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内蒙古鄂尔多斯市东联现代中学2022届高三数学第2次次月考试题
内蒙古鄂尔多斯市东联现代中学2022届高三数学第2次次月考试题
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内蒙古鄂尔多斯市东联现代中学2022届高三数学第2次次月考试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若全集,集合,,则等于()A.B.或C.D.2.若复数满足,为虚数单位,则的虚部为()A.B.C.D.3.与函数相同的函数是()A.B.C.D.4.在△ABC中,若,则△ABC是()A.有一内角为30°的直角三角形B.等腰直角三角形C.有一内角为30°的等腰三角形D.等边三角形5.已知函数,则()A.在上递增B.在上递减C.在上递增D.在上递减6.已知,的导函数,则的图象是()-12-7.下列关于命题的说法错误的是()A.命题“若,则”的逆否命题为“若,则”;B.“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件;C.若命题,则;D.命题“”是假命题.8.设,,,则()A.B.C.D.9.已知定义在上的奇函数满足,当时,则()A.B.C.D.10.使函数f(x)=sin(2x+)+是奇函数,且在[0,上是减函数的的一个值是()A.B.C.D.11.若函数且满足对任意的实数都有成立,则实数的取值范围是()A.B.C.D.12.已知函数,若有且只有两个整数使得,且,则实数的取值范围为()A.B.C.D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分)-12-13.向量a=(2k+3,3k+2)与b=(3,k)共线,则k=___________.14.已知,则的值为.15.P是曲线上的任意一点,则点P到直线y=x-3的最小距离为.16.函数y=cos2x-8cosx的值域是.三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.本小题满分10分)已知函数.(Ⅰ)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;(Ⅱ)将函数图像向左平移个单位,再向上平移个单位,得到函数图像,求的对称轴方程和对称中心坐标.18.(本小题满分12分)中,是边上的一点,平分,的面积是面积的两倍.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,,求和的长.19.(本小题满分12分)下图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图,已知80-90分数段的学员数为21人-12-(1)求该专业毕业总人数N和90-95分数段内的人数;(2)现欲将90-95分数段内的名人分配到几所学校,从中安排2人到甲学校去,若人中仅有两名男生,求安排结果至少有一名男生的概率.20.(本小题满分12分)等差数列的前项和为,且满足,.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和为,求证:.21.(本题满分12分)已知曲线的参数方程是(为参数),曲线的参数方程是(为参数).(Ⅰ)将曲线,的参数方程化为普通方程;(Ⅱ)求曲线上的点到曲线的距离的最大值和最小值.22.(本题满分12分)设函数().(Ⅰ)若在处取得极值,求的值,并求函数在(1,f(1))处的切线方程.(Ⅱ)若在上为减函数,求的取值范围.-12-一,BACADDADDBAC二,|十¼π①②④⑤½1/√6三.解答题(共2小题) 17.已知函数f(x)=6x2+x﹣1.(Ⅰ)求f(x)的零点;(Ⅱ)若α为锐角,且sinα是f(x)的零点.(ⅰ)求的值;(ⅱ)求的值.【分析】(Ⅰ)令f(x)=6x2+x﹣1=0,即可解得x的值.(Ⅱ)(ⅰ)由α为锐角,可求sinα的值,利用诱导公式即可计算得解.(ⅱ)由α为锐角,利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值,进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解.【解答】(本小题满分10分)解:(Ⅰ)令f(x)=6x2+x﹣1=0得零点或.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(Ⅱ)由α为锐角,所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(ⅰ)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)-12-=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(ⅱ)由α为锐角,所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分)可得:=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题主要考查了诱导公式,同角三角函数基本关系式,两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.18.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足asinA﹣csinC=(a﹣b)sinB(1)求角C的大小;(2)求cosA+cosB的取值范围.【分析】(1)通过正弦定理化简已知表达式,然后利用余弦定理求出C的余弦值,得到C的值.(2)通过C的值,得到A+B的值,利用两角和的余弦函数求出cosA+cosB=sin(A+).根据A+的范围,求出sin(A+)的范围,得到结果.【解答】解:(1)由已知,根据正弦定理,asinA﹣csinC=(a﹣b)sinB得,a2﹣c2=(a﹣b)b,即a2+b2﹣c2=ab.由余弦定理得cosC==.又C∈(0,π).所以C=.(2)由(1)知A+B=,则.cosA+cosB=cosA+cos=cosA+coscosA+sinsinA-12-=cosA+sinA=sin(A+).由可知,,所以sin(A+)≤1.所以cosA+cosB的取值范围(].【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用,三角函数的值的求法,以及两角和的余弦函数的应用,考查计算能力.19.已知函数f(x)=x3+2x2﹣4x+5.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点x=﹣1处的切线方程;(Ⅱ)求y=f(x)在[﹣3,2]上的最大值和最小值.【分析】(Ⅰ)求得f(x)的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得所求切线的方程;(Ⅱ)求得f(x)的极值点,以及极值,计算区间[﹣3,2]的端点处的函数值,比较可得所求最值.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=x3+2x2﹣4x+5的导数为f′(x)=3x2+4x﹣4,可得y=f(x)在点x=﹣1处的切线斜率为k=﹣5,切点为(﹣1,10),则曲线y=f(x)在点x=﹣1处的切线方程为y﹣10=﹣5(x+1),即5x+y﹣5=0;(Ⅱ)由f′(x)=3x2+4x﹣4,-12-可得x=﹣2或x=时,f′(x)=0,则f(﹣2)=﹣8+8+8+5=13,f()=+﹣+5=,又f(﹣3)=﹣27+18+12+5=8,f(2)=8+8﹣8+5=13,综上可得,f(x)的最小值为,最大值为13.【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程和最值,考查方程思想和运算能力,属于基础题. 20.已知函数.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间上的最值.【分析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的最小正周期和对称轴方程.(2)直接利用单调性求出结果.【解答】解:(1)∵函数=sin(2x﹣)﹣2sin(x﹣)cos(x﹣)=sin(2x﹣)﹣sin(2x﹣)=sin(2x﹣)+cos2x=sin2x•﹣cos2x•+cos2x=sin2x﹣cos2x=sin(2x﹣).-12-∴,令:,解得:.函数f(x)的最小正周期为π,对称轴方程为:.(2)∵,∴.因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以,当时,f(x)取最大值1.又∵,当时,f(x)取最小值.【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用.21.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,,x∈R),在同一个周期内,当时,函数取最大值3,当时,函数取最小值﹣1,(1)求函数f(x)的解析式;(2)将f(x)的图象上所有点向左平移个单位,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍,得到g(x)的图象,讨论g(x)在上的单调性.【分析】(1)根据最值计算A,B,根据周期计算ω,根据f()=3计算φ;-12-(2)根据函数图象变换得出g(x)的解析式,求出g(x)的单调区间即可.【解答】解:(1)由题意得,∴.f(x)的周期T=2()=.∴=,即ω=3.∵f()=2sin(+φ)+1=3,∴+φ=+2kπ,∴φ=﹣+2kπ,k∈Z,∵|φ|<,∴φ=﹣.∴f(x)=2sin(3x﹣)+1.(2)g(x)=2sin(2x+)+1,令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ,解得﹣+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.[﹣+kπ,+kπ]∩[﹣,]=[﹣π,],∴g(x)在[﹣π,]上单调递增,在[﹣,﹣],[,]上单调递减.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质,函数图象变换,属于中档题. 22.已知函数f(x)=aex﹣,在点(1,f(1))处的切线方程为y=(e﹣1)x+1.(1)求a,b;(2)证明:f(x)>1.【分析】(1)求导函数,利用曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程,可得f(1)=ae=e,f′(1)=ae﹣b=e﹣1,由此可求a,b的值;-12-(2)把证f(x)>1,转化为证>1,即证xex﹣lnx>x(x>0),也就是证xex>x+lnx,先利用导数证明xex>x2+x,再证明x2+x>x+lnx,则结论得证.【解答】(1)解:函数f(x)=aex﹣,求导函数可得f′(x)=aex﹣(x>0).∵曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=(e﹣1)x+1,∴f(1)=ae=e,f′(1)=ae﹣b=e﹣1,∴a=1,b=1;(2)证明:函数f(x)=,要证f(x)>1,需证>1,即证xex﹣lnx>x(x>0),也就是证xex>x+lnx,令g(x)=ex﹣x﹣1,则g′(x)=ex﹣1>0对于x∈(0,+∞)恒成立,则g(x)>g(0)=0,∴ex>x+1,则xex>x2+x,令h(x)=x2+x﹣x﹣lnx=x2﹣lnx,则h′(x)=,当x∈(0,)时,h′(x)<0,当x∈(,+∞)时,h′(x)>0,∴h(x)在(0,)上为减函数,在(,+∞)上为增函数,则h(x)的最小值为h()=.∴h(x)=x2+x﹣x﹣lnx>0,-12-即x2+x>x+lnx,∴xex>x+lnx,故f(x)>1.【点评】本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查不等式的证明,解题的关键是构造函数,确定函数的单调区间,求出函数的最值,属于中档题.-12-
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高中 - 数学
发布时间:2022-08-25 20:21:57
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