内蒙古包头市2022届高三数学上学期期中试题理

2022-2022学年度第一学期期中考试高三数学（理）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合，．若，则()A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}2．下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）3．下列说法不正确的是()A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．当a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件4．已知O为坐标原点，点M坐标为（﹣2，1），在平面区域上取一点N，则使|MN|为最小值时点N的坐标是()A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（2，0）5．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知，且，则m的值为()A．4B．7C．10D．126．矩形中，，，为线段上的点，则的最小值为()A．B．C．D．7．函数，则零点个数为()A.1B.2C.3D.48．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是()9\nA．B．C．D．9．是定义在上的奇函数，满足，当时，，则的值等于()A．B．C．D．10．用数学归纳法证明不等式“”，从“”到“”时，左侧应添加的式子为()A．B．C．D．11．平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为()A．42B．65C．143D．16912．函数f（x）=sinωx+cosωx+1的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f（x）至少有12个零点，则n﹣m的最小值为()A．B．C．D．二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数y=loga（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为　　.14．=.15．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若，则　　．16．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”．已知，若对任意的实数满足时，函数在区间上为“凸函数”，则的最大值为　　.三、解答题(共70分，第17—21为必考题，每题12分，22、23为选考题，每题10分)17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．9\n（Ⅰ）若，，且△ABC的面积，求a，b的值；（Ⅱ）若，试判断△ABC的形状．[]18．已知函数，．（1）求的单调递增区间；[.（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若，求△ABC的面积．19．已知数列满足：，，数列满足.(1)求证：数列是等比数列.(2)若，求证：数列的前项和.20．数列为公差不等于零的等差数列，其前项和满足，且、、成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{bn}满足，求{bn}通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．21．设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）若f（x）＞g（x）在（1，+∞）内恒成立，求a取值范围．22、23为选考题，考生任选一题作答。22.【选修4--4；极坐标参数方程选讲】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，是9\n上的动点，点满足，点的轨迹为曲线。（Ⅰ）求的参数方程；（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求．23．【选修4--5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）9\n包九中2022-2022学年度第一学期期中考试高三数学（理）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1、C；2、C；3、D；4、B；5、A；6、B；7、B；8、B；9、A；10、D；11、B；12、D；二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．3+214.15．16.216．解：根据已知，|m|≤2时，f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0在（a，b）上恒成立；∴mx＞x2﹣3恒成立；（1）当x=0时，f″（x）=﹣3＜0显然成立；（2）当x＞0时，；∵m的最小值为﹣2；；[]解得0＜x＜1；（3）当x＜0时，m；∵m的最大值为2；∴；解得﹣1＜x＜0；综上可得﹣1＜x＜1；[]∴b﹣a的最大值为1﹣（﹣1）=2．三、解答题(共70分，第17—21为必考题，每题12分，22、23为选考题，每题10分)17．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，a2+b2﹣ab=4，…．（2分）又因为△ABC的面积等于，所以，得ab=4．（4分）[]联立方程组解得a=2，b=2．（6分）（Ⅱ）由题意得：sinC+sin（B﹣A）=sin2A得到sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A=2sinAcoA即：sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=2sinAcoA所以有：sinBcosA=sinAcosA，（8分）9\n当cosA=0时，，△ABC为直角三角形（10分）当cosA≠0时，得sinB=sinA，由正弦定理得a=b，所以，△ABC为等腰三角形．（12分）18．解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．19．(1)；(2)20．解：（Ⅰ）an=2n（n∈N*）．（Ⅱ）bn=2（3n+1）（n∈N*）．（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，数列{cn}的前n项和21．（Ⅰ）解：由f（x）=ax2﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣=（x＞0），9\n当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数；当a＞0时，由f′（x）=0，得x==，∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证，令h（x）=，则h′（x）=，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）min=h（1）=e，即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0；9\n22.【选修4﹣﹣4；极坐标参数方程选讲】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．9\n23．【选修4﹣﹣5；不等式选讲】证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，由题设得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤．（Ⅱ）因为+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即++≥a+b+c．所以++≥1．9