则:(1)加法法则:①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加,仍得这个数.(2)减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b).(3)乘法法则:①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.②任何数同0相乘,都得0.(4)除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.即a÷b=a·(b≠0).(5)乘方运算的符号法则:①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;②正数的任何次幂都是正数,0的任何非零次幂都是0. (6)有理数的混合运算顺序:①先乘方,再乘除,最后加减;②同级运算,从左到右进行;③如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释:“奇负偶正”口诀的应用:(1)多重负号的化简,这里奇偶指的是“-”号的个数,例如:-[-(-3)]=-3,-[+(-3)]=3.(2)有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指结果中积的符号,例如:(-3)×(-2)×(-6)=-36,而(-3)×(-2)×6=36.(3)有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为负;指数为偶数,则幂为正,例如:,.2.运算律:(1)交换律:①加法交换律:a+b=b+a;②乘法交换律:ab=ba;(2)结合律:①加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);②乘法结合律:(ab)c=a(bc)(3)分配律:a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有:(1)数轴比较法;(2)法则比较法:正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小;(3)作差比较法.(4)作商比较法;(5)倒数比较法.要点四、科学记数法、近似数及精确度,1.科学记数法:把一个大于10的数表示成的形式(其中,是正整数),此种记法叫做科学记数法.例如:200000=.2.近似数:接近准确数而不等于准确数的数,叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞,这里的6300㎞就是近似数.要点诠释:一般采用四舍五入法取近似数,只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度:一个近似数四舍五入到哪一位,就称这个数精确到哪一位,精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释:(1)精确度是指近似数与准确数的接近程度.(2)精确度有两种形式:①精确到哪一位.②保留几个有效数字.这两种的形式的意义不一样,一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小,例如精确到米,说明结果与实际数相差不超过米,而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.【典型基础例题】(1)类型一、有理数相关概念1.若一个有理数的:(1)相反数;(2)倒数;(3)绝对值;(4)平方;(5)立方,等于它本身.则这个数分别为(1)________;(2)________;(3)________;(4)________;(5)________.【答案】(1)0;(2)1和-1;(3)正数和0;(4)1和0;(5)-1、0和1【解析】根据定义,把符合条件的有理数写全.【总结升华】要全面正确地理解倒数,绝对值,相反数等概念.举一反三:【变式】(1)的倒数是 ;的相反数是  ;的绝对值是  .-(-8)的相反数是;的相反数的倒数是_____.(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落,规定上涨记为正,则-5.8元的意义是_;如果这种油的原价是76元,那么现在的卖价是.(3)上海浦东磁悬浮铁路全长30km,单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为m/min.(4)若a、b互为相反数,c、d互为倒数,则____.(5)近似数0.4062精确到位,近似数5.47×105精确到位,近似数3.5万精确到位,3.4030×105精确到千位是.【答案】(1);;;-8;2(2)降价5.8元,70.2元;(3);(4)3;(5)万分;千;千;3.40×105,2.(2015春•射洪县月考)如果|x+3|+|y﹣4|=0,求x+2y的值.【思路点拨】根据非负数的性质,可求出x、y的值,然后将x、y的值代入代数式化简计算即可.【答案与解析】解:∵|x+3|+|y﹣4|=0,∴x+3=0,y﹣4=0,解得,x=﹣3,y=4,x+2y=﹣3+4×2=5.【总结升华】本题考查了绝对值的性质和非负数的性质,掌握有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零是解题的关键.3.在下列两数之间填上适当的不等号:________.【思路点拨】根据“a-b>0,a-b=0,a-b<0分别得到a>b,a=b,a<b”来比较两数的大小.【答案】<【解析】法一:作差法由于,所以法二:倒数比较法:因为所以【总结升华】比较大小常用的有五种方法,要根据数的特征选择使用.举一反三:【变式】比较大小:(1)________0.001;(2)________-0.68【答案】(1)<(2)>类型二、有理数的运算4.(2016•厦门)计算:.【思路点拨】原式先计算乘方运算,再计算乘除运算,最后算加减运算即可得到结果.【答案与解析】,解:原式=10+8×﹣2×5=10+2﹣10=2.【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序,先乘方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里边的,同级运算从左到右依次进行计算,然后利用各种运算法则计算,有时可以利用运算律来简化运算.举一反三:【变式】(2014秋•埇桥区校级期中)﹣33×(﹣5)+16÷(﹣2)3﹣|﹣4×5|+(﹣0.625)2.【答案】解:原式=﹣27×(﹣5)+16÷(﹣8)﹣|﹣20|+02=135﹣2﹣20+0=113.类型三、数学思想在本章中的应用 5.(1)数形结合思想:有理数a在数轴上对应的点如图所示,则a,-a,1的大小关系.A.-a<a<1B.1<-a<aC.1<-a<aD.a<1<-a  (2)分类讨论思想:已知|x|=5,|y|=3.求x-y的值.  (3)转化思想:计算:【答案与解析】解:(1)将-a在数轴上标出,如图所示,得到a<1<-a,所以大小关系为:a<1<-a.所以正确选项为:D.(2)因为|x|=5,所以x为-5或5因为|y|=3,所以y为3或-3.当x=5,y=3时,x-y=5-3=2当x=5,y=-3时,x-y=5-(-3)=8当x=-5,y=3时,x-y=-5-3=-8当x=-5,y=-3时,x-y=-5-(-3)=-2故(x-y)的值为±2或±8(3)原式=,【总结升华】在解题中合理利用数学思想,是解决问题的有效手段.数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化,具体化;分类讨论中注意分类的两条原则:分类标准要统一,而且分类要做到不重不漏;转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”,将“未知”转化为“已知”.举一反三:【变式】若a是有理数,|a|-a能不能是负数?为什么?【答案】解:当a>0时,|a|-a=a-a=0;  当a=0时,|a|-a=0-0=0;  当a<0时,|a|-a=-a-a=-2a>0.  所以,对于任何有理数a,|a|-a都不会是负数.类型四、规律探索6.将1,,,,,,…,按一定规律排列如下:请你写出第20行从左至右第10个数是________.【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述,然后归纳总结,寻找规律.【答案】【解析】认真观察可知,第1行有1个数,第2行有2个数,第3行有3个数,……,所以第20行有20个数,从第1行到第20行共有1+2+3+…+20=210个数,所以第20行最后一个数的绝对值应是;又由表中可知,凡是分母是偶数的分数是负数,故第20行最后一个数是,以此类推向前10个,则得到第20行第10个数是.【总结升华】特例助思,探究规律,这类题主要是通过观察分析,从特殊到一般来总结发现规律,并将规律表示出来.【典型基础例题】(2)类型一、有理数相关概念,1.已知x与y互为相反数,m与n互为倒数,|x+y|+(a-1)2=0,求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值.【思路点拨】(1)若有理数x与y互为相反数,则x+y=0,反过来也成立.(2)若有理数m与n互为倒数,则mn=1,反过来也成立.【答案与解析】解:因为x与y互为相反数,m与n互为倒数,(a-1)2≥0,所以x+y=0,mn=1,a=1,所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010=a2-(0+1)a+02009+(-1)2010=a2-a+1.∵a=1,∴原式=12-1+1=1【总结升华】要全面正确地理解倒数,绝对值,相反数等概念.举一反三:【变式1】选择题(1)已知四种说法:①|a|=a时,a>0;|a|=-a时,a<0.②|a|就是a与-a中较大的数.③|a|就是数轴上a到原点的距离.④对于任意有理数,-|a|≤a≤|a|.其中说法正确的个数是()A.1B.2C.3D.4(2)有四个说法:①有最小的有理数②有绝对值最小的有理数③有最小的正有理数④没有最大的负有理数上述说法正确的是()A.①②B.③④C.②④D.①②(3)已知(-ab)3>0,则()A.ab<0B.ab>0C.a>0且b<0D.a<0且b<0(4)若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0,则(x+1)(y-3)(z+5)的值是()A.120B.-15C.0D.-120(5)下列各对算式中,结果相等的是()A.-a6与(-a)6B.-a3与|-a|3C.[(-a)2]3与(-a3)2D.(ab)3与ab3【答案】(1)C;(2)C;(3)A;(4)D;(5)C【变式2】(2015•呼伦贝尔)中国的陆地面积约为9600000km2,把9600000用科学记数法表示为  .【答案】9.6×106.2.(2016•江西校级模拟)如果m,n互为相反数,那么|m+n﹣2016|=________.【思路点拨】先用相反数的意义确定出m+n=0,从而求出|m+n﹣2016|.【答案】2016.,【解析】解:∵m,n互为相反数,∴m+n=0,∴|m+n﹣2016|=|﹣2016|=2016;故答案为2016.【总结升华】此题是绝对值题,主要考查了绝对值的意义,相反数的性质,熟知相反数的意义是解本题的关键.类型二、有理数的运算3.(1)(2)(4)(5)【答案与解析】解:(1)原式(2)原式(3)原式(4)原式(5)【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧,如:正、负数分别相加;分数中,同分母或分母有倍数关系的分数结合相加;除法转化为乘法、正向应用乘法分配律:a(b+c)=ab+ac;逆向应用分配律:ab+ac=a(b+c)等.举一反三:,【变式】(1)(2)【答案】解:(1)(2)4.先观察下列各式:;;;…;,根据以上观察,计算:,…的值.【答案与解析】解:原式【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成的形式,然后再进行计算.举一反三:【变式】用简单方法计算:【答案】解:原式=类型三、数学思想在本章中的应用5.(2014•香洲区校级二模)(1)阅读下面材料:点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|.当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图(1),|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|;当A,B两点都不在原点时,①如图(2),点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|;②如图(3),点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣(﹣a)=|a﹣b|;③如图(4),点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(﹣b)=|a﹣b|;综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|.(2)回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是  ,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是  ,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是  ;,②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是  ,如果|AB|=2,那么x为  ;③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是  .④解方程|x+1|+|x﹣2|=5.【答案与解析】解:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3;数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣(﹣5)|=3;数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣(﹣3)|=4.②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣(﹣1)|=|x+1|,如果|AB|=2,那么x为1或﹣3.③当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时,∴x+1≥0,x﹣2≤0,∴﹣1≤x≤2.④当x≤﹣1时,﹣x﹣1﹣x+2=5,解得x=﹣2;当﹣1<x≤2时,3≠5,不成立;当x>2时,x+1+x﹣2=5,解得x=3.故答案为:3,3,4,|x+1|,1或﹣3,﹣1≤x≤2.【总结升华】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容,用几何方法借助数轴来求解,体现了数形结合的优点.类型四、规律探索6.下面两个多位数1248624…,6248624…都是按照如下方法得到的:将第1位数字乘以2,若积为一位数,将其写在第2位;若积为两位数,则将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……,后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,则这个多位数前100位的所有数字之和是().A.495B.497C.501D.503【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的?当第1个数字是1时,将第1位数字乘以2得2,将2写在第2位上,再将第2位数字2乘以2得4,将其写在第3位上,将第3位数字4乘以2的8,将8写在第4位上,将第4位数字8乘以2得16,将16的个位数字6写在第5位上,将第5位数字6乘以2得12,将12的个位数字2写在第6位上,再将第6位数字2乘以2得4,将其写在第7位上,以此类推.根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和.【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为362486248…,后面6248循环,所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4=495,所以选A.【总结升华】特例助思,探究规律,这类题主要是通过观察分析,从特殊到一般来总结发现规律,并表示出来.,举一反三:【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示,则排在第10行从左边数第3个位置上的数是().A.B.C.D.【答案】B提示:观察发现:分子总是1,第n行的第一个数的分母就是n,第二个数的分母是第一个数的(n-1)倍,第三个数的分母是第二个数的分母的倍.根据图表的规律,则第10行从左边数第3个位置上的数是.

版权提示

  • 温馨提示:
  • 1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
  • 2. 本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
  • 3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
  • 4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线:13123380146(工作日9:00-18:00)

文档下载

所属: 初中 - 数学
发布时间:2022-03-01 15:02:14 页数:60
价格:¥10 大小:1.22 MB
文章作者:U-60007

推荐特供

MORE