四川省成都市树德中学高一末考试数学
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四川省成都市树德中学2022-2022学年高一下学期期末考试数学一、选择题:共12题1.设a,b∈R,若b-|a|>0,则下列不等式中正确的是A.a-b>0B.a+b>0C.a2-b2>0D.a3+b3<0【答案】B【解析】由b>|a|,可得-b<a<b.由a<b,可得a-b<0,所以选项a错误.由-b<a,可得a+b>0,所以选项B正确.由b>|a|,两边平方得b2>a2,则a2-b2<0,所以选项C错误.由-b<a,可得-b3<a3,则a3+b3>0,所以选项D错误.故选B. 2.已知,,则A.B.C.D.【答案】D【解析】本题考查平面向量的数量积.由题意知,===.选D.【备注】若,,则. 3.已知数列满足, , 则A.1B.2C.D.【答案】C【解析】本题考查递推公式.由题意知, ,,所以 , , , , ,所以该数列是以6为周期的周期数列,所以.选C. 11/124.给出下列关于互不重合的三条直线、、和两个平面、的四个命题:①若,,点,则与不共面;②若、是异面直线,,,且,,则;③若,,,则;④若,,,,,则,其中为真命题的是A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③【答案】C【解析】本题考查点线面之间的位置关系.对①,若,,点,则与不共面,①正确;对②,若、是异面直线,,,且,,则,②正确;对③,若,,,则或与相交或与异面,③错;对④,若,,,,,则,④正确.所以真命题有①②④.选C. 5.规定记号“”表示一种运算,定义:为正实数),若,则的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】本题考查新定义问题.因为,所以可化为,即,所以.选A. 6.棱长为的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示,那么被截去的几何体的体积是11/12A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查三视图、空间几何体的体积.还原出空间几何体(如图所示);被截去的与剩下的几何体体积相同;所以被截去的几何体的体积.选B. 7.如图,已知,,且,任意点关于点的对称点为,点关于点的对称点为,则A.B.C.D.【答案】A11/12【解析】本题考查平面向量的线性运算与数量积.因为为的中点,所以=;所以====6.选A. 8.已知是内一点,且,,若、、的面积分别为、、,则的最小值是A.18B.16C.9D.4【答案】A【解析】本题考查平面向量的数量积,基本不等式,三角形的面积公式.,可得;而++=,即+=;所以+.即的最小值是18.选A.【备注】;三角形的面积公式:. 9.在中,内角的对边分别为,若的面积为,且,则等于A.B.C.D.【答案】C【解析】本题考查正弦定理和余弦定理,三角形的面积公式.由三角形的面积公式知,,因为,所以;由余弦定理知,所以,整理得,所以,所以,所以,解得.选C. 10.如图,正四面体的顶点分别在两两垂直的三条射线上,则在下列命题中,错误的为A.是正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的投影为底面的中心)B.直线∥平面.11/12C.平面.D.直线与平面所成的角的正弦值为.【答案】B【解析】本题考查线面平行与垂直.两两垂直且相等,所以是正三棱锥,A正确;将正四面体放入正方体中(如图所示),显然,而与平面相交,所以直线与平面相交,B错误,选B. 11.已知关于的不等式的解集为空集,则的最小值为A.B.2C.D.4【答案】D【解析】本题考查一元二次不等式,基本不等式.因为的解集为空集,所以恒成立,即,即;所以===4(当且仅当时等号成立).即的最小值为4.选D. 12.设等差数列满足,公差,当且仅当时,数列的前项和取得最大值,求该数列首项的取值范围A.B.C.D.【答案】C11/12【解析】本题考查等差数列,和角差角公式.因为为等差数列,所以,即=,;=====1,而,所以;所以=;由题意得对称轴满足,解得.选C.【备注】等差数列中,. 二、填空题:共4题13.已知的顶点坐标分别为,,,则 【答案】【解析】本题考查空间中两点间的距离公式和余弦定理.由题意知,,,,所以,由余弦定理知,.所以. 14.如图所示,四边形是上底为2,下底为6,底角为的等腰梯形,由斜二测画法,画出这个梯形的直观图,在直观图中梯形的高为 【答案】【解析】本题考查直观图.由题意得;而,所以=,解得.即在直观图中梯形的高为.【备注】. 15.设是等比数列的前项和,,若,则的最小值为 .【答案】【解析】本题考查等比数列和均值不等式.因为为等比数列,所以亦为等比数列,即=,所以;而,所以;所以(当且仅当时等号成立).即的最小值为20.11/12 16.已知是锐角的外接圆圆心,,是边上一点(与不重合),且,若,则 .【答案】【解析】本题考查平面向量的数量积,诱导公式,和角公式,正弦定理.作,在直角三角形中,;在直角三角形中,;而=;即,即,即,所以,即为的中点,所以三角形为等腰三角形,而,可得;取的中点,;代入等式得,等式两边同乘得,即,即;由正弦定理得======.三、解答题:共6题17.已知关于的不等式的解集为.(1)求实数的值;(2)解关于的不等式:为常数).【答案】(1)由题知为关于的方程的两根,即;∴.(2)不等式等价于,所以:当时解集为;当时解集为;当时解集为.【解析】本题考查一元二次不等式、分式不等式.(1)转化为方程的根,解得.(2)将分式不等式转化为一元二次不等式,即可求得. 18.如图,在三棱柱中,侧棱与底面成角为,.11/12(1)若,求证:;(2)若为的中点,问:上是否存在点,使得∥平面?若存在,求出的值,并给出证明;若不存在,请说明理由.【答案】(1)因为侧棱与底面成角,即;而在内,所以;而=,,所以;所以.(2)上存在点(为上的中点),即,使得∥平面.因为为的中点,为上的中点,所以为中位线,即;而内,所以∥平面,此时.【解析】本题考查线面平行与垂直.(1),所以,所以,所以.(2),∥平面,为上的中点.11/12 19.已知数列的前项和是,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,求适合方程的正整数的值.【答案】(1)时,,时,,,.是以为首项,为公比的等比数列,.(2),...由解得.【解析】本题考查数列的通项与求和.(1)由的关系得.所以是等比数列,所以.(2)裂项相消得. 20.如图,中,,,点为线段上一点,过作垂直于与,作垂直于BC与.(1)若,则,求的长.(2)在(1)的结论下,若点为线段上运动,求面积的最大值.【答案】(1)因为sin∠ABC=,所以cos∠ABC=1-2×=.△ABC中,设BC=a,AC=3b,则由余弦定理可得9b2=a2+4-①11/12在△ABD和△DBC中,由余弦定理可得cos∠ADB=,cos∠BDC=.因为cos∠ADB=-cos∠BDC,所以有=-,所以3b2-a2=-6,②由①②可得a=3,b=1,即BC=3.(2)令,则△ABC的面积为×2×3×=,从而可得.而△DEF的面积为(当且仅当时取等)即面积的最大值为.【解析】本题考查余弦定理,三角形的面积公式,基本不等式.(1)由同角三角函数的基本关系及余弦定理得BC=3.(2)由三角形的面积公式及基本不等式得.即面积的最大值为. 21.在直角梯形中,,,(如图1).把沿翻折,使得二面角的平面角为(如图2),、分别是和中点.(1)若为线段上任意一点,求证:(2)若,求与平面所成角的正弦值.(3)、分别为线段与上一点,使得.令与和所成的角分别为和.求的取值范围.【答案】(1)又⇒.11/12(2)由(1)知,从而为等边三角形,从而易得答案为(3)在BN线段取点R使得.从而易得且,.另一方面,易证,从而.又,,所以,所以;又有PR//AN且RQ//BDA,所以.从而有∴..【解析】本题考查线面垂直与平行,三角恒等变换.(1)线线垂直线面垂直线线垂直.(2)为等边三角形,得答案为;(3)证得∴. 22.数列满足,,令.(1)证明:数列为等比数列;(2)设,求数列的前项和;(3)数列的前项和为.求证:对任意的,.【答案】(1),,又,数列是首项为,公比为的等比数列.(2),..11/12∴Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1.②①-②,得—Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-n·2n+1-2.∴Sn=(n-1)2n+1+2.(3)当时,则=.,对任意的,.【解析】本题考查等比数列,数列的通项与求和.(1)求得,数列是首项为,公比为的等比数列.(2),错位相减得Sn=(n-1)2n+1+2.(3)放缩法得. 11/12</a,可得-b3<a3,则a3+b3></a<b.由a<b,可得a-b<0,所以选项a错误.由-b<a,可得a+b>
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