吉林省白山市2022学年高二上学期期末联考数学（理）试卷

吉林省白山市2022-2022学年高二上学期期末联考数学（理）试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“1，䁩”的否定是1，䁩B.1，䁩A.䁩䁩䁩䁩䁩䁩C.1，䁩D.1，䁩【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“1，䁩”的否定是：1，䁩．䁩䁩䁩故选：B．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．.椭圆点1的离心率为1113A.B.C.D.33【答案】A【解析】解：椭圆点1，可得，，，1可得．故选：A．求出椭圆的长半轴以及半焦距的大小，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．3.过点3且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有A.0条B.1条C.2条D.3条【答案】C【解析】解：设直线在x、y轴上的截距分别为a和䁩，则直线l的方程为1，直线过点3，31，解得：1，此时直线l的方程为1䁩；当䁩时，直线过原点，设直线方程为方，过点3，1/13\n此时直线l的方程为，3即3䁩；综上，直线l的方程有2条．故选：C．过点A且在x、y轴上的截距互为相反数的直线有2条，分别求出即可．本题考查了直线的截距式方程应用问题，容易疏忽过原点的情况，是基础题．3.已知双曲线C：1䁩䁩的一条渐近线的斜率为，焦距为10，则双曲线C的方程为A.1B.1C.1D.131311【答案】D【解析】解：焦距为10，〳，曲线的焦点坐标为〳䁩，3双曲线C：1䁩䁩的一条渐近线的斜率为，3，〳，解得，3，所求的双曲线方程为：1．1故选：D．利用双曲线的渐近线的斜率，转化求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．〳.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.6B.8C.10D.12【答案】C\n【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，下半部分为正方体，棱长为2，上半部分为直三棱柱，高为2，底面是等腰直角三角形，直角边长为，1则该几何体的体积1䁩．故选：C．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，下半部分为正方体，棱长为2，上半部分为直三棱柱，高为2，底面是等腰直角三角形，直角边长为，再由正方体与棱柱的体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．.“3”是“直线11䁩与直线䁩互相平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：直线11䁩与直线䁩互相平行，11䁩，3䁩解得3或䁩，故3”是“直线11䁩与直线䁩互相平行”的充分不必要条件，故选：A．根据直线平行的等价，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件求出m是解决本题的关键．7.在正方体正方体1正1方1体1中，M，N分别为AD，方1体1的中点，O为侧面正方方1正1的中心，则异面直线MN与体1所成角的余弦值为1111A.B.C.D.【答案】A3/13\n【解析】解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，体体1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则10，䁩，䁩1，，12，1，体1䁩0，，11，体111．体111则cos体1．体11异面直线MN与体1所成角的余弦值为．故选：A．以D为坐标原点，分别以DA，DC，体体1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出体的坐标，由数量积求夹角公式求解．1本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，关键是正确标出所用点的坐标，是中档题．.已知直线l：11䁩，圆C：1，则下列说法正确的是A.l与C可能相切或相交B.l与C可能相离或相切C.l与C一定相交D.l与C可能相交或相离【答案】C【解析】解：由直线l：11䁩可得：11䁩，1䁩由可得该直线所过的定点为11，1䁩检验可知，该点在圆内，故选：C．由直线系方程可得直线所过定点，检验可得点在圆内，故一定相交．此题考查了直线与圆的位置关系，难度不大．.已知直线3与抛物线C：䁩的准线相交于M，与C的其中一个交点为N，若线段MN的中点在x轴上，则A.2B.4C.3D.3【答案】B\n【解析】解：直线3与x轴的交点为䁩，由抛物线的准线方程，可得3，由T为MN的中点，可得3，代入抛物线的方程可得3，化为䁩，解得1舍去，故选：B．求得直线与x轴的交点䁩，以及抛物线的准线方程，可得M的坐标，由中点坐标公式可得N的坐标，代入抛物线方程可得p的方程，解方程可得p的值．本题考查抛物线的方程和运用，同时考查中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．1䁩.在三棱锥正方中，方底面ABC，正方䁩，正方，正方䁩，则点C到平面PAB的距离是3〳A.B.C.D.7777【答案】B【解析】解：在三棱锥正方中，方底面ABC，正方䁩，正方，正方䁩，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则方䁩4，䁩，䁩4，，䁩0，䁩，正0，䁩，方䁩4，䁩，正0，䁩，䁩4，，设平面PAB的法向量y，，䁩则，正䁩取1，得䁩1，方点C到平面PAB的距离．77故选：B．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面PAB的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．〳/13\n11.点P在椭圆方1：1上，方1的右焦点为F，点Q在圆方：31䁩上，则则䁩的最小值为A.B.C.〳D.〳【答案】D【解析】解：点P在椭圆方1：1上，方13的右焦点为䁩1䁩，左焦点1䁩，如图：圆方：1䁩上，可得：3，圆心坐标3，半径为2．由椭圆的定义可得：䁩，䁩，则则䁩则，由题意可得：则䁩的最小值为：则䁩则方31䁩〳，故选：D．利用椭圆方程求出焦点坐标，求出圆的圆心与半径，利用椭圆的定义，转化求解距离的最小值即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．1.设双曲线M：1䁩䁩的上顶点为A，直线与M交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D若D到点䁩的距离不超过7，则M的离心率的取值范围是A.71B.71C.171㈱D.171㈱【答案】D【解析】解：记，由题意可得正，方，由双曲线的对称性可知D点在y轴上，设体䁩䀀，䀀则1，䁩䁩则䀀，㈱77，7，7，即䁩，解得1717，1，\n171㈱，故选：D．求出双曲线的渐近线方程，令，求得B，C的坐标，由双曲线的对称性知D在x䀀轴上，设体䁩䀀，则1，利用D到直线BC的距离不超过7，䁩䁩建立不等式关系，结合双曲线离心率的定义，即可得出结论本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的垂心的概念，以及两直线垂直的条件：斜率之积为1，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线3的焦点坐标为______．【答案】䁩3【解析】解：抛物线3的焦点坐标䁩3.故答案为：䁩3.直接利用抛物线的标准方程求解焦点坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．1.命题“当䁩时，若，则.”的逆命题是______．【答案】当䁩时，若，则【解析】解：命题“当䁩时，若，则.”的逆命题是当䁩时，若，则，故答案为：当䁩时，若，则根据原命题是若P，则Q，它的逆命题是若Q，则P，本题考查了四种命题之间的关系，解题时应根据原命题直接写出对应的逆命题1〳.倾斜角为且在x轴上的截距为a的直线被圆所截得的弦长为2，3则______．【答案】1【解析】解：倾斜角为且在x轴上的截距为a的直线方程为：33，即33䁩，3圆心䁩到直线的距离为：3，31，得1，故答案为：1设直线方程，求得圆心到直线的距离，再利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得解．此题考查了圆的弦长问题，难度不大．7/13\n1.已知在长方体正方体1正1方1体1中，正1，正方，1，E是侧棱方方1的中点，则直线AE与平面1体所成角的正弦值为______．【答案】【解析】解：在长方体正方体1正1方1体1中，正1，正方，1，E是侧棱方方1的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，体体1为z轴，建立空间直角坐标系，0，䁩，䁩1，，10，，体䁩0，䁩，1，体10，，体䁩1，，㈱设平面1体的法向量y，，体1䁩则，取1，得体䁩1，设直线AE与平面1体所成角为，则sin，33直线AE与平面1体所成角的正弦值为．故答案为：．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，体体1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面1体所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知椭圆W：1䁩䁩的离心率为e，长轴为AB，短轴为CD．1若W的一个焦点为3䁩，方体，求W的方程；3若正1䁩，，求W的方程．〳【答案】解：1由已知可得，3，，3．1．由题意可知，椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为1；1由已知可得，1䁩，则〳，3又，3，则1．〳\n若椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为1．〳1若椭圆焦点在y轴上，则椭圆方程为1．1〳【解析】1由已知求得c与b的值，再由隐含条件求得a，则椭圆方程可求；由已知求得a，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，然后分类写出椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．1.已知p：方程1表示椭圆；q：双曲线1的离心率1．1若是真命题，求m的取值范围；若是真命题，是假命题，求m的取值范围．【答案】解：p：方程1表示椭圆；䁩则1，则䁩，得，得或，即p：或；q：双曲线1的离心率1．则1，，1，得11，则䁩3，即䁩3，则q：䁩3，或1若是真命题，则p，q都是真命题，则，䁩3得3．若是真命题，是假命题，则p，q一个为真命题，一个为假命题，或若p真q假，则，得3，3或䁩或或若p假q真，则，此时䁩，䁩3综上䁩或3．【解析】1求出命题p，q为真命题的等价条件，结合是真命题，则p，q同时为真命题，进行计算即可．若是真命题，是假命题，则p，q一个为真命题，一个为假命题，进行计算即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．/13\n1.如图，四棱锥正方体的底面是边长为4的菱形，正体，平面方平面ABCD，方，M为3PC的中点．1证明：//平面BDM；若直线PA与底面ABCD所成角为，求三棱锥正体的体积．【答案】1证明：如图，设AC，BD交于O，连接OM，在方中，//，又平面BDM，平面BDM，//平面BDM；解：平面方平面ABCD，方即为直线PA与底面ABCD所成的角，即方，又方，13方方，方，底面是边长为4的菱形，正体，3方3，正体，方3，，3，3，正体方，正体平面PAC，正体方，正体，又方，方，而BD，OM为平面MBD内两条相交线，方平面MBD，1正体正体3113333．故三棱锥正体的体积为：3．【解析】1利用中位线得线线平行，进而得线面平行；利用两面垂直得到线面所成角，而后在直角三角形APC中可得相关线段长，从而求\n得底面积和高，得解．本题考查了线面平行，线面所成角，线面垂直，面面垂直，锥体体积等，是中档题．䁩.如图，四边形ABCD为正方形，正//体䁩，且正正体䁩方，正平面BCE．1证明：平面方平面BDFE；求二面角䁩方的余弦值．【答案】证明：1四边形ABCD为正方形，正//体䁩，且正正体䁩方，正平面BCE．四边形BDEF是平行四边形，正体䁩，体体方，方正体，正正方1方1方方，正正方，正平面ABCD，方正方，正体正正，方平面BDFE，方平面ACE，平面方平面BDFE．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系，设正正体䁩方，则0，䁩，方䁩䁩，，䁩䁩0，，䁩䁩，䁩方䁩，䁩䁩，设平面AFC的法向量y，，䁩䁩则，取1，得11，1，䁩方䁩设平面EFC的法向量y，，䁩䁩则，取1，得111，䁩方䁩设二面角䁩方的平面角为，11则cos．3331二面角䁩方的余弦值为．3【解析】1推导出正体䁩，体体方，方正体，正正方，从而正平面ABCD，进而方正方，由此能证明方平面BDFE，从而平面方平面BDFE．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角䁩方的余弦值．11/13\n本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．1.已知过点3的直线l与抛物线E：交于点A，B．1若弦AB的中点为M，求直线l的方程；设O为坐标原点，正，求正．【答案】解：1由题意知直线的斜率存在，设直线l的斜率为k，11，正，则有，，111，两式作差可得：11，即1113，方正．3则直线l的方程为3，即31䁩；3当正轴时，不符合题意，故设直线l方程为方3．方3方1方䁩．1方11方1方，1方，1．方正，11䁩，1方1方䁩，1䁩，1方䁩．方方1解得方1正11〳1111䁩．方【解析】1由题意知直线的斜率存在，设直线l的斜率为k，11，正，利用点差法求得直线斜率，再由直线方程点斜式求解；1设直线l方程为方3.由正解得k，由正1方1求解．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理得运用，考查等价转化问题的能力．.设A是圆O：1上的任意一点，l是过点A且与x轴垂直的直线，B是直线l与x轴的交点，点Q在直线l上，且满足正则3正.当点A在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．1求曲线C的方程；已知直线方方䁩与曲线C交于M，N两点，点M关于y轴的对称点为，设䁩，证明：直线过定点，并求面积的最大值．【答案】解：1设则，䁩䁩，正则3正，Q在直线l上，䁩，䁩.3\n点A在圆1上运动，1.䁩䁩将式代入式即得曲线C的方程为1．1证明：设11，，则11，1联立1，得1方方䁩䁩，方方䁩11方，11方．1直线的斜率方，11直线的方程为11.111方1方1方1令䁩，得，111直线过定点体䁩.1〳方䁩䁩1䁩面积则11方3，1方方1方方3当且仅当1方，即方时取等号，方1䁩面积的最大值为．3【解析】1点A在圆1上运动，引起点Q的运动，我们可以由正则3正，得到点A和点Q坐标之间的关系式，并由点A的坐标满足圆的方程得到点Q坐标所满足的方程；1设11，，则11，联立1，得1方方方䁩䁩，利用直线的斜率，求直线的方程，即可直线过定点，并求出面积的最大值．本题考查曲线方程的求法，考查直线过定噗的证明，考查三角形的面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．13/13