吉林省安图一中高二数学上学期期中试题

2022-2022学年上学期期中考试高二数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。只填结果，不要过程！）1、过点且与直线垂直的直线的方程为▲；2、过三点和原点的圆的标准方程为▲；3、已知中，则边上的高的长为▲；4、已知两条直线若直线与直线平行，则实数▲；5、已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l∥α，m⊂α，则l∥m；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若l∥m，m⊂α，，则l∥α；④若l⊥α，m∥α，则l⊥m.其中真命题是▲(写出所有真命题的序号)．6、若两圆，相外切，则实数▲；7、若满足约束条件则的最小值是▲；8、过平面区域内一点作圆的两条切线,切点分别为,记,当最小时,此时点坐标为▲；9、右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽▲米；10、已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率的值为▲；11、已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点的坐标为，若的最小值为此时点的纵坐标的值为则▲；12、在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是▲；13、已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是▲；14、已知椭圆，是椭圆的左右焦点，是右准线，若椭圆上存在点，使是到直线的距离的倍，则该椭圆离心率的取值范围是▲；二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15、（14分）如图,已知斜三棱柱中,,为的中点.ABCDA1B1C1(第15题)(1)（7分）若，求证:；-8-\n(2)（7分）求证://平面16、（14分）如图,在四棱锥中,∥,,,为的中点.DCBAEP（第16题图）目求证:(1)（7分）∥平面;(2)（7分）⊥平面.17、（14分）（1）（7分）已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为，焦距为，求椭圆的标准方程；(2)（7分）已知双曲线的渐近线方程为，准线方程为，求该双曲线的标准方程.-8-\n18、（16分）已知三个顶点坐标分别为：，直线经过点．(1)（5分）求外接圆的方程；(2)（5分）若直线与相切，求直线的方程；(3)（6分）若直线与相交于两点，且，求直线的方程．19、（16分）已知直线与圆相交于两点，弦的中点为，（1）（4分）求实数的取值范围以及直线的方程；（2）（4分）若圆上存在四个点到直线的距离为，求实数的取值范围；（3）（8分）已知，若圆上存在两个不同的点，使，求实数的取值范围.-8-\n20、（16分）在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率，且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.(1)（6分）求椭圆的方程;(2)（10分）在椭圆上,是否存在点,使得直线:与圆:相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由.高二数学期中考试数学参考答1、2、3、4、5、②、④6、7、－38、9、10、11、12、13、14、15、【答案】证明:(1)因为AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC.……2分ABCDA1B1C1（第15题图）O因为，，所以，……4分，所以平面BCC1B1，……6分因为DC1Ì平面BCC1B1,所以AD⊥DC1……7分(2)连结A1C,交AC1于点O,连结OD,则O为A1C的中点.因为D为BC的中点,所以OD//A1B……9分因为OD平面ADC1,A1B平面ADC1,……12分所以A1B//平面ADC1……14分-8-\n16、证明:(1)取中点,连结,,∵为中点,∴∥且=.……2分∵∥且,∴∥且=.∴四边形为平行四边形.∴∥.……4分∵平面,平面,∴∥平面.……7分FPEABCD（第16题图）(2)∵⊥,⊥,,∴平面.……9分∵平面,∴.……10分∵,为的中点,∴.……12分∵,∴⊥平面.……14分17．解：（1）设椭圆的标准方程为：，由题意得，……………3分所以所求椭圆的标准方程为．……………7分（选修1—135页5（1）！（2）由题意知双曲线标准方程为：，所以，，……………9分又，解得，……………11分所以所求双曲线标准方程为.……………14分18．解：（1）解法1：设的方程为：则由题意得解得的方程为，或．…………5分-8-\n解法2：的横坐标相同，故可设，由得，解得，的方程为，或．解法3：，，，则是等腰直角三角形，因而圆心为，半径为，的方程为．(2)当直线与轴垂直时，显然不合题意，因而直线的斜率存在，设，由题意知，解得或，…………8分故直线的方程为或．…………10分（3）当直线与轴垂直时，方程为，它截得弦长恰为；…12分当直线的斜率存在时，设，∵圆心到直线的距离，由勾股定理得，解得，……14分故直线的方程为或．…………16分19、课本必修—2—15改编！解：（1）圆……1分据题意：……2分因为所以直线的方程为……4分-8-\n（2）与直线平行且距离为的直线为：过圆心，有两个交点，……6分与圆相交，……8分（3）设……12分据题意：两个圆相交：……14分且，所以：……16分20.解析:（1）因为,所以,于是.…………1分设椭圆上任一点,则().…2分当时,在时取到最大值,且最大值为,由解得,与假设不符合,舍去.…………4分当时,在时取到最大值,且最大值为,由解得.于是,椭圆的方程是.…………6分(2)圆心到直线的距离为,弦长,所以的面积为,于是.…………8分而是椭圆上的点,所以,即,于是,而,所以,,所以,…………10分于是当时,取到最大值,此时取到最大值,此时,.…………12分-8-\n综上所述,椭圆上存在四个点、、、,使得直线与圆相交于不同的两点、,且的面积最大,且最大值为.（每一个点坐标写出各1分，计4分！）…………16分-8-